高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册1.4.1用空间向量研究距离、夹角问题

试卷更新日期：2021-03-08 类型：同步测试

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一、单选题

1. 已知平面α的一个法向量n＝(－2，－2，1)，点A(－1，3，0)在α内，则P(－2，1，4)到α的距离为（）

A、10 B、3 C、 $\frac{8}{3}$ D、 $\frac{10}{3}$

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2. 设平面 $α$ 与平面 $β$ 的夹角为 $θ$ ，若平面 $α, β$ 的法向量分别为 ${\vec{n}}_{1}, {\vec{n}}_{2}$ ，则 $| \cos θ | =$ （）

A、 $\frac{{\vec{n}}_{1} \cdot {\vec{n}}_{2}}{| {\vec{n}}_{1} | | {\vec{n}}_{2} |}$ B、 $\frac{| {\vec{n}}_{1} \cdot {\vec{n}}_{2} |}{| {\vec{n}}_{1} | | {\vec{n}}_{2} |}$ C、 $\frac{| {\vec{n}}_{1} | | {\vec{n}}_{2} |}{{\vec{n}}_{1} \cdot {\vec{n}}_{2}}$ D、 $\frac{| {\vec{n}}_{1} | | {\vec{n}}_{2} |}{| {\vec{n}}_{1} \cdot {\vec{n}}_{2} |}$

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3. 在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，点E为 $B B_{1}$ 的中点，则平面 $A_{1} E D$ 与平面 $A B C D$ 夹角的余弦值为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{2}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$

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4. 设四边形ABCD，ABEF都是边长为1的正方形，FA⊥平面ABCD，则异面直线AC与BF的夹角等于（）

A、45° B、30° C、90° D、60°

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5. 如图，在长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，M，N分别是棱BB₁ ， B₁C₁的中点，若∠CMN=90°，则异面直线AD₁和DM所成角为（）

A、30° B、45° C、60° D、90°

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6. 如图，点 $P$ 为矩形 $A B C D$ 所在平面外一点， $P A ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $Q$ 为 $A P$ 的中点， $A B = 3$ ， $B C = 4$ ， $P A = 2$ ，则点 $P$ 到平面 $B Q D$ 的距离为（）

A、 $\frac{5}{13}$ B、 $\frac{12}{13}$ C、 $\frac{13}{5}$ D、 $\frac{13}{12}$

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7. 如图，在棱长为2的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，点 $E 、 F$ 分别是棱 $A B$ 、 $B C$ 的中点，则点 $C_{1}$ 到平面 $B_{1} E F$ 的距离等于（）

A、 $\frac{2}{3}$ B、 $\frac{2 \sqrt{2}}{3}$ C、 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ D、 $\frac{4}{3}$

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8. 已知二面角 $α - l - β$ 为 $60 °$ ，动点 $P ， Q$ 分别在平面 $α$ ， $β$ 内，点 $P$ 到 $β$ 的距离为 $\sqrt{3}$ ，点 $Q$ 到 $α$ 的距离为 $2 \sqrt{3}$ ，则 $P ， Q$ 点之间距离的最小值为（）．

A、 $\sqrt{2}$ B、2 C、 $2 \sqrt{3}$ D、4

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9. 在空间直角坐标系中，定义：平面 $α$ 的一般方程为 $A x + B y + C z + D = 0$ （ $A ， B ， C ， D \in R$ ，且A，B，C不同时为零），点 $P (x_{0} ， y_{0} ， z_{0})$ 到平面 $α$ 的距离 $d = \frac{| A x_{0} + B y_{0} + C z_{0} + D |}{\sqrt{A^{2} + B^{2} + C^{2}}}$ ，则在底面边长与高都为2的正四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面中心O到侧面 $P A B$ 的距离d等于（）

A、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ B、 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ C、2 D、5

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10. 如图，平面ABCD⊥平面ABEF，四边形ABCD是正方形，四边形ABEF是矩形，且AF＝ $\frac{1}{2}$ AD＝a，G是EF的中点，则GB与平面AGC所成角的正弦值为（）

A、 $\frac{\sqrt{6}}{6}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{2}}{3}$

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二、填空题

11. 在空间直角坐标系 $O - x y z$ 中，已知 $A (1, - 2, 0)$ ， $B (2, 1, \sqrt{6})$ ，则向量 $\vec{A B}$ 与平面 $x O z$ 的法向量的夹角的正弦值为.

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12. 在正四棱锥 $S - A B C D$ 中， $O$ 为顶点 $S$ 在底面上的射影， $P$ 为侧棱 $S D$ 的中点，且 $S O = O D$ ，则直线 $B C$ 与平面 $P A C$ 所成的角是．

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13. 正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为 $a$ ， $E$ ， $F$ 分别是 $B B_{1}$ ， $C D$ 的中点，则点 $F$ 到平面 $A_{1} D_{1} E$ 的距离为.

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14. 如图，在棱长为2的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E为BC的中点，点P在线段D₁E上，点P到直线CC₁的距离的最小值为.

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15. 如图所示，在直平行六面体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $B D ⊥ D C$ ， $B D = D C = 1$ ，点 $E$ 在 $A A_{1}$ 上，且 $A E = \frac{1}{4} A A_{1} = \frac{1}{2}$ ，则点 $B$ 到平面 $E D C_{1}$ 的距离为.

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16. 已知正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为4，M、N、P分别在棱 $A B$ 、 $B C$ 、 $C C_{1}$ 上，且 $A M = 1 ， B N = 2 ， C P = 3$ ．过M、N、P三点的平面交 $A C_{1}$ 于点Q，则A、Q两点间的距离为．

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三、解答题

17. 如图，已知四边形 $A B C D$ 为矩形，四边形 $A B E F$ 为直角梯形， $F A ⊥ A B$ ， $A D = A F = F E = 1$ ， $A B = 2$ ， $A D ⊥ B E$ .

(1)、求证： $B E ⊥ D E$ ；

(2)、求点 $F$ 到平面 $C B E$ 的距离.

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18. 如图，四棱锥 $P - A B C D$ ，侧面 $P A D$ 是边长为2的正三角形，且与底面垂直，底面 $A B C D$ 是 $∠ A B C = 60^{\circ}$ 的菱形， $M$ 为棱 $P C$ 上的动点，且 $\frac{P M}{P C} = λ (λ \in [0 ， 1])$ .
(I)求证： $Δ P B C$ 为直角三角形；
(II)试确定 $λ$ 的值，使得二面角 $P - A D - M$ 的平面角余弦值为 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ .

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19. 如图，在直三棱柱 $A B O - A^{'} B^{'} O^{'}$ 中， $O O^{'} = O A = 4$ ， $O B = 3$ ， $∠ A O B = 90^{°}$ . $D$ 是线段 $A^{'} B^{'}$ 的中点， $P$ 是侧棱 $B B^{'}$ 上的一点.若 $O P ⊥ B D$ ，试求：

(1)、 $O P$ 与底面 $A O B$ 的夹角的正切值；

(2)、BD与侧面AOO'A' 的夹角的余弦值.

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20. 已知正方形 $A B C D$ 的边长为1， $P D ⊥$ 平面 $A B C D$ ，且 $P D = 1$ ， $E$ ， $F$ 分别为 $A B$ ， $B C$ 的中点.

(1)、求点 $D$ 到平面 $P E F$ 的距离；

(2)、求直线 $A C$ 到平面 $P E F$ 的距离.

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