高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册1.3.1空间直角坐标系1.3.2空间向量运算的坐标表示

试卷更新日期：2021-03-08 类型：同步测试

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一、单选题

1. 已知O为原点， $\overset{⇀}{a} = (1, - 2, 1), \overset{⇀}{a} - \overset{⇀}{b} = (- 1, 2, - 1)$ ，则 $\vec{b}$ 等于（）

A、 $(2, - 4, 2)$ B、 $(- 2, 4, - 2)$ C、 $(- 2, 0, - 2)$ D、 $(2, 1, - 3)$

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2. 空间直角坐标系中，已知 $A (1, - 2, 3)$ ， $B (3, 2, - 5)$ ，则线段 $A B$ 的中点为（）

A、 $(- 1, - 2, 4)$ B、 $(- 2, 0, 1)$ C、 $(2, 0, - 2)$ D、 $(2, 0, - 1)$

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3. 已知 $\vec{a} = (1, 1, 0), \vec{b} = (0, 1, 1), \vec{c} = (1, 0, 1)$ ， $\vec{p} = \vec{a} - \vec{b}, \vec{q} = \vec{a} + 2 \vec{b} - \vec{c}$ ，则 $\vec{p} \cdot \vec{q} =$ （）

A、-1 B、1 C、0 D、-2

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4. 直三棱柱 $A B C - A_{1} B C_{1}$ 的底面是边长为 $2$ 的正三角形，侧棱长为3， $M$ ， $N$ 分别为 $A_{1} C_{1}$ ， $B C$ 的中点，则 $\overset{⇀}{A B} \cdot \overset{⇀}{N M} =$ （）

A、2 B、-2 C、 $\sqrt{10}$ D、 $- \sqrt{10}$

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5. 如图，在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $M$ ， $N$ 分别是 $B C_{1}$ ， $C D_{1}$ 的中点，则下列说法错误的是（）

A、 $M N$ 与 $C C_{1}$ 垂直 B、 $M N$ 与 $A C$ 垂直 C、 $M N$ 与 $B D$ 平行 D、 $M N$ 与 $A_{1} B_{1}$ 平行

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6. 已知向量 $\vec{a} = (3, 5, - 1)$ ， $\vec{b} = (2, 2, 3)$ ， $\vec{c} = (1, - 1, 2)$ ，则向量 $\vec{a} - \vec{b} + 4 \vec{c}$ 的坐标为（）.

A、 $(5, - 1, 4)$ B、 $(5, 1, - 4)$ C、 $(- 5, 1, 4)$ D、 $(- 5, - 1, 4)$

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7. 已知 $△ A B C$ 的三个顶点坐标分别为 $A (2, 3, 1)$ ， $B (4, 1, - 2)$ ， $C (6, 3, 7)$ ，则 $△ A B C$ 的重心坐标为（）

A、 $(6, \frac{7}{2}, 3)$ B、 $(4, \frac{7}{3}, 2)$ C、 $(8, \frac{14}{3}, 4)$ D、 $(2, \frac{7}{6}, 1)$

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8. 已知 $\overset{⇀}{a}$ ， $\overset{⇀}{b}$ ， $\overset{⇀}{c}$ 是空间向量的一组基底， $\overset{⇀}{a} + \overset{⇀}{b}$ ， $\overset{⇀}{a} - \overset{⇀}{b}$ ， $\overset{⇀}{c}$ 是空间向量的另一组基底，若向量 $x = t y + m$ 在基底 $\overset{⇀}{a}$ ， $\overset{⇀}{b}$ ， $\overset{⇀}{c}$ 下的坐标为 $(4 ， 2 ， 3)$ ，则向量 $x = t y + m$ 在基底 $\overset{⇀}{a} + \overset{⇀}{b}$ ， $\overset{⇀}{a} - \overset{⇀}{b}$ ， $\overset{⇀}{c}$ 下的坐标为（）

A、 $(4 ， 0 ， 3)$ B、 $(1 ， 2 ， 3)$ C、 $(3 ， 1 ， 3)$ D、 $(2 ， 1 ， 3)$

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9. 在空间直角坐标系Oxyz中，下列说法正确的是（）

A、向量 $\vec{A B}$ 的坐标与点B的坐标相同 B、向量 $\vec{A B}$ 的坐标与点A的坐标相同 C、向量 $\vec{A B}$ 与向量 $\vec{O B}$ 的坐标相同 D、向量 $\vec{A B}$ 与向量 $\vec{O B} - \vec{O A}$ 的坐标相同

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10. 已知 $\vec{a} = (1 - t, 2 t - 1, 0), \vec{b} = (2, t, t)$ ，则 $| \vec{a} - \vec{b} |$ 的最小值为（）

A、 $\sqrt{5}$ B、 $\sqrt{6}$ C、 $\sqrt{2}$ D、 $\sqrt{3}$

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11. 已知向量 $\vec{a}$ =（1，1，0），则与 $\vec{a}$ 共线的单位向量 $\vec{e}$ =（）

A、 $(\frac{\sqrt{2}}{2}, - \frac{\sqrt{2}}{2}, 0)$ B、 $(0,$ 1， $0)$ C、 $(\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}, 0)$ D、 $(1,$ 1， $1)$

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12. 已知A(1，0，0)，B(0，－1，1)，O(0，0，0)， $\vec{O A} + λ \vec{O B}$ 与 $\vec{O B}$ 的夹角为120°，则λ的值为（）

A、± $\frac{\sqrt{6}}{6}$ B、 $\frac{\sqrt{6}}{6}$ C、－ $\frac{\sqrt{6}}{6}$ D、± $\sqrt{6}$

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13. 在空间直角坐标系中，已知 $A (1 ， 2 ， 3)$ ，， $C (3 ， 2 ， 1)$ ， $D (4 ， 3 ， 0)$ ，则直线 $A B$ 与 $C D$ 的位置关系是（）

A、垂直 B、平行 C、异面 D、相交但不垂直

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二、填空题

14. 已知空间三点A(1,1,1)，B(－1,0,4)，C(2，－2,3)，则 $\overset{⇀}{A B}$ 与 $\overset{⇀}{C A}$ 的夹角θ的大小是．

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15. 已知 $\vec{A B} = (1, 5, - 2), \vec{B C} = (3, 1, z)$ ，若 $\overset{⇀}{A B} ⊥ \overset{⇀}{B C}, \overset{⇀}{B P} = (x - 1, y, - 3)$ ，且 $B P ⊥$ 平面 $A B C$ ，则 $\vec{B P} =$ ．

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16. 已知向量 $\vec{a} = (1, 2, 3)$ ， $\vec{b} = (x, x^{2} + y - 2, y)$ ，并且 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 同向，则 $x$ ， $y$ 的值分别为．

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17. 若向量 $\vec{a} =$ （1，λ，2）， $\vec{b} =$ （﹣2，1，1）， $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 夹角的余弦值为 $\frac{1}{6}$ ，则λ=.

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18. 已知向量 $\overset{⇀}{a} = (0, - 1, 1), \overset{⇀}{b} = (4, 1, 0), | λ \overset{⇀}{a} + \overset{⇀}{b} | = \sqrt{29}$ ，且 $λ > 0$ ，则 $λ =$ ．

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19. 点P是棱长为1的正方体ABCD﹣A₁B₁C₁D₁的底面A₁B₁C₁D₁上一点，则 $\overset{⇀}{PA} \cdot {\overset{⇀}{PC}}_{1}$ 的取值范围是.

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20. 已知 $\vec{a} = (3 ， 2 λ - 1 ， 1)$ ， $\vec{b} = (μ + 1 ， 0 ， 2 μ)$ ．若 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则μ＝；若 $\vec{a} // \vec{b}$ ，则λ+μ＝．

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三、解答题

21. 如图，已知四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ ， $A A_{1} ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $A B C D$ 是菱形，点 $E$ 在 $A_{1} D$ 上，且 $A_{1} E = 2 E D$ ．

（Ⅰ）证明： $B D_{1} ⊥ A C$ ；

（Ⅱ）证明： $B D_{1} ∥$ 平面 $A C E$ ．

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22. 已知点 $A (0, 1, 2)$ ， $B (1, - 1, 3)$ ， $C (1, 5, - 1)$ ．

(1)、若D为线段 $B C$ 的中点，求线段 $A D$ 的长；

(2)、若 $\overset{⇀}{A D} = (2, a, 1)$ ，且 $\vec{A B} \cdot \vec{A D} = 1$ ，求a的值，并求此时向量 $\vec{A B}$ 与 $\vec{A D}$ 夹角的余弦值．

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23. 如图，建立空间直角坐标系 $O x y z$ .单位正方体 $A B C D - A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ 顶点A位于坐标原点，其中点 $B (1 ， 0 ， 0)$ ，点 $D (0 ， 1 ， 0)$ ，点 $A^{'} (0 ， 0 ， 1)$ .

(1)、若点E是棱 $B^{'} C^{'}$ 的中点，点F是棱 $B^{'} B$ 的中点，点G是侧面 $C D D^{'} C^{'}$ 的中心，则分别求出向量 $\overset{⇀}{O E} ， \overset{⇀}{O G} ， \overset{⇀}{F G}$ 的坐标；

(2)、在（1）的条件下，分别求出 $(\vec{O E} + \vec{O G}) \cdot \vec{F G}$ ， $| \vec{E G} |$ 的值.

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