江西省景德镇市2020-2021学年高二上学期文数期末考试试卷

试卷更新日期：2021-03-04 类型：期末考试

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一、单选题

1. 命题： $\exists x \in (0, + \infty)$ ， $2020^{x} + 2021 \sin x < 0$ 的否定是（）

A、 $\forall x \in (- \infty, 0)$ ， $2020^{x} + 2021 \sin x \geq 0$ B、 $\forall x \in (0, + \infty)$ ， $2020^{x} + 2021 \sin x \geq 0$ C、 $\exists x \in (0, + \infty)$ ， $2020^{x} + 2021 \sin x \geq 0$ D、 $\exists x \in (- \infty, 0)$ ， $2020^{x} + 2021 \sin x \geq 0$

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2. 设 $a, b \in R$ ，则“ $a > b > 1$ ”是“ $\frac{1}{a - 1} < \frac{1}{b - 1}$ ”的（）条件

A、充分而不必要 B、必要而不充分 C、充分必要 D、既不充分也不必要

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3. 若 $f (x) = \ln x + x^{3}$ ，则 $\lim_{Δ x \to 0} \frac{f (1 + 2 Δ x) - f (1)}{Δ x} =$ （）

A、1 B、2 C、4 D、8

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4. 以抛物线 $y = \frac{1}{4} x^{2}$ 的焦点为圆心，且过坐标原点的圆的方程为（）

A、 $x^{2} + y^{2} - 2 y = 0$ B、 $x^{2} + y^{2} - 2 x = 0$ C、 $x^{2} + y^{2} - \frac{1}{8} y = 0$ D、 $x^{2} + y^{2} - \frac{1}{8} x = 0$

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5. 明代数学家程大位编著的《算法统宗》是中国数学史上的一座丰碑.其中有一段著述“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一”.注：“倍加增”意为“从塔顶到塔底，相比于上一层，每一层灯的盏数成倍增加”，则该塔正中间一层的灯的盏数为（）

A、3 B、12 C、24 D、48

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6. 已知等边三角形 $A B C$ 的边长为6，点 $P$ 满足 $3 \vec{P A} + 2 \vec{P B} + \vec{P C} = \vec{0}$ ，则 $| \overset{⇀}{P A} | =$ （）

A、 $\frac{7}{9}$ B、 $\frac{\sqrt{7}}{6}$ C、 $\sqrt{7}$ D、 $\frac{\sqrt{7}}{3}$

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7. 在区间 $[\frac{1}{3}, 2]$ 上，不等式 $m x^{2} - 4 x + 1 < 0$ 有解，则m的取值范围为（）

A、 $m \leq 4$ B、 $m < \frac{7}{4}$ C、 $m < 4$ D、 $m < 3$

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8. 已知函数 $f (x) = 4 \sin (3 x - \frac{π}{6})$ 的定义域为 $[0, m]$ ，值域为 $[- 2, 4]$ ，则 $m$ 的取值范围是（）

A、 $(\frac{2 π}{9}, \frac{4 π}{9})$ B、 $(\frac{2 π}{9}, \frac{4 π}{9}]$ C、 $[\frac{2 π}{9}, \frac{4 π}{9}]$ D、 $[\frac{2 π}{9}, \frac{4 π}{9})$

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9. 函数 $f (x) = \frac{\ln x}{x}$ ，若 $a = f (4)$ ， $b = f (5.3)$ ， $c = f (6.2)$ ，则（）

A、 $a < b < c$ B、 $c < b < a$ C、 $c < a < b$ D、 $b < a < c$

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10. 在 $△ A B C$ 中，内角 $A,$ $B,$ $C$ 的对边分别为 $a,$ $b,$ $c$ ，已知 $b = \sqrt{3}$ ， $2 c - a = 2 b \cos A$ ，则 $a + c$ 的最大值为（）

A、 $\sqrt{3}$ B、 $2 \sqrt{3}$ C、 $3 \sqrt{2}$ D、 $\sqrt{2}$

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11. 已知双曲线 $C_{1}$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ ( $a > 0$ ， $b > 0$ )的渐近线与抛物线 $C_{2}$ ： $x^{2} = 2 p y$ ( $p > 0$ )交于点 $O$ 、 $A$ 、 $B$ ，若 $Δ O A B$ 的垂心为抛物线 $C_{2}$ 的焦点，则双曲线 $C_{1}$ 的离心率为（）

A、 $\frac{3}{2}$ B、 $\frac{3 \sqrt{2}}{2}$ C、 $\frac{3 \sqrt{3}}{2}$ D、 $2 \sqrt{3}$

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12. 设函数 $f (x) = x e^{- a x} - \frac{1}{x}$ 在 $(0 ， + \infty)$ 上有两个零点，则实数a的取值范围（）

A、 $(- \infty ， \frac{2}{e})$ B、 $(1 ， e)$ C、 $(\frac{1}{e} ， \frac{2}{e})$ D、 $(0 ， \frac{2}{e})$

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二、填空题

13. 函数 $f (x) = \ln x - e^{x}$ 的图象在点 $(1 ， f (1))$ 处的切线方程是．

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14. 若 $x > 0$ ， $y > 0$ ，若 $(x - 1) (y - 4) = 4$ 则 $x + y$ 的最小值为.

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15. 数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微”．事实上，很多代数问题可以转化为几何问题加以解法，例如，与 $\sqrt{{(x - a)}^{2} + {(y - b)}^{2}}$ 相关的代数问题，可以转化为点A(x，y)与点B(a，b)之间距离的几何问题．结合上述观点，可得方程| $\sqrt{x^{2} + 6 x + 13}$ － $\sqrt{x^{2} - 6 x + 13}$ |＝4的解为．

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16. 已知定义在 $R$ 上的函数 $f (x)$ 满足 $f (1) = 1$ ，且对于任意的 $x$ ， $f^{'} (x) < \frac{1}{2}$ 恒成立，则不等式 $f (\lg^{2} x) < \frac{\lg^{2} x}{2} + \frac{1}{2}$ 的解集为.

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三、解答题

17. 已知命题 $p$ ：实数 $m$ 满足 $a < m < 2 a$ ( $a > 0$ )；命题 $q$ ：实数 $m$ 满足方程 $\frac{x^{2}}{m - 2} + \frac{y^{2}}{m - 6} = 1$ 表示双曲线.

(1)、若命题 $q$ 为真命题，求实数 $m$ 的取值范围；

(2)、若 $p$ 是 $q$ 的充分不必要条件，求实数 $a$ 的取值范围.

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18. 设数列{a_n}是公差不为零的等差数列，其前n项和为S_n ， a₁=1，若a₁ ， a₂ ， a₅成等比数列.

(1)、求 $a_{n}$ 及 $S_{n}$ ；

(2)、设 $b_{n} = \frac{1}{a_{n + 1}^{2} - 1}$ (n∈N^*)，求数列{b_n}前n项和T_n.

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19. 已知椭圆 $Ω : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的焦距为4，短半轴长为2.

(1)、求椭圆 $Ω$ 的方程；

(2)、若直线l与椭圆 $Ω$ 相交于A，B两点，点 $P (- 2, 1)$ 是线段AB的中点，求直线l的方程.

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20. 已知函数 $f (x) = x^{3} - 3 x^{2} + 3 b x + c$ 在 $x = 0$ 处取得极大值1.

(1)、求函数 $y = f (x)$ 的图象在 $x = 1$ 处切线的方程；

(2)、若函数 $f (x)$ 在 $[t ， t + 2]$ 上不单调，求实数 $t$ 的取值范围.

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21. 已知抛物线 $y^{2} = - 2 p x (p > 0)$ 的焦点为 $F$ ， $x$ 轴上方的点 $M (- 2, m)$ 在抛物线上，且 $| M F | = \frac{5}{2}$ ，直线 $l$ 与抛物线交于 $A$ ， $B$ 两点（点 $A$ ， $B$ 与 $M$ 不重合），设直线 $M A$ ， $M B$ 的斜率分别为 $k_{1}$ ， $k_{2}$ .
（Ⅰ）求抛物线的方程；

（Ⅱ）当 $k_{1} + k_{2} = - 2$ 时，求证：直线 $l$ 恒过定点并求出该定点的坐标.

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22. 已知函数 $f (x) = \ln x + 2 x - x^{2}$ .

(1)、讨论函数 $f (x)$ 的单调性；

(2)、判断并说明函数 $g (x) = f (x) - \cos x$ 的零点个数.若函数 $g (x)$ 所有零点均在区间. $[m ， n] (m \in Z ， n \in Z)$ 内，求 $n - m$ 的最小值.

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