高中数学人教A版（2019）必修二 6.2 平面向量的数量积课后练习

试卷更新日期：2021-03-05 类型：同步测试

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一、单选题

1. 已知向量 $\vec{a} = (2, - 1)$ ， $\vec{b} = (3, - 2)$ ， $\vec{c} = (1, m)$ ，若 $(\vec{a} - \vec{b}) ⊥ \vec{c}$ ，则 $| \vec{c} | =$ （）

A、1 B、 $\sqrt{2}$ C、 $\sqrt{3}$ D、2

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2. 已知非零向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $| \vec{a} | = \frac{2 \sqrt{3}}{3} | \vec{b} |$ ，且 $(\vec{a} - \vec{b}) ⊥ \vec{b}$ ，则 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{2 π}{3}$ D、 $\frac{5 π}{6}$

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3. 已知向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 的夹角为120°， $| \vec{a} | = 2 | \vec{b} | = 2$ ，则 $| 2 \vec{a} + 3 \vec{b} | =$ （）

A、 $\sqrt{13}$ B、 $\sqrt{37}$ C、7 D、13

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4. 设向量 $\vec{b} = (0, 1)$ ， $\vec{a} = (- \frac{1}{2}, - \frac{1}{2})$ ，则下列结论中正确的是（）

A、 $\vec{a} / / \vec{b}$ B、 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ C、 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为 $\frac{3 π}{4}$ D、 $\vec{b}$ 在 $\vec{a}$ 方向上的投影为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$

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5. 若向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $| \vec{a} | = 1$ ， $| \vec{b} | = \sqrt{2}$ ，且 $(\vec{a} + \vec{b}) ⊥ \vec{a}$ ，则 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为（）

A、 $\frac{π}{2}$ B、 $\frac{2 π}{3}$ C、 $\frac{3 π}{4}$ D、 $\frac{5 π}{6}$

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6. 平面向量 $\vec{a} = (1, 2)$ ， $| \vec{b} | = 3$ ， $\vec{a} \cdot \vec{b} = - 6$ ，则向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 夹角的余弦值为（）

A、 $- \frac{\sqrt{5}}{5}$ B、 $- \frac{2 \sqrt{5}}{5}$ C、 $\frac{1}{5}$ D、 $\frac{4}{5}$

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7. 在边长为 $2$ 的等边 $△ A B C$ 中， $\vec{B D} = \vec{D C}$ ， $\vec{A P} = \vec{P D}$ ，则 $\vec{B P} \cdot \vec{A C}$ 的值为（）

A、-1 B、 $- \frac{1}{2}$ C、1 D、 $\frac{5}{2}$

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8. 如图所示，在菱形 $A B C D$ 中， $A B = 1$ ， $∠ D A B = 60^{\circ}$ ， $E$ 为 $C D$ 的中点，则 $\vec{A B} \cdot \vec{A E}$ 的值是（）

A、1 B、-1 C、2 D、-2

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二、多选题

9. 已知向量 $\vec{a}$ ＝(－3，2)， $\vec{b}$ ＝(－1，0)，则下列选项正确的有（）

A、( $\vec{a}$ ＋ $\vec{b}$ ) $\cdot$ $\vec{b}$ ＝4 B、( $\vec{a}$ ﹣3 $\vec{b}$ )⊥ $\vec{b}$ C、 $| \vec{a} - \vec{b} | = \sqrt{2} | \vec{b} |$ D、 ${\vec{a}}^{2} = {\vec{b}}^{2} + 4 \vec{a} \cdot \vec{b}$

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10. 下列命题中，结论正确的有（）

A、 $0 \times \vec{a} = 0$ B、若 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则 $| \vec{a} + \vec{b} | = | \vec{a} - \vec{b} |$ C、若 $\vec{A B} // \vec{C D}$ ，则A､B､C､D四点共线； D、在四边形 $A B C D$ 中，若 $\vec{A B} + \vec{C D} = \vec{0}$ ， $\vec{A C} \cdot \vec{B D} = 0$ ，则四边形 $A B C D$ 为菱形.

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11. 设向量 $\overset{⇀}{a} = (k ， 2)$ ， $\overset{⇀}{b} = (1 ， - 1)$ ，则下列叙述错误的是（）

A、若 $k < - 2$ 时，则 $\overset{⇀}{a}$ 与 $\overset{⇀}{b}$ 的夹角为钝角 B、 $| \overset{⇀}{a} |$ 的最小值为2 C、与 $\overset{⇀}{b}$ 共线的单位向量只有一个为 $(\frac{\sqrt{2}}{2} ， - \frac{\sqrt{2}}{2})$ D、若 $| \overset{⇀}{a} | = 2 | \overset{⇀}{b} |$ ，则 $k = 2 \sqrt{2}$ 或 $- 2 \sqrt{2}$

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12. $Δ A B C$ 是边长为2的等边三角形，已知向量 $\overset{⇀}{a} ， \overset{⇀}{b}$ 满足 $\overset{⇀}{A B} = 2 \overset{⇀}{a}$ ， $\overset{⇀}{A C} = 2 \overset{⇀}{a} + \overset{⇀}{b}$ ，则下列结论中正确的是（）

A、 $\overset{⇀}{a}$ 为单位向量 B、 $\overset{⇀}{b}$ 为单位向量 C、 $\overset{⇀}{a} ⊥ \overset{⇀}{b}$ D、 $(4 \overset{⇀}{a} + \overset{⇀}{b}) ⊥ \overset{⇀}{B C}$

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三、填空题

13. 已知向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $| \vec{a} + \vec{b} | = | \vec{a} - \vec{b} | = 2 | \vec{a} | = 2$ ，则 $(\vec{a} - 2 \vec{b}) \cdot (\vec{a} + \vec{b}) =$ .

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14. 在四边形 $A B C D$ 中， $A B = 8$ .若 $\vec{D A} = \frac{3}{4} \vec{C A} + \frac{1}{4} \vec{C B}$ ，则 $\vec{A B} \cdot \vec{C D} =$ .

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15. 已知平面向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $| \vec{a} | = 1$ ， $2 \vec{a} - \vec{b}$ 与 $2 \vec{b} - \vec{a}$ 的夹角为120°，则 ${| \vec{b} |}^{2}$ 的最大值是.

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16. 已知向量 $\vec{e}$ 的模长为1，平面向量 $\vec{m}, \vec{n}$ 满足： $| \vec{m} - 2 \vec{e} | = 2, | \vec{n} - \vec{e} | = 1$ ，则 $\vec{m} \cdot \vec{n}$ 的取值范围是.

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四、解答题

17. 已知 $\vec{a} = (1, 2)$ ， $\vec{b} = (2, - 2)$ ， $\vec{c} = \vec{b} - λ \vec{a}$ .

(1)、求 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角θ的余弦值；

(2)、若 $\vec{a} ⊥ \vec{c}$ ，求实数 $λ$ 的值和向量 $\vec{c}$ .

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18. 已知向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 满足： $| \vec{a} | = 2, | \vec{b} | = 4, \vec{a} \cdot (\vec{b} - \vec{a}) = - 8$ ．

(1)、求 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角；

(2)、求 $| \vec{a} - 2 \vec{b} |$ ．

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19. 已知 $| \vec{a} | = 4$ ， $| \vec{b} | = 3$ ， $(2 \vec{a} - 3 \vec{b}) \cdot (2 \vec{a} + \vec{b}) = 61$ .

(1)、求向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角 $θ$ ；

(2)、若 $\vec{c} = t \vec{a} + (1 - t) \vec{b}$ ，且 $\vec{b} \cdot \vec{c} = 0$ ，求实数t的值及 $| \vec{c} |$ .

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20. 已知 $\vec{m} = (2 \sin x ， \sin x - \cos x)$ ， $\vec{n} = (\sqrt{3} \cos x ， \sin x + \cos x)$ ，记函数 $f (x) = \vec{m} \cdot \vec{n}$ ．

(1)、求函数 $f (x)$ 取最大值时 $x$ 的取值集合；

(2)、设函数 $f (x)$ 在区间 $[\frac{π}{2} ， m]$ 是减函数，求实数 $m$ 的最大值．

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21. 已知向量 $\vec{a} = (1, 2)$ ， $\vec{b} = (x, 1)$ ．

(1)、若 $(\vec{a} + 2 \vec{b}) ⊥ (2 \vec{a} - \vec{b})$ 时，求 $x$ 的值；

(2)、若向量 $\vec{a}$ 与向量 $\vec{b}$ 的夹角为锐角，求 $x$ 的取值范围．

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22. 已知向量 $\vec{a} = (c o s x ， s i n x) ， \vec{b} = (3 ， - \sqrt{3}) ， x \in [0 ， π]$ ．

(1)、若 $\vec{a} ∥ \vec{b}$ ，求x的值；

(2)、记 $f (x) = \vec{a} \cdot \vec{b}$ ，求函数y＝f（x）的最大值和最小值及对应的x的值．

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