山东省枣庄市2020-2021学年高二上学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2021-03-04 类型：期末考试

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一、单选题

1. 直线 $x - \sqrt{3} y - 1 = 0$ 的倾斜角 $α =$ （）

A、30° B、60° C、120° D、150°

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2. 已知 $⊙ O$ ： $x^{2} + y^{2} = 1$ 与 $⊙ C$ ： $x^{2} + y^{2} - 2 x - 4 y + 1 = 0$ ，则两圆的位置关系是（）

A、相交 B、相离 C、外切 D、内切

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3. 在平行六面体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，M为 $A_{1} C_{1}$ 与 $B_{1} D_{1}$ 的交点，若 $\vec{A B} = \vec{a} ， \vec{A D} = \vec{b}$ ， $\vec{A A_{1}} = \vec{c}$ ，则与 $\vec{B M}$ 相等的向量是（）

A、 $\frac{1}{2} \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b} + \vec{c}$ B、 $- \frac{1}{2} \vec{a} - \frac{1}{2} \vec{b} + \vec{c}$ C、 $\frac{1}{2} \vec{a} - \frac{1}{2} \vec{b} + \vec{c}$ D、 $- \frac{1}{2} \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b} + \vec{c}$

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4. 九连环是我国从古至今广泛流传的一种益智游戏，它用九个圆环相连成串，以解开为胜.据明代杨慎《丹铅总录》记载：“两环互相贯为，得其关捩，解之为二，又合而为一 $\dots$ ”.在某种玩法中，用 $a_{n}$ 表示解下 $n (n \leq 9, n \in N^{*})$ 个圆环所需的最少移动次数，若 $a_{1} = 1$ ，且 $a_{n} = {\begin{array}{l} 2 a_{n - 1} - 1, n 为偶数 \\ 2 a_{n - 1} + 2, n 为奇数 \end{array}$ ，则解下5个环所需的最少移动次数为（）

A、22 B、16 C、13 D、7

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5. 在长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A B = B C = 1$ ， $A A_{1} = \sqrt{3}$ ，则异面直线 $A D_{1}$ 与 $D B_{1}$ 所成角的余弦值为（）

A、 $\frac{1}{5}$ B、 $\frac{\sqrt{5}}{6}$ C、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ D、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$

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6. 数列 ${a_{n}}$ ， ${b_{n}}$ 满足 $a_{n} b_{n} = 1$ ， $a_{n} = n^{2} + 5 n + 6$ ， $n \in N^{*}$ ，则 ${b_{n}}$ 的前10项之和为（）

A、 $\frac{4}{13}$ B、 $\frac{5}{13}$ C、 $\frac{8}{39}$ D、 $\frac{10}{39}$

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7. 已知抛物线 $C ： y^{2} = 8 x$ 的焦点为 $F$ ，准线为 $l$ ， $P$ 是 $l$ 上一点， $Q$ 是直线 $P F$ 与 $C$ 的一个交点，若 $\overset{⇀}{F P} = 4 \overset{⇀}{F Q}$ ，则 $| Q F | =$ （）

A、 $\frac{7}{2}$ B、 $\frac{5}{2}$ C、 $3$ D、 $2$

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8. 已知双曲线 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的左､右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，点 $P$ 是 $C$ 的右支上一点， $P F_{1} ⊥ P F_{2}$ ，连接 $P F_{1}$ 与 $y$ 轴交于点 $M$ ，若 $| F_{1} O | = 2 | O M |$ ( $O$ 为坐标原点)，则双曲线 $C$ 的渐近线方程为（）

A、 $y = \pm \sqrt{2} x$ B、 $y = \pm 2 x$ C、 $y = \pm \sqrt{5} x$ D、 $y = \pm 3 x$

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二、多选题

9. 已知点 $F (0, 2)$ 为圆锥曲线 $C$ 的焦点，则 $C$ 的方程可能为（）

A、 $y^{2} = 8 x$ B、 $\frac{1}{8} x^{2} = y$ C、 $\frac{x^{2}}{m - 4} + \frac{y^{2}}{m} = 1 (0 < m < 4)$ D、 $\frac{y^{2}}{m} - \frac{x^{2}}{m - 4} = 1 (0 < m < 4)$

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10. 已知递减的等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ， $S_{5} = S_{9}$ ，则（）

A、 $a_{7} > 0$ B、 $S_{7}$ 最大 C、 $S_{14} > 0$ D、 $S_{13} > 0$

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11. 我们通常称离心率为 $\frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ 的椭圆为“黄金椭圆”．如图，已知椭圆 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ ， $A_{1} ， A_{2}$ 分别为左、右顶点， $B_{1}$ ， $B_{2}$ 分别为上、下顶点， $F_{1}$ ， $F_{2}$ 分别为左、右焦点，P为椭圆上一点，则满足下列条件能使椭圆C为“黄金椭圆”的有（）

A、 $| A_{1} F_{1} | \cdot | F_{2} A_{2} | = {| F_{1} F_{2} |}^{2}$ B、 $∠ F_{1} B_{1} A_{2} = 90 °$ C、 $P F_{1} ⊥ x$ 轴，且 $P O // A_{2} B_{1}$ D、四边形 $A B_{2} A_{2} B_{1}$ 的内切圆过焦点 $F_{1}$ ， $F_{2}$

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12. 如图，棱长为1的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $P$ 为线段 $A_{1} B$ 上的动点（不含端点），则下列结论正确的是（）

A、直线 $D_{1} P$ 与 $A C$ 所成的角可能是 $\frac{π}{6}$ B、平面 $D_{1} A_{1} P ⊥$ 平面 $A_{1} A P$ C、三棱锥 $D_{1} - C D P$ 的体积为定值 D、平面 $A P D_{1}$ 截正方体所得的截面可能是直角三角形

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三、填空题

13. 在数列 ${a_{n}}$ 中，若 $a_{1} = 1$ ， $\frac{a_{n + 1}}{3} = \frac{a_{n}}{3} + 1$ ，则 $a_{n} =$ ．

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14. 在空间直角坐标系中，已知点 $A (1, 2, 0)$ ， $B (x, 3, - 1)$ ， $C (4, y, 2)$ ，若 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 三点共线，则 $x + y =$ ．

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15. 在长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A A_{1} = A B = 2 ， A D = 1$ ，点 $F ， G$ 分别是 $A B ， C C_{1}$ 的中点，则点 $D_{1}$ 到直线 $G F$ 的距离为.

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16. 已知圆 $C$ 的方程为 $x^{2} + y^{2} = 2$ ，点 $P$ 是直线 $x - 2 y - 5 = 0$ 上的一个动点，过点作圆 $C$ 的两条切线 $P A$ ､ $P B$ ， $A$ ､ $B$ 为切点，则四边形 $P A C B$ 的面积的最小值为；直线 $A B$ 过定点.

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四、解答题

17. 已知抛物线 $C : y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点 $F$ 与曲线 $E : \frac{x^{2}}{3} - y^{2} = 1$ 的右焦点重合.

(1)、求抛物线 $C$ 的标准方程；

(2)、若抛物线 $C$ 上的点 $P$ 满足 $| P F | = 6$ ，求 $P$ 点的坐标.

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18. 已知 ${a_{n}}$ 是等差数列， ${b_{n}}$ 是各项都为正数的等比数列， $a_{1} = b_{2} = 1$ ，再从① $a_{2} + a_{4} = 10$ ；② $b_{2} b_{4} = 4$ ；③ $b_{4} = a_{5}$ 这三个条件中选择___________，___________两个作为已知.

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、求数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和.

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19. 已知直线 $l$ 经过两条直线 $2 x - y - 3 = 0$ 和 $4 x - 3 y - 5 = 0$ 的交点，且与直线 $x + y - 2 = 0$ 垂直.

(1)、求直线 $l$ 的方程；

(2)、若圆 $C$ 过点 $(1, 0)$ ，且圆心在 $x$ 轴的正半轴上，直线 $l$ 被该圆所截得的弦长为 $2 \sqrt{2}$ ，求圆 $C$ 的标准方程.

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20. 如图，四棱锥 $P - A B C D$ 的侧面 $△ P A D$ 是正三角形，底面 $A B C D$ 是直角梯形， $∠ B A D = ∠ A D C = 90^{\circ}$ ， $A D = A B = 2 C D = 2$ ， $M$ 为 $B C$ 的中点.

(1)、求证： $P M ⊥ A D$ ；

(2)、若 $P B = \sqrt{2} A B$ ，求线 $P M$ 与平面 $P A B$ 所成角的正弦值.

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21. 已知数列 ${a_{n}}$ 为等差数列， $S_{n}$ 是数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和，且 $a_{2} = 2$ ， $S_{3} = a_{6}$ ，数列 ${b_{n}}$ 满足： $b_{2} = 2 b_{1} = 4$ ，当 $n \geq 3$ ， $n \in N^{*}$ 时， $a_{1} b_{1} + a_{2} b_{2} + ... + a_{n} b_{n} = (2 n - 2) b_{n} + 2$ .

(1)、求数列 ${a_{n}}$ ， ${b_{n}}$ 的通项公式；

(2)、令 $c_{n} = \frac{a_{n}}{b_{n}} ， n \in N^{*}$ ，证明： $c_{1} + c_{2} + ... + c_{n} < 2$ .

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22. 设圆 $x^{2} + y^{2} - 2 \sqrt{3} x - 21 = 0$ 的圆心为 $P$ ，点 $Q (- \sqrt{3}, 0)$ ，点 $H$ 为圆上动点，线段 $H Q$ 的垂直平分线与线段 $H P$ 交于点 $E$ ，设点 $E$ 的轨迹为曲线 $C$ .

(1)、求曲线 $C$ 的方程；

(2)、若直线 $l$ 与曲线 $C$ 交于点 $A$ ， $B$ ，与圆 $O$ ： $x^{2} + y^{2} = 2$ 切于点 $M$ ，问： $| M A | \cdot | M B |$ 是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，说明理由.

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