高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册1.1.1空间向量及其线性运算

试卷更新日期：2021-03-08 类型：同步测试

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一、单选题

1. 下列说法正确的是（）

A、若 $| \vec{a} | = | \vec{b} |$ ，则 $\vec{a} = \vec{b}$ 或 $\vec{a} = - \vec{b}$ B、若 $\vec{a}$ 、 $\vec{b}$ 为相反向量，则 $\overset{⇀}{a} + \overset{⇀}{b} = \vec{0}$ C、零向量是没有方向的向量 D、若 $\vec{a}$ 、 $\vec{b}$ 是两个单位向量，则 $\vec{a} = \vec{b}$

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2. 下列命题是真命题的是（）

A、若分别表示空间两向量的有向线段所在的直线是异面直线，则这两个向量不是共面向量 B、 $\vec{A B} = \vec{C D}$ 的充要条件是A与C重合，B与D重合 C、若向量 $\vec{A B} ， \vec{C D}$ 满足 $| \vec{A B} | > | \vec{C D} |$ ，且 $\vec{A B}$ 与 $\vec{C D}$ 同向，则 $\vec{A B} > \vec{C D}$ D、若两个非零向量 $\vec{A B}$ 与 $\vec{C D}$ 满足 $\vec{A B} + \vec{C D} = 0$ ，则 $\vec{A B} / / \vec{C D}$

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3. 在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，下列各式的运算结果为向量 $\vec{B_{1} D_{1}}$ 的是（）
① $\vec{A_{1} D_{1}} - \vec{A_{1} A} - \vec{A B}$ ；② $\vec{B C} + {\vec{B B}}_{1} - \vec{D_{1} C_{1}}$ ；③ $\vec{A D} - \vec{A B_{1}} + \vec{D D_{1}}$ ；④ $\vec{B_{1} D_{1}} - \vec{A A_{1}} + \vec{D D_{1}}$ ．

A、①② B、②③ C、③④ D、①④

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4. 设有四边形ABCD，O为空间任意一点，且 $\vec{A O} + \vec{O B} = \vec{D O} + \vec{O C}$ ，则四边形ABCD是（）

A、空间四边形 B、平行四边形 C、等腰梯形 D、矩形

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5. 给出下列命题：
①若将空间中所有的单位向量的起点移到同一个点，则它们的终点构成一个圆；②若空间向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $| \vec{a} | = | \vec{b} |$ ，则 $\vec{a} = \vec{b}$ ；③若空间向量 $\vec{m}$ ， $\vec{n}$ ， $\vec{p}$ 满足 $\vec{m} = \vec{n}$ ， $\vec{n} = \vec{p}$ ，则 $\vec{m} = \vec{p}$ ；④空间中任意两个单位向量必相等；⑤零向量没有方向.

其中假命题的个数是（）.

A、1 B、2 C、3 D、4

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6. 如图，在底面为正方形的平行六面体 $A B C D - A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ 的棱中，与向量 $\vec{A A^{'}}$ 模相等的向量有（）.

A、0个 B、3个 C、7个 D、9个

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7. 空间任意四个点A、B、C、D，则 $\overset{⇀}{B A} + \overset{⇀}{C B} - \overset{⇀}{C D}$ 等于 ( ）

A、 $\overset{⇀}{D B}$ B、 $\overset{⇀}{A D}$ C、 $\overset{⇀}{D A}$ D、 $\overset{⇀}{A C}$

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8. 如图所示，在平行六面体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A C$ 与 $B D$ 的交点为M．设 $\vec{A_{1} B_{1}} = \vec{a} ， \vec{A_{1} D_{1}} = \vec{b} ， \vec{A_{1} A} = \vec{c}$ ，则下列向量中与 $2 \vec{B_{1} M}$ 相等的向量是（）

A、 $- \vec{a} + \vec{b} + 2 \vec{c}$ B、 $\vec{a} + \vec{b} + 2 \vec{c}$ C、 $\vec{a} - \vec{b} + 2 \vec{c}$ D、 $- \vec{a} - \vec{b} + 2 \vec{c}$

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9. 已知向量 $\vec{a}$ ､ $\vec{b}$ ，且 $\vec{A B}$ = $\vec{a}$ +2 $\vec{b}$ ， $\vec{B C}$ =-5 $\vec{a}$ +6 $\vec{b}$ ， $\vec{C D}$ =7 $\vec{a}$ -2 $\vec{b}$ ，则一定共线的三点是（）

A、A､B､D B、A､B､C C、B､C､D D、A､C､D

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10. 有下列说法：
①若 $\overset{⇀}{p} = x \overset{⇀}{a} + y \overset{⇀}{b}$ ，则 $x = t y + m$ 与 $\overset{⇀}{a}$ ， $\overset{⇀}{b}$ 共面；②若 $x = t y + m$ 与 $\overset{⇀}{a}$ ， $\overset{⇀}{b}$ 共面，则 $\overset{⇀}{p} = x \overset{⇀}{a} + y \overset{⇀}{b}$ ；③若 $\overset{⇀}{M P} = x \overset{⇀}{M A} + y \overset{⇀}{M B}$ ，则 $P, M, A, B$ 共面；④若 $P, M, A, B$ 共面，

则 $\overset{⇀}{M P} = x \overset{⇀}{M A} + y \overset{⇀}{M B}$ .其中正确的是（）

A、①②③④ B、①③④ C、①③ D、②④

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二、多选题

11. 已知正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ ，则下列各式运算结果是 $\vec{A C_{1}}$ 的为（）.

A、 $\vec{A B} + \vec{A D} + {\vec{A A}}_{1}$ B、 $\vec{A A_{1}} + \vec{A_{1} B_{1}} + \vec{A_{1} D_{1}}$ C、 $\vec{A B} + \vec{B C} + \vec{C C_{1}}$ D、 $\vec{A B} + \vec{A C} + \vec{C C_{1}}$

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三、填空题

12. 已知正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $\overset{⇀}{A_{1} E} = \frac{1}{4} \overset{⇀}{A_{1} C_{1}}$ ，若 $\overset{⇀}{A E} = x \overset{⇀}{A A_{1}} + y (\overset{⇀}{A B} + \overset{⇀}{A D})$ ，则 $x =$ ， $y =$ ．

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13. 如图，在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，若 $\vec{C A} = \vec{a} ，$ $\vec{C B} = \vec{b} ，$ ${\vec{C C}}_{1} = \vec{c}$ ，则 $\vec{A_{1} B} =$ ．（用 $\vec{a} ， \vec{b} ， \vec{c}$ 表示）

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14. 已知 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 、 $D$ 为空间中任意四点，化简 $(\vec{A B} - \vec{C D}) - (\vec{A C} - \vec{B D}) =$ .

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15. 直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，若 $\overset{⇀}{C A} = \vec{a}, \overset{⇀}{C B} = \vec{b}, \overset{⇀}{C C_{1}} = \vec{c}$ ，则 $\overset{⇀}{B A_{1}} =$ ．

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16. 在空间四边形ABCD中，连接AC、BD，若 $△$ BCD是正三角形，且E为其中心，则 $\overset{⇀}{A B} + \frac{1}{2} \overset{⇀}{B C} - \frac{3}{2} \overset{⇀}{D E} - \overset{⇀}{A D}$ 的化简结果为．

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17. 已知 $\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}$ 是不共面向量， $\vec{a} = 2 \vec{i} - \vec{j} + 3 \vec{k}, \vec{b} = - \vec{i} + 4 \vec{j} - 2 \vec{k}, \vec{c} = 7 \vec{i} + 5 \vec{j} + λ \vec{k}$ ，若 $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ 三个向量共面，则实数 $λ$ 等于．

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18. 对于空间中的非零向量 $\overset{⇀}{A B}$ ， $\overset{⇀}{B C}$ ， $\overset{⇀}{A C}$ ，有下列各式：
① $\overset{⇀}{A B} + \overset{⇀}{B C} = \overset{⇀}{A C}$ ；

② $\overset{⇀}{A B} - \overset{⇀}{A C} = \overset{⇀}{B C}$ ；

③ $| \overset{⇀}{A B} | + | \overset{⇀}{B C} | = | \overset{⇀}{A C} |$ ；

④ $| \overset{⇀}{A B} | - | \overset{⇀}{A C} | = | \overset{⇀}{B C} |$ .

其中一定不成立的是（填序号）．

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19. 如图所示， $M$ 、 $N$ 分别是空间四边形 $A B C D$ 的边 $A B$ 、 $C D$ 的中点.试判断向量 $\vec{M N}$ 与向量 $\vec{A D}$ 、 $\vec{B C}$ 是否共面.

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四、解答题

20. 如图，点M，N分别在对角线 $B D ， A E$ 上，且 $B M = \frac{1}{3} B D ， A N = \frac{1}{3} A E$ ．求证：向量 $\vec{M N} ， \vec{C D} ， \vec{D E}$ 共面．

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