高中数学人教A版（2019）必修二第六章平面向量及其应用单元试卷

试卷更新日期：2021-02-09 类型：单元试卷

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一、单选题

1. 已知Rt△ABC，AB=3，BC=4，CA=5，P为△ABC外接圆上的一动点，且 $\vec{A P} = x \vec{A B} + y \vec{A C} ，则 x + y$ 的最大值是（）

A、 $\frac{5}{4}$ B、 $\frac{4}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{17}}{6}$ D、 $\frac{5}{3}$

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2. 已知向量 $\overset{⇀}{a}$ ， $\overset{⇀}{b}$ 的夹角为 $60 °$ ， $| \overset{⇀}{a} | = 1$ 且 $\overset{⇀}{c} = - 2 \overset{⇀}{a} + t \overset{⇀}{b} (t \in R)$ ，则 $| \overset{⇀}{c} | + | \overset{⇀}{c} - \overset{⇀}{a} |$ 的最小值为（）

A、 $\sqrt{13}$ B、 $\sqrt{19}$ C、5 D、 $\frac{9 \sqrt{13}}{4}$

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3. 下列说法中：⑴若向量 $\vec{a} ∥ \vec{b}$ ，则存在实数 $λ$ ，使得 $\vec{a} = λ \vec{b}$ ；
⑵非零向量 $\vec{a} ， \vec{b} ， \vec{c} ， \vec{d}$ ，若满足 $\vec{d} = (\vec{a} \cdot \vec{c}) \vec{b} - (\vec{a} \cdot \vec{b}) \vec{c}$ ，则 $\vec{a} ⊥ \vec{d}$
⑶与向量 $\vec{a} = (1 ， 2)$ ， $\vec{b} = (2 ， 1)$ 夹角相等的单位向量 $\vec{c} = (\frac{\sqrt{2}}{2} ， \frac{\sqrt{2}}{2})$
⑷已知 $△ A B C$ ，若对任意 $t \in R ， |\vec{B A} - t \vec{B C}| \geq |\vec{A C}|$ ，则 $△ A B C$ 一定为锐角三角形。
其中正确说法的序号是( )

A、(1)(2) B、(1)(3) C、(2)(4) D、(2)

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4. 如图，在 $Δ A B C$ 中，点 $M$ ， $N$ 分别为 $C A$ ， $C B$ 的中点，若 $A B = \sqrt{5}$ ， $C B = 1$ ，且满足 $3 \overset{⇀}{A G} \cdot \overset{⇀}{M B} = {\overset{⇀}{C A}}^{2} + {\overset{⇀}{C B}}^{2}$ ，则 $\overset{⇀}{A G} \cdot \overset{⇀}{A C}$ 等于（）

A、2 B、 $\sqrt{5}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、 $\frac{8}{3}$

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5. 定义域为 $[a ， b]$ 的函数 $y = f (x)$ 图像的两个端点为A、B， $M (x ， y)$ 是函数 $y = f (x)$ 图象上任意一点，其中 $x = λ a + (1 - λ) b ， λ \in (0 ， 1)$ ．已知向量 $\vec{O N} = \vec{λ O A} + (1 - λ) \vec{O B}$ ，若不等式 $\vec{|M N|} \leq k$ 恒成立，则称函数 $y = f (x)$ 在 $[a ， b]$ 上“k阶线性近似”．若函数 $y = x - \frac{1}{x}$ 在 $[1 ， 2]$ 上“k阶线性近似”，则实数k的取值范围为（）

A、 $[0 ， + \infty)$ B、 $[\frac{1}{12} ， + \infty)$ C、 $[\frac{3}{2} + \sqrt{2} ， + \infty)$ D、 $[\frac{3}{2} - \sqrt{2} ， + \infty)$

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6. 已知集合 $M = \{1 ， 2 ， 3\}$ ， $N = \{1 ， 2 ， 3 ， 4\}$ ，定义函数 $f ： M \to N$ ．若点 $A (1 ， f (1))$ ， $B (2 ， f (2))$ ， $C (3 ， f (3))$ ， $△ A B C$ 的外接圆圆心为D ，且 $\vec{D A} + \vec{D C} = λ \vec{D B} (λ \in R)$ ，则满足条件的函数 $f (x)$ 有（）

A、6个 B、10个 C、12个 D、16个

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7. 点P是 $△ A B C$ 内一点且满足 $4 \vec{P A} + 3 \vec{P B} + 2 \vec{P C} = \vec{0}$ ，则 $△ P B C ， △ P A C ， △ P A B$ 的面积比为（）

A、 $4 ： 3 ： 2$ B、 $2 ： 3 ： 4$ C、 $1 ： 1 ： 1$ D、 $3 ： 4 ： 6$

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8. 已知向量 $\vec{O A} ， \vec{O B}$ 满足 $\vec{| O A |} = \vec{| O B |} = 1 ， \vec{O A} ⊥ \vec{O B} ， \vec{O C} = λ \vec{O A} + μ \vec{O B} (λ ， μ \in R)$ ，若M为AB的中点，并且 $| \vec{M C} | = 1$ ，则λ+μ的最大值是（）

A、 $1 - \sqrt{3}$ B、 $1 + \sqrt{2}$ C、 $\sqrt{5}$ D、 $1 + \sqrt{3}$

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9. 在 $Δ A B C$ 中， $∠ C = 90^{0} ， | A B | = 6$ ，点 $P$ 满足 $| C P | = 2$ ，则 $\overset{⇀}{P A} \cdot \overset{⇀}{P B}$ 的最大值为（）

A、 $9$ B、 $16$ C、 $18$ D、 $25$

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10. 点M是 $△ A B C$ 的边BC上任意一点，N在线段AM上，且 $\vec{A N} = x \vec{A B} + y \vec{A C}$ ，若 $x + y = \frac{1}{3}$ ，则 $△ N B C$ 的面积与 $△ A B C$ 的面积的比值是 $($ $)$

A、 $\frac{1}{2}$ B、 C、 $\frac{2}{3}$ D、 $\frac{1}{4}$

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11. 如图，在半径为2的扇形 $A O B$ 中， $∠ A O B = \frac{3 π}{4}$ ， $P$ 是弧 $A B$ 上的一个三等分点， $M ， N$ 分别是线段 $O A$ ， $O B$ 上的动点，则 $\vec{P M} \cdot \vec{P N}$ 的最大值为（）

A、 $\sqrt{2}$ B、2 C、4 D、 $4 \sqrt{2}$

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12. 在 $Δ A B C$ 中， $E$ ， $F$ 分别为 $A B$ ， $A C$ 的中点， $P$ 为 $E F$ 上的任一点，实数 $x$ ， $y$ 满足 $\overset{⇀}{P A} + x \overset{⇀}{P B} + y \overset{⇀}{P C} = \vec{0}$ ，设 $Δ A B C$ 、 $Δ P B C$ 、 $Δ P C A$ 、 $Δ P A B$ 的面积分别为 $S$ 、 $S_{1}$ 、 $S_{2}$ 、 $S_{3}$ ，记 $\frac{S_{i}}{S} = λ_{i}$ （ $i = 1 ， 2 ， 3$ ），则 $λ_{2} \cdot λ_{3}$ 取到最大值时， $2 x + y$ 的值为（）

A、－1 B、1 C、 $- \frac{3}{2}$ D、 $\frac{3}{2}$

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13. 定义域为 $[a ， b]$ 的函数 $y = f (x)$ 图象上两点 $A (a ， f (a)) ， B (b ， f (b)) ， M (x ， y)$ 是 $y = f (x)$ 图象上任意一点，其中 $x = λ a + (1 - λ) b ， λ \in [0 ， 1]$ .已知向量 $\vec{O N} = λ \vec{O A} + (1 - λ) \vec{O B}$ ，若不等式 $|\vec{M N}| \leq k$ 对任意 $λ \in [0 ， 1]$ 恒成立，则称函数 $f (x)$ 在 $[a ， b]$ 上“k阶线性近似”．若函数 $y = x - \frac{1}{x}$ 在 $[1 ， 3]$ 上“k阶线性近似”，则实数的k取值范围为( )

A、 $[0 ， + \infty)$ B、 $[\frac{1}{12} ， + \infty)$ C、 $[\frac{4}{3} - \frac{2}{3} \sqrt{3} ， + \infty)$ D、 $[\frac{4}{3} + \frac{2}{3} \sqrt{3} ， + \infty)$

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14. 在中，已知 $2 a \cos B = c$ ， $\sin A \sin B (2 - \cos C) = \sin^{2} \frac{C}{2} + \frac{1}{2}$ 则为（）

A、等边三角形 B、等腰直角三角形 C、锐角非等边三角形 D、钝角三角形

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二、填空题

15. 已知非零平面向量 $\vec{a} ， \vec{b}$ 不共线，且满足 $\vec{a} \cdot \vec{b} = {\vec{a}}^{2} = 4$ ，记 $\vec{c} = \frac{3}{4} \vec{a} + \frac{1}{4} \vec{b}$ ，当 $\vec{b} ， \vec{c}$ 的夹角取得最大值时， $| \vec{a} - \vec{b} |$ 的值为．

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16. 已知O是锐角△MBC的外接圆圆心，A是最大角，若 $\frac{\cos B}{\sin C} \vec{A B} + \frac{cosC}{sinB} \vec{A C} = m \vec{A O}$ ，则m的取值范围为。

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17. 如图，在 $Δ A B C$ 中，已知 $A B = 3 ， A C = 2 ， ∠ B A C = 120 ° ， D$ 为边 $B C$ 的中点.若 $C E ⊥ A D$ ，垂足为 $E$ ，则 $\overset{⇀}{E B} \cdot \overset{⇀}{E C}$ 的值为

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18. 已知平面向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ， $\vec{c}$ ， $\vec{d}$ 满足 $| \vec{a} | = | \vec{b} | = 1$ ， $| \vec{c} | = 2$ ， $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$ ， $| \vec{c} - \vec{d} | = 1$ ，则 $| 2 \vec{a} + \vec{b} + \vec{d} |$ 的取值范围为.

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19. 在△ABC中，已知 $\vec{A B} \cdot \vec{A C} = 9$ ，sinB=cosA•sinC，S_△ABC=6，P为线段AB上的点，且 $\vec{C P} = x \cdot \frac{\vec{C A}}{| \vec{C A} |} + y \cdot \frac{\vec{C B}}{| \vec{C B} |}$ ，则xy的最大值为．

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20. 已知点A，B，C均位于同一单位圆O上，且 $\overset{⇀}{B A} \cdot \overset{⇀}{B C} = {| \overset{⇀}{A B} |}^{2}$ ，若 $\overset{⇀}{P B} \cdot \overset{⇀}{P C} = 3$ ，则 $| \overset{⇀}{P A} + \overset{⇀}{P B} + \overset{⇀}{P C} |$ 的取值范围为．

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21. 如图，等腰三角形 $A B C$ ， $A B = A C = 2$ ， $∠ B A C = 120 °$ ． $E$ ， $F$ 分别为边 $A B$ ， $A C$ 上的动点，且满足 $\vec{A E} = m \vec{A B}$ ， $\vec{A F} = n \vec{A C}$ ，其中 $m$ ， $n \in (0 ， 1)$ ， $m + n = 1$ ， $M$ ， $N$ 分别是 $E F$ ， $B C$ 的中点，则 $| M N |$ 的最小值为.

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22. 已知△ABC是半径为5的圆O的内接三角形，且 $tan A = \frac{4}{3}$ ，若 $\overset{⇀}{A O} = x \overset{⇀}{A B} + y \overset{⇀}{A C} (x ， y \in R)$ ，则 $x + y$ 的取值范围是．

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23. 如图，已知 $Δ A B C$ 是边长为 $1$ 的等边三角形，点 $D$ 、 $E$ 分别是边 $A B$ 、 $B C$ 的中点，连结 $D E$ 并延长到点 $F$ ，使得 $D E = 2 E F$ ，则 $\overset{⇀}{A F} \cdot \overset{⇀}{B C}$ 的值为

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24. 在 $Δ A B C$ 中，角 $A . B . C$ 所对的边分别为 $a . b . c$ 若对任意 $λ \in R$ ，不等式 $| λ \overset{⇀}{B C} - \overset{⇀}{B A} | \geq \overset{⇀}{| B C |}$ 恒成立，则 $\frac{c}{b} + \frac{b}{c}$ 的最大值为.

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25. 已知 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 是直线 $A B$ 上的不同的三个点，点 $O$ 不在直线 $A B$ 上，则关于 $x$ 的方程 $x^{2} \vec{O A} + x \vec{O B} + \vec{A C} = \vec{0}$ 的解集为.

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三、解答题

26. 已知平面向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足| $\vec{a}$ |= $\sqrt{2}$ ，| $\vec{b}$ |=1，

(1)、若| $\vec{a}$ ﹣ $\vec{b}$ |=2，试求 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角的余弦值．

(2)、若对一切实数x，| $\vec{a}$ +x $\vec{b}$ |≥| $\vec{a}$ + $\vec{b}$ |恒成立，求 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角．

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27. 已知向量 $\overset{⇀}{m} = (c o s θ ， s i n θ)$ ， $\overset{⇀}{n} = (\sqrt{2} - s i n θ ， c o s θ)$ ， $θ \in [π ， 2 π]$ ．
(Ⅰ) 求 $| \overset{⇀}{m} + \overset{⇀}{n} |$ 的最大值；
(Ⅱ)当 $| \overset{⇀}{m} + \overset{⇀}{n} | = \frac{8 \sqrt{2}}{5}$ 时，求 $c o s (\frac{θ}{2} + \frac{π}{8})$ 的值.

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28. 已知向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 为不共线的单位向量， $O, A, B$ 为向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 所在平面上的不同的三点，且 $\vec{O A} = x \vec{a}$ ， $\vec{O B} = y \vec{b}$ ．
（Ⅰ）若 $\vec{O C} = 3 \vec{a} + 2 \vec{b}$ ，且 $A, B, C$ 三点共线，试将y表示成x的函数，并求该函数的定义域；

（Ⅱ）若 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为60°，求 $| \vec{a} + m \vec{b} |$ 的最小值，并求此时实数m的值．

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29. 设两个向量 $e_{1}$ 、 $e_{2}$ ，满足 $| e_{1} | = 2$ ， $| e_{2} | = 1$ ， $e_{1}$ 、 $e_{2}$ 的夹角为 $60 °$ ，若向量 $2 t$ $e_{1} + 7 e_{2}$ 与向量 $e_{1} +$ $t$ $e_{2}$ 的夹角为钝角，求实数 $t$ 的取值范围.

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30. 已知在△ABC中，角A．B，C所对边分别为a，b，c，C=2A．

(1)、若c= $\sqrt{3}$ a，求A的大小；

(2)、若a，b，c依次为三个连续自然数，求△ABC的面积．

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高中数学人教A版（2019）必修二 第六章 平面向量及其应用 单元试卷

一、单选题

二、填空题

三、解答题

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