高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册1.2空间向量基本定理

试卷更新日期：2021-03-08 类型：同步测试

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一、单选题

1. 设 $\vec{x} = \vec{a} + \vec{b} ， \vec{y} = \vec{b} + \vec{c} ， \vec{z} = \vec{c} + \vec{a}$ ，且 ${\vec{a} ， \vec{b} ， \vec{c}}$ 是空间的一个基底，给出下列向量组：① ${\vec{a} ， \vec{b} ， \vec{x}}$ ；② ${\vec{x} ， \vec{y} ， \vec{z}}$ ；③ ${\vec{b} ， \vec{c} ， \vec{z}}$ ；④ ${\vec{x} ， \vec{y} ， \vec{a} + \vec{b} + \vec{c}}$ ，则其中可以作为空间的基底的向量组有（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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2. 在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，点E为上底面A₁C₁的中心，若 $\vec{A E} = \vec{A A_{1}} + x \vec{A B} + y \vec{A D}$ ，则x，y的值是（）

A、 $x = \frac{1}{2}$ ， $y = \frac{1}{2}$ B、 $x = 1$ ， $y = \frac{1}{2}$ C、 $x = \frac{1}{2}$ ， $y = 1$ D、 $x = 1$ ， $y = 1$

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3. 已知三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 的侧棱与底面边长都相等， $A_{1}$ 在底面 $A B C$ 上的射影为 $B C$ 的中点，则异面直线 $A B$ 与 $C C_{1}$ 所成的角的余弦值为（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{4}$ B、 $\frac{3}{4}$ C、 $\frac{\sqrt{5}}{4}$ D、 $\frac{5}{4}$

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4. 如图，平行六面体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，AC与BD的交点为点M， $\overset{⇀}{A B} = \overset{⇀}{a}$ ， $\overset{⇀}{A D} = \overset{⇀}{b}$ ， $\overset{⇀}{A A_{1}} = \overset{⇀}{c}$ ，则下列向量中与 $\overset{⇀}{C_{1} M}$ 相等的向量是（）

A、 $- \frac{1}{2} \overset{⇀}{a} + \frac{1}{2} \overset{⇀}{b} + \overset{⇀}{c}$ B、 $\frac{1}{2} \overset{⇀}{a} + \frac{1}{2} \overset{⇀}{b} + \overset{⇀}{c}$ C、 $- \frac{1}{2} \overset{⇀}{a} - \frac{1}{2} \overset{⇀}{b} - \overset{⇀}{c}$ D、 $- \frac{1}{2} \overset{⇀}{a} - \frac{1}{2} \overset{⇀}{b} + \overset{⇀}{c}$

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5. 已知空间四点 $A (4, 1, 3)$ ， $B (2, 3, 1)$ ， $C (3, 7, - 5)$ ， $D (x, - 1, 3)$ 共面，则 $x$ 的值为（）

A、4 B、1 C、10 D、11

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6. 已知 $\vec{a} + \vec{b} + \vec{c} = 0$ ， $| \vec{a} | = 2$ ， $| \vec{b} | = 3$ ， $| \vec{c} | = \sqrt{19}$ ，则向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 之间的夹角 $〈 \vec{a}, \vec{b} 〉$ 为（）.

A、30° B、45° C、60° D、以上都不对

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7. 空间四边形 $A B C D$ 的各边和对角线均相等， $E$ 是 $B C$ 的中点，那么（）.

A、 $\vec{A E} \cdot \vec{B C} < \vec{A E} \cdot \vec{C D}$ B、 $\vec{A E} \cdot \vec{B C} = \vec{A E} \cdot \vec{C D}$ C、 $\vec{A E} \cdot \vec{B C} > \vec{A E} \cdot \vec{C D}$ D、 $\vec{A E} \cdot \vec{B C}$ 与 $\vec{A E} \cdot \vec{C D}$ 的大小不能比较

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8. 如图，在长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A B = B C = 2$ ， $A A_{1} = \sqrt{2}$ ， $E$ ， $F$ 分别是平面 $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ ，平面 $B C C_{1} B_{1}$ 的中心，则 $E$ ， $F$ 两点间的距离为（）.

A、1 B、 $\frac{\sqrt{5}}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{6}}{2}$ D、 $\frac{3}{2}$

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9. 如图，三棱锥A－BCD中，AB⊥底面BCD，BC⊥CD，且AB=BC=1，CD=2，点E为CD的中点，则AE的长为（）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\sqrt{3}$ C、 $2$ D、 $\sqrt{5}$

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10. 在以下三个命题中，真命题的个数是（）.
①若三个非零向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ， $\vec{c}$ 不能构成空间的一个基底，则 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ， $\vec{c}$ 共面；②若两个非零向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 共线；③若 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 是两个不共线的向量，而 $\vec{c} = λ \vec{a} + μ \vec{b}$ （ $λ, μ \in R$ 且 $λ μ \neq 0$ ），则 ${\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}}$ 构成空间的一个基底.

A、0 B、1 C、2 D、3

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11. 若向量 $\overset{⇀}{M A}$ 、 $\overset{⇀}{M B}$ 、 $\overset{⇀}{M C}$ 的起点与终点 $M$ 、 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 互不重合且无三点共线，且满足下列关系（ $O$ 是空间任一点），则能使向量 $\overset{⇀}{M A}$ 、 $\overset{⇀}{M B}$ 、 $\overset{⇀}{M C}$ 成为空间一组基底的关系是（）

A、 $\overset{⇀}{O M} = \frac{1}{3} \overset{⇀}{O A} + \frac{1}{3} \overset{⇀}{O B} + \frac{1}{3} \overset{⇀}{O C}$ B、 $\overset{⇀}{M A} \neq \overset{⇀}{M B} + \overset{⇀}{M C}$ C、 $\overset{⇀}{O M} = \overset{⇀}{O A} + \overset{⇀}{O B} + \overset{⇀}{O C}$ D、 $\overset{⇀}{M A} = 2 \overset{⇀}{M B} - \overset{⇀}{M C}$

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12. 在空间四点 $O$ ， $A$ ， $B$ ， $C$ 中，若 ${\vec{O A}, \vec{O B}, \vec{O C}}$ 是空间的一个基底，则下列命题不正确的是（）.

A、 $O$ ， $A$ ， $B$ ， $C$ 四点不共线 B、 $O$ ， $A$ ， $B$ ， $C$ 四点共面，但不共线 C、 $O$ ， $A$ ， $B$ ， $C$ 四点不共面 D、 $O$ ， $A$ ， $B$ ， $C$ 点中任意三点不共线

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13. 已知空间任意一点O和不共线三点A，B，C，若 $\vec{CP}$ =2 $\vec{CA} + \vec{CB}$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $\vec{OP} = \vec{OA}$ +2 $\vec{OB}$ -2 $\vec{OC}$ B、 $\vec{OP}$ =-2 $\vec{OA} - \vec{OB}$ +3 $\vec{OC}$ C、 $\vec{OP}$ =2 $\vec{OA} + \vec{OB}$ -3 $\vec{OC}$ D、 $\vec{OP}$ =2 $\vec{OA} + \vec{OB}$ -2 $\vec{OC}$

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二、填空题

14. 如图，在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $A A_{1} = 2$ ， $A C = B C = 1$ ，则异面直线 $A_{1} B$ 与 $A C$ 所成角的余弦值是．

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15. 已知 $\vec{a} = (5, 3, 1)$ ， $\vec{b} = (- 2, t, - \frac{2}{5})$ .若 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为钝角，则实数 $t$ 的取值范围是.

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16. 设向量 $\vec{u} = (a ， b ， 0)$ ， $\vec{v} = (c ， d ， 1)$ .其中 $a^{2} + b^{2} = c^{2} + d^{2} = 1$ .则 $\vec{u}$ 与 $\vec{v}$ 夹角的最大值为.

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17. 如图，在平行六面体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $M$ 为 $A C$ 与 $B D$ 的交点，若 $\vec{A_{1} B_{1}} = \vec{a}$ ， $\vec{A_{1} D_{1}} = \vec{b}$ ， $\vec{A_{1} A} = \vec{c}$ ，用 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ， $\vec{c}$ 表示 $\vec{D_{1} M}$ ，则 $\vec{D_{1} M} =$ .

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18. 如图，在空间四边形 $A B C D$ 中， $A C$ 和 $B D$ 为对角线， $G$ 为 $Δ A B C$ 的重心 $E$ 是 $B D$ 上一点， $B E = 3 E D ，$ 以 $| \overset{⇀}{A B} ， \overset{⇀}{A C} ， \overset{⇀}{A D} |$ 为基底，则 $\overset{⇀}{G E} =$ ．

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19. 已知空间的个基底 ${\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}}, \vec{m} = \vec{a} - \vec{b} + \vec{c}, \vec{n} = x \vec{a} + y \vec{b} + \vec{c}$ ，若 $\vec{m}$ ， $\vec{n}$ 共线，则 $x =$ ， $y =$ .

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三、解答题

20. 如图，在三棱锥 $O - A B C$ 中，G是 $△ A B C$ 的重心（三条中线的交点），P是空间任意一点.

(1)、用向量 $\vec{O A} ， \vec{O B} ， \vec{O C}$ 表示向量 $\vec{O G}$ ，并证明你的结论；

(2)、设 $\vec{O P} = x \vec{O A} + y \vec{O B} + z \vec{O C} ， x ， y ， z \in R$ ，请写出点P在 $△ A B C$ 的内部（不包括边界）的充分必要条件（不必给出证明）.

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21. 如图，在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A B = A C ， A_{1} C ⊥ B C_{1} ， A B_{1} ⊥ B C_{1}$ ，D，E分别是 $A B_{1} ， B C$ 的中点.求证：

(1)、 $D E / /$ 平面 $A C C_{1} A_{1}$ ；

(2)、 $A E ⊥$ 平面 $B C C_{1} B_{1}$ .(用向量方法证明)

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