高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册1.1.2空间向量的数量积运算

试卷更新日期：2021-03-08 类型：同步测试

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一、单选题

1. 已知空间向量 $\vec{a} + \vec{b} + \vec{c} = \vec{0}$ ， $| \vec{a} | = 2$ ， $| \vec{b} | = 3$ ， $| \vec{c} | = 4$ ，则 $\cos 〈 \vec{a}, \vec{b} 〉 =$ （）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $- \frac{1}{2}$ D、 $\frac{1}{4}$

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2. 在棱长为2的正四面体ABCD中，E，F分别是BC，AD的中点，则 $\vec{A E} \cdot \vec{C F} =$ （）

A、0 B、-2 C、2 D、-3

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3. 已知向量 $\vec{i}$ ， $\vec{j}$ ， $\vec{k}$ 是一组单位向量，且两两垂直．若 $\vec{m} = 8 \vec{j} + 3 \vec{k}$ ， $\vec{n} = - \vec{i} + 5 \vec{j} - 4 \vec{k}$ ，则 $\vec{m} \cdot \vec{n}$ 的值为（）．

A、7 B、-20 C、28 D、11

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4. 已知棱长为1的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的上底面 $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的中心为 $O_{1}$ ，则 $\vec{A O_{1}} \cdot \vec{A C}$ 的值为（）

A、-1 B、0 C、1 D、2

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5. 如图，空间四边形 $A B C D$ 的每条边和对角线长都等于1，点 $E$ ， $F$ ， $G$ 分别是 $A B$ ， $A D$ ， $D C$ 的中点，则 $\overset{⇀}{F G} \cdot \overset{⇀}{A B} =$ （）.

A、 $\frac{\sqrt{3}}{4}$ B、 $\frac{1}{4}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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6. 已知 $\vec{e_{1}}$ ， $\vec{e_{2}}$ 是夹角为 $60^{\circ}$ 的两个单位向量，则 $\vec{a} = \vec{e_{1}} + \vec{e_{2}}$ 与 $\vec{b} = \vec{e_{1}} - 2 \vec{e_{2}}$ 的夹角是（）

A、60° B、120° C、30° D、90°

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7. 已知a、b是异面直线，且 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ， $\vec{e_{1}}$ ， $\vec{e_{2}}$ 分别为直线 $a$ ， $b$ 上的单位向量，且 $\vec{m} = 2 \vec{e_{1}} + 3 \vec{e_{2}}$ ， $\vec{n} = k \vec{e_{1}} - 4 \vec{e_{2}}$ ， $\vec{m} ⊥ \vec{n}$ ，则实数 $k$ 的值为（）

A、-6 B、6 C、3 D、-3

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8. 已知在平行六面体 $A B C D - A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ 中， $A B = 3$ ， $A D = 4$ ， $A A^{'} = 5$ ， $∠ B A D = 120^{°}$ ， $∠ B A A^{'} = 60^{°}$ ， $∠ D A A^{'} = 90^{°}$ ，则 $A C^{'}$ 的长为（）．

A、 $5 \sqrt{2}$ B、 $5 \sqrt{3}$ C、 $\sqrt{58}$ D、 $\sqrt{53}$

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9. 如图，正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为 $a$ ，对角线 $A C_{1}$ 和 $B D_{1}$ 相交于点 $O$ ，则（）．

A、 $\vec{A B} \cdot \vec{A_{1} C_{1}} = 2 a^{2}$ B、 $\vec{A B} \cdot \vec{A C_{1}} = \sqrt{2} a^{2}$ C、 $\vec{A B} \cdot \vec{A O} = \frac{1}{2} a^{2}$ D、 $\vec{B C} \cdot \vec{D A_{1}} = a^{2}$

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二、多选题

10. 设 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 为空间中的任意两个非零向量，下列各式中正确的有（）．

A、 ${\vec{a}}^{2} = | \vec{a} |^{2}$ B、 $\frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{{\vec{a}}^{2}} = \frac{\vec{b}}{\vec{a}}$ C、 ${(\vec{a} \cdot \vec{b})}^{2} = {\vec{a}}^{2} \cdot {\vec{b}}^{2}$ D、 ${(\vec{a} - \vec{b})}^{2} = {\vec{a}}^{2} - 2 \vec{a} \cdot \vec{b} + {\vec{b}}^{2}$

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11. 设 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ， $\vec{c}$ 是任意的非零空间向量，且两两不共线，则下列结论中正确的有（）．

A、 $(\vec{a} \cdot \vec{b}) \vec{c} - (\vec{c} \cdot \vec{a}) \vec{b} = 0$ B、 $| \vec{a} | - | \vec{b} | < | \vec{a} - \vec{b} |$ C、 $(\vec{b} \cdot \vec{a}) \vec{c} - (\vec{c} \cdot \vec{a}) \vec{b}$ 不与 $\vec{c}$ 垂直 D、 $(3 \vec{a} + 2 \vec{b}) \cdot (3 \vec{a} - 2 \vec{b}) = 9 | \vec{a} |^{2} - 4 | \vec{b} |^{2}$

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三、填空题

12. 已知空间向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ， $\vec{c}$ 满足 $\vec{a} + \vec{b} + \vec{c} = \vec{0}$ ， $| \vec{a} | = 3$ ， $| \vec{b} | = 1$ ， $| \vec{c} | = 4$ ，则 $\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot c + c \cdot \vec{a}$ 的值为．

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13. 已知空间向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ， $| \vec{a} | = 2$ ， $| \vec{b} | = \sqrt{2}$ ， $\vec{a} \cdot \vec{b} = - 2$ ，则 $< \vec{a}, \vec{b} > =$ ．

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14. 已知空间向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ， $| \vec{a} | = 2$ ， $| \vec{b} | = 1$ ， $〈 \vec{a}, \vec{b} 〉 = 60^{°}$ ，则使向量 $\vec{a} + λ \vec{b}$ 与 $λ \vec{a} - 2 \vec{b}$ 的夹角为钝角的实数 $λ$ 的取值范围是．

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15. 已知空间向量 $\vec{m}$ ， $\vec{n}$ ，设 $| \vec{m} | = 1$ ， $| \vec{n} | = 2$ ， $2 \vec{m} + \vec{n}$ 与 $\vec{m} - 3 \vec{n}$ 垂直， $\vec{a} = 4 \vec{m} - \vec{n}$ ， $\vec{b} = 7 \vec{m} + 2 \vec{n}$ ，则 $< \vec{a}, \vec{b} > =$ ．

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16. 已知空间中四点 $A$ ， $B$ ， $E$ ， $C$ ，若 $\vec{A B} \cdot \vec{B E} = \vec{A B} \cdot \vec{B C}$ ，则 $\vec{A B}$ $\vec{C E}$ ．（填“ $⊥$ ”“ $//$ ”或“ $=$ ”）

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17. 已知空间向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ， $\vec{c}$ 中两两夹角都是 $\frac{π}{3}$ ，且 $| \vec{a} | = 4$ ， $| \vec{b} | = 6$ ， $| \vec{c} | = 2$ ，则 $| \vec{a} + \vec{b} + \vec{c} | =$ ．

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18. 如图，在 $Δ A B C$ 和 $Δ A E F$ 中， $B$ 是 $E F$ 的中点， $A B = 2$ ， $E F = 4$ ， $C A = C B = 3$ ，若 $\overset{⇀}{A B} \cdot \overset{⇀}{A E} + \overset{⇀}{A C} \cdot \overset{⇀}{A F} = 7$ ，则 $\overset{⇀}{E F}$ 与 $\overset{⇀}{B C}$ 的夹角的余弦值等于．

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19. 已知 $| \vec{O A} | = 5$ ， $| \vec{O B} | = 2$ ， $〈 \vec{O A}, \vec{O B} 〉 = 60^{°}$ ， $\vec{O C} = 2 \vec{O A} + \vec{O B}$ ， $\vec{O D} = \vec{O A} - 2 \vec{O B}$ ，则以 $O C$ ， $O D$ 为邻边的平行四边形 $O C E D$ 的对角线 $O E$ 的长为．

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四、解答题

20. 如图，已知平行六面体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，底面ABCD是边长为1的正方形， $A A_{1} = 2$ ， $∠ A_{1} A B = ∠ A_{1} A D = 120 °$ ．

(1)、求线段 $A C_{1}$ 的长；

(2)、求异面直线 $A C_{1}$ 与 $A_{1} D$ 所成角的余弦值；

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