山东省淄博市2020-2021学年高二上学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2021-03-04 类型：期末考试

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一、单选题

1. 直线x $+ \sqrt{3}$ y+1=0的倾斜角是（）

A、30° B、60° C、120° D、150°

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2. 椭圆 $x^{2} + 2 y^{2} = 1$ 的焦点坐标是（）

A、 $(\pm 1, 0)$ B、 $(0, \pm 1)$ C、 $(\pm \frac{\sqrt{2}}{2}, 0)$ D、 $(0, \pm \frac{\sqrt{2}}{2})$

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3. 空间两点 $A (1, 5, 4)$ ， $B (- 1, 3, 5)$ 间的距离等于（）

A、2 B、3 C、4 D、9

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4. 圆 $C_{1} : x^{2} + y^{2} + 8 x + 12 = 0$ 和圆 $C_{2} : x^{2} + y^{2} - 6 y = 0$ 的位置关系是（）

A、相离 B、相交 C、内切 D、外切

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5. 2020年10月26日至29日，中国共产党第十九届中央委员会第五次全体会议在北京举行，审议通过了《中共中央关于制定国民经济和社会发展第十四个五年规划和二〇三五年远景目标的建议》.某班级从3名男生和3名女生中任选2人参加学校十九届五中全会精神宣讲团，则选中的2人恰好都是女生的概率为（）

A、0.2 B、0.3 C、0.4 D、0.5

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6. 如图所示，在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，点 $F$ 是侧面 $C D D_{1} C_{1}$ 的中心，若 $\vec{A F} = x \vec{A D} + y \vec{A B} + z \vec{A A_{1}}$ ，求 $x + y + z =$ （）

A、1 B、 $\frac{3}{2}$ C、2 D、 $\frac{5}{2}$

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7. 光线通过点A（2，3），在直线l： $x + y + 1 = 0$ 上反射，反射光线经过点B（1，1），则反射光线所在直线方程为（）

A、 $4 x - 5 y + 1 = 0$ B、4x+5y-1=0 C、3x-4y+1=0 D、3x-4y-1=0

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8. 设 $F_{1}$ 、 $F_{2}$ 是双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左、右焦点， $P$ 是双曲线 $C$ 右支上一点.若 $| P F_{1} | + | P F_{2} | = 6 a$ ，且 $S_{△ P F_{1} F_{2}} = \sqrt{3} b^{2}$ ，则双曲线 $C$ 的渐近线方程是（）

A、 $\sqrt{2} x \pm y = 0$ B、 $x \pm \sqrt{2} y = 0$ C、 $\sqrt{3} x \pm 2 y = 0$ D、 $2 x \pm \sqrt{3} y = 0$

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二、多选题

9. 若 $\vec{a} = (- 1, λ, - 2)$ ， $\vec{b} = (2, - 1, 1)$ ， $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为 $120^{\circ}$ ，则 $λ$ 的值为（）

A、17 B、-17 C、-1 D、1

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10. 已知空间向量 $\vec{i}$ 、 $\vec{j}$ 、 $\vec{k}$ 都是单位向量，且两两垂直，则下列结论正确的是（）

A、向量 $\vec{i} + \vec{j} + \vec{k}$ 的模是3 B、 ${\vec{i} + \vec{j} ， \vec{i} - \vec{j} ， \vec{k}}$ 可以构成空间的一个基底 C、向量 $\vec{i} + \vec{j} + \vec{k}$ 和 $\vec{k}$ 夹角的余弦值为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ D、向量 $\vec{i} + \vec{j}$ 与 $\vec{k} - \vec{j}$ 共线

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11. 已知 $A$ ， $B$ 是随机事件，则下列结论正确的是（）

A、若 $A$ ， $B$ 是互斥事件，则 $P (A B) = P (A) P (B)$ B、若事件 $A$ ， $B$ 相互独立，则 $N = {x | y = \lg (3 - x)}$ C、若 $A$ ， $B$ 是对立事件，则 $A$ ， $B$ 是互斥事件 D、事件 $A$ ， $B$ 至少有一个发生的概率不小于 $A$ ， $B$ 恰好有一个发生的概率

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12. 已知 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 分别为双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的左右焦点， $A_{1}$ ， $A_{2}$ 分别为其实轴的左右端点，且 $| F_{1} F_{2} | = \frac{b^{2}}{a}$ ，点 $P$ 为双曲线右支一点， $I$ 为 $△ P F_{1} F_{2}$ 的内心，则下列结论正确的有（）

A、离心率 $e = \sqrt{2} + 1$ B、点 $I$ 的横坐标为定值 $a$ C、若 $S_{△ I P F_{1}} = S_{△ I P F_{2}} + λ S_{△ I F_{1} F_{2}} (λ \in R)$ 成立，则 $λ = \sqrt{2} - 1$ D、若 $P H$ 垂直 $x$ 轴于点 $H$ ，则 ${| P H |}^{2} = | H A_{1} | \cdot | H A_{2} |$

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三、填空题

13. 已知直线 $l_{1} : (m - 1) x - 3 y + 3 = 0$ 和直线 $l_{2} : 2 x + m y - 5 = 0$ 垂直，则实数 $m =$ .

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14. 现有3个灯泡并联而成的闭合电路，如果在某段时间内每个灯泡能正常照明的概率都是0.9，那么在这段时间内该电路上的灯泡至少有两个能正常照明的概率是.

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15. 已知空间直线 $l$ 的方向向量是 $\vec{m} = (1, a + 2 b, a - 1) (a, b \in R)$ ，平面 $α$ 的法向量 $\vec{n} = (2, 3, 3)$ .若 $l ⊥ α$ ，则 $a + b =$ .

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16. 已知抛物线 $y = \frac{1}{8} x^{2}$ 的焦点为 $F$ ，过 $F$ 的直线 $l$ 与抛物线交于 $A$ 、 $B$ 两点，抛物线的准线与 $y$ 轴交于点 $M$ ，当 $\frac{| A M |}{| A F |}$ 最大时，弦 $A B$ 长度是.

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四、解答题

17. 已知在空间直角坐标系 $O - x y z$ 中，点 $A$ ， $B$ ， $C$ ， $M$ 的坐标分别是 $(2, 0, 2)$ ， $(2, 1, 0)$ ， $(0, 4, - 1)$ ， $(2, 3, - 1)$ ，过点 $A$ ， $B$ ， $C$ 的平面记为 $α$ .

(1)、证明：点 $A$ ， $B$ ， $C$ ， $M$ 不共面；

(2)、求点 $M$ 到平面 $α$ 的距离.

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18. 已知 $△ A B C$ 中，点 $A (- 1, 5)$ ，边 $B C$ 所在直线 $l_{1}$ 的方程为 $7 x - y - 18 = 0$ ，边 $A B$ 上的中线所在直线 $l_{2}$ 的方程为 $y = x$ .

(1)、求点 $B$ 和点 $C$ 的坐标；

(2)、若 $△ A B C$ 的外接圆为 $⊙ M$ ，求直线 $l_{2}$ 被 $⊙ M$ 截得的弦长.

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19. 袋中有9个大小相同颜色不全相同的小球，分别为黑球､黄球､绿球，从中任意取一球，得到黑球或黄球的概率是 $\frac{5}{9}$ ，得到黄球或绿球的概率是 $\frac{2}{3}$ ，试求：

(1)、从中任取一球，得到黑球､黄球､绿球的概率各是多少？

(2)、从中任取两个球，得到的两个球颜色不相同的概率是多少？

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20. 在平面直角坐标系中，动点 $P (x, y)$ （ $y > 0$ ）到定点 $M (0, 1)$ 的距离比到 $x$ 轴的距离大1.

(1)、求动点 $P$ 的轨迹 $C$ 的方程；

(2)、过点 $M$ 的直线 $l$ 交曲线 $C$ 于 $A$ ， $B$ 两点，若 $| A B | = 8$ ，求直线 $l$ 的方程.

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21. 如图所示，已知正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为2， $E$ ， $F$ 分别为 $B C$ ， $C D$ 的中点.

(1)、求平面 $C_{1} E F$ 与平面 $A B_{1} D_{1}$ 夹角的余弦值；

(2)、设 $\vec{C M} = λ \vec{C A}$ ，若平面 $C_{1} E F //$ 平面 $M B_{1} D_{1}$ ，求 $λ$ 的值.

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22. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $a > b > 0$ ），四点 $P_{1} (1 ， 1)$ ， $P_{2} (0 ， 1)$ ， $P_{3} (- 1 ， \frac{\sqrt{3}}{2})$ ， $P_{3} (- 1 ， \frac{\sqrt{3}}{2})$ ， $P_{4} (1 ， \frac{\sqrt{3}}{2})$ 中恰有三点在椭圆 $C$ 上.

(1)、求椭圆 $C$ 的方程；

(2)、蝴蝶定理：如图1， $A B$ 为圆 $O$ 的一条弦， $M$ 是 $A B$ 的中点，过 $M$ 作圆 $O$ 的两条弦 $C D$ ， $E F$ .若 $C F$ ， $E D$ 分别与直线 $A B$ 交于点 $P$ ， $Q$ ，则 $M P = M Q$ .

该结论可推广到椭圆.如图2所示，假定在椭圆 $C$ 中，弦 $A B$ 的中点 $M$ 的坐标为 $(0 ， \frac{1}{2})$ ，且两条弦 $C D$ ， $E F$ 所在直线斜率存在，证明： $M P = M Q$ .

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