初中数学湘教版九年级下册1.4二次函数与一元二次方程的联系同步练习

试卷更新日期：2021-03-07 类型：同步测试

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一、单选题

1. 抛物线 $y = x^{2} - 2$ 与y轴交点的坐标是（）

A、 $(0 ， 2)$ B、 $(0 ， - 2)$ C、 $(2 ， 0)$ D、 $(- 2 ， 0)$

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2. 二次函数 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 的顶点坐标为 $(- 1 ， n)$ ，其部分图象如图所示.以下结论错误的是（）

A、 $a b c > 0$ B、 $4 a c - b^{2} < 0$ C、 $3 a + c > 0$ D、关于x的方程 $a x^{2} + b x + c = n + 1$ 无实数根

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3. 根据下列表格的对应值：判断方程ax²＋bx＋c＝0(a≠0)的一个根x的大致范围是（）

x

6.17

6.18

6.19

6.20

ax²＋bx＋c

−0.03

−0.01

0.02

0.04

A、6.19<x<6.20 B、6.18<x<6.19 C、6.17<x<6.18 D、6<x<6.17

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4. 若二次函数 $y = 3 x^{2} + 2 x - 2 m$ 的图象与 $x$ 轴有两个交点，则关于 $x$ 的一元二次方程 $3 x^{2} + 2 x = 2 m$ 的根的情况是（）

A、有两个不相等的实数根 B、有两个相等的实数根 C、没有实数根 D、不能确定

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5. 已知抛物线y=- $\frac{1}{6}$ x²+ $\frac{3}{2}$ x+6与x轴交于点A，点B，与y轴交于点C．若D为AB的中点，则CD的长为（）

A、 $\frac{15}{4}$ B、 $\frac{9}{2}$ C、 $\frac{13}{2}$ D、 $\frac{15}{2}$

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6. 已知抛物线 $y = a x {}^{2}+ b x + c$ 与x轴的两个交点坐标是（-2，0），（5，0），则一元二次方程 $a x^{2} + b x + c = 0$ 的两个解是（）

A、 $x_{1} = - 2, x_{2} = 5$ B、 $x_{1} = 2, x_{2} = - 5$ C、 $x_{1} = - 2, x_{2} = - 5$ D、 $x_{1} = 2, x_{2} = 5$

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7. 已知二次函数y＝x²－2ax+a²－2a－4（a为常数）的图象与x轴有交点，则a的取值范围是（）

A、a＞－2 B、a≥－2 C、a＜－2 D、a≤－2

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8. 若函数y＝（m﹣1）x²﹣6x+ $\frac{3}{2}$ m的图象与x轴有且只有一个交点，则m的值为（　　）

A、﹣2或3 B、﹣2或﹣3 C、1或﹣2或3 D、1或﹣2或﹣3

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9. 如图，以直线 $x = 1$ 为对称轴的二次函数 $y = a x^{2} + b x + c$ 的图象与x轴负半轴交于A点，则一元二次方程 $a x^{2} + b x + c = 0$ 的正数解的范围是（）.

A、 $2 < x < 3$ B、 $3 < x < 4$ C、 $4 < x < 5$ D、 $5 < x < 6$

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10. 如图，二次函数 $y = a x^{2} + b x + c (a > 0)$ 的图象与 $x$ 轴交于两点 $(x_{1} ， 0)$ ， $(2 ， 0)$ ，其中 $0 < x_{1} < 1$ .下列四个结论：① $a b c < 0$ ；② $2 a - c > 0$ ；③ $a + 2 b + 4 c > 0$ ；④ $\frac{4 a}{b} + \frac{b}{a} < - 4$ ，正确的个数是（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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二、填空题

11. 抛物线y＝2x²﹣3x﹣5与x轴两个交点之间的距离是.

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12. 如图是二次函数y＝ax²+bx+c的图象的一部分且图象过点A（﹣3，0），对称轴为x＝﹣1，给出四个结论：①b²＞4ac；②图象可能过（2，0）；③a+b+c＝0；④a＞b.其中正确的是.（填序号）

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13. 若函数 $y = x^{2} + 2 x + m$ 的图象与x轴没有交点，则m的取值范围是．

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14. 在关于的

x

二次函数中，自变量

x

可以取任意实数，下表是自变量

x

与函数

y

的几组对应值：

$x$	…	1	2	3	4	5	6	7	8	…
$y = a x^{2} + b x + c$	…	-1.78	-3.70	-4.42	-3.91	-2.20	$0.75$	4.88	10.27	…

根据以上信息，关于 $x$ 的一元二次方程 $a x^{2} + b x + c = 0$ 的两个实数根中，其中的一个实数根约等于（结果保留小数点后一位）．

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15. 二次函数 $y = (x - a) (x - b) - 2 (a < b)$ 与x轴的两个交点的横坐标分别为m和n ，且 $m < n$ ，则a ， b ， m ， n四个数的大小关系是（用<号连接）

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三、解答题

16. 已知抛物线的解析式为 $y = x^{2} - 2 m x - 3 m^{2} - 1$ ，求证：无论m取何值，抛物线与x轴总有两个交点．

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17. 已知关于x的二次函数 $y = - x^{2} + (k - 2) x + k$ ．

(1)、试判断该函数的图象与x轴的交点的个数；

(2)、当 $k = 3$ 时，求该函数图象与x轴的两个交点之间的距离．

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18. 如图是二次函数y=(x+m)²+k的图象，其顶点坐标为M(1，-4)，抛物线与x轴的交点为A、B(点A在点B的左边)

(1)、写出抛物线的解析式、开口方向、对称轴；

(2)、求出图象与x轴的交点A、B的坐标；

(3)、在二次函数的图象上是否存在点P ，使S_△PAB=S_△MAB？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

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19. 某果农在其承包的果园中种植了60棵桔子树，每棵桔子树的产量是100kg，果农想增加桔子树的棵数来增产，但增加果树会导致每棵树的光照减少，使得单棵果树产量减少，试验发现每增加1棵桔子树，单棵桔子树的产量减少0.5kg．

(1)、在投入成本最低的情况下，增加多少棵桔子树时，可以使果园总产量达到6650kg？

(2)、设增加x棵桔子树，考虑实际增加桔子树的情况，10≤x≤40，请你计算一下，果园总产量最多为多少kg，最少为多少kg？

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20. 我们可以通过下列步骤估计方程x²﹣2x﹣2=0方程的根所在的范围．
第一步：画出函数y=x²﹣2x﹣2=0的图象，发现函数图象是一条连续不断的曲线，且与x轴的一个交点的横坐标在0，﹣1之间．

第二步：因为当x=0时，y=﹣2＜0，当x=﹣1时，y=1＞0，

所以可确定方程x²﹣2x﹣2=0的一个根x₁所在的范围是﹣1＜x₁＜0

第三步：通过取0和﹣1的平均数缩小x₁所在的范围：

取x= $\frac{- 1 + 0}{2} = - \frac{1}{2}$ ，因为当x= $- \frac{1}{2}$ 对，y＜0．又因为当x=﹣1时，y＞0，所以 $- 1 < x_{1} < - \frac{1}{2}$

(1)、请仿照第二步，通过运算验证方程x²﹣2x﹣2=0的另一个根x₂所在的范围是2＜x₂＜3

(2)、在2＜x₂＜3的基础上，重复应用第三步中取平均数的方法，将x₂所在的范围缩小至a＜x₂＜b ，使得 $b - a ⩽ \frac{1}{4}$ ．

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x	6.17	6.18	6.19	6.20
ax²＋bx＋c	−0.03	−0.01	0.02	0.04

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一、单选题

二、填空题

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