山东省临沂市2020-2021学年高二上学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2021-03-04 类型：期末考试

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一、单选题

1. 直线 $l$ ： $x + 2 y - 3 = 0$ 的一个方向向量为（）

A、 $(2, - 1)$ B、 $(2, 1)$ C、 $(- 1, 2)$ D、 $(1, 2)$

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2. 设等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ， $a_{4} = 4$ ， $S_{9} = 45$ ， $a_{2021} =$ （）

A、2022 B、2021 C、2019 D、2018

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3. 若向量 $\vec{a} = (0, 1, - 1)$ ， $\vec{b} = (1, 1, 0)$ 且 $(\vec{a} + λ \vec{b}) ⊥ \vec{a}$ ，则实数 $λ =$ （）

A、2 B、 $\sqrt{2}$ C、-2 D、 $- \sqrt{2}$

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4. 已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ 的左焦点为 $F_{1}$ ，且离心率为 $\frac{\sqrt{5}}{2}$ ，过点 $F_{1}$ 作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为 $M$ ，若 $△ O M F_{1}$ 的面积等于4（ $O$ 为坐标原点），则实数 $b$ 的值等于（）

A、4 B、1 C、3 D、2

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5. 半径为1的圆C的圆心在第四象限，且与直线y=0和 $\sqrt{3} x - y - 6 = 0$ 均相切，则该圆的标准方程为（）

A、 ${(x - 1)}^{2} + {(y - \sqrt{3})}^{2} = 1$ B、 ${(x - \sqrt{3})}^{2} + {(y - 1)}^{2} = 1$ C、 ${(x - 1)}^{2} + {(y + \sqrt{3})}^{2} = 1$ D、 ${(x - \sqrt{3})}^{2} + {(y + 1)}^{2} = 1$

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6. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = 1$ ， $a_{2} = 4$ ， $a_{3} = 10$ ， ${a_{n + 1} - a_{n}}$ 是等比数列，则数列 ${a_{n}}$ 的前8项和 $S_{8} =$ （）

A、376 B、382 C、749 D、766

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7. 抛物线有如下光学性质：过焦点的光线经抛物线反射后得到的光线平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．已知抛物线 $y^{2} = 4 x$ 的焦点为F，一条平行于x轴的光线从点 $M (3 ， 1)$ 射出，经过抛物线上的点A反射后，再经抛物线上的另一点B射出，则 $△ A B M$ 的周长为（）

A、 $9 + \sqrt{10}$ B、 $9 + \sqrt{26}$ C、 $\frac{71}{12} + \sqrt{26}$ D、 $\frac{83}{12} + \sqrt{26}$

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8. 已知函数 $f (x) = - x^{3} + 2 x^{2} - x$ ，若过点 $P (1 ， t)$ 可作曲线 $y = f (x)$ 的三条切线，则 $t$ 的取值范围是（）

A、 $(0 ， \frac{1}{30})$ B、 $(0 ， \frac{1}{29})$ C、 $(0 ， \frac{1}{28})$ D、 $(0 ， \frac{1}{27})$

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二、多选题

9. 若 $\vec{a} = (- 1, λ, - 2)$ ， $\vec{b} = (2, - 1, 1)$ ， $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为 $120 °$ ，则 $λ$ 可以取的值为（）

A、-17 B、17 C、-1 D、1

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10. 等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，公差 $d = 1$ .若 $a_{1} + 3 a_{5} = S_{7}$ ，则以下结论一定正确的是（）

A、 $a_{5} = 1$ B、 $S_{n}$ 的最小值为 $S_{3}$ C、 $S_{1} = S_{6}$ D、 $S_{n}$ 存在最大值

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11. 已知圆 $C : x^{2} + y^{2} = 4$ ，直线 $l : (3 + m) x + 4 y - 3 + 3 m = 0$ ，( $m \in R$ )．则下列四个命题正确的是（）

A、直线 $l$ 恒过定点 $(- 3, 3)$ B、当 $m = 0$ 时，圆 $C$ 上有且仅有三个点到直线 $l$ 的距离都等于1 C、圆 $C$ 与曲线 $x^{2} + y^{2} - 6 x - 8 y + m = 0$ 恰有三条公切线，则 $m = 16$ D、当 $m = 13$ 时，直线 $l$ 上一个动点 $P$ 向圆 $C$ 引两条切线 $P A$ ， $P B$ ，其中 $A$ ， $B$ 为切点，则直线 $A B$ 经过点 $(- \frac{16}{9}, - \frac{4}{9})$

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12. 设函数 $f (x) = x \cdot \ln x$ ，则关于 $x$ 的方程 $| f (x) | - m = 0$ 的实数根的个数可能为（）

A、4 B、3 C、2 D、1

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三、填空题

13. 在空间直角坐标系 $O - x y z$ 中，点 $M (1, - 1, 1)$ 关于 $x$ 轴的对称点坐标是.

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14. 已知函数 $f (x)$ 为偶函数，当 $x > 0$ 时 $f (x) = \ln x + 1 + e^{x - 1}$ ，则曲线 $y = f (x)$ 在 $x = - 1$ 处的切线方程为.

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15. 如图，光线从 $P (a ， 0) (a > 0)$ 出发，经过直线 $l ： x - 3 y = 0$ 反射到 $Q (b ， 0)$ ，该光线又在 $Q$ 点被 $x$ 轴反射，若反射光线恰与直线 $l$ 平行，且 $b \geq 13$ ，则实数 $a$ 的最小值是.

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16. 已知点 $F$ 是抛物线 $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点，点 $A (2, y_{1})$ ， $B (\frac{1}{2}, y_{2})$ 分别是抛物线上位于第一､四象限的点，若 $| A F | = 20$ ，则 $| y_{1} - y_{2} | =$ .

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四、解答题

17. 一动点到两定点距离的比值为非零常数 $λ$ ，当 $λ \neq 1$ 时，动点的轨迹为圆，后世称之为阿波罗尼斯圆已知两定点 $A$ 、 $B$ 的坐标分别为： $A (4, 0)$ 、 $B (1, 0)$ ，动点 $M$ 满足 $| A M | = 2 | B M |$ ．

(1)、求动点 $M$ 的阿波罗尼斯圆的方程；

(2)、过 $P (2, 3)$ 作该圆的切线 $l$ ，求 $l$ 的方程．

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18. 已知函数 $f (x) = x^{3} - 3 a x + 2$ ，曲线 $y = f (x)$ 在 $x = 1$ 处的切线方程为 $3 x + y + m = 0$ .
（Ⅰ）求实数 $a$ ， $m$ 的值；

（Ⅱ）求 $f (x)$ 在区间 $[1 ， 2]$ 上的最值.

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19. 甲、乙两同学在复习数列时发现原来曾经做过的一道数列问题因纸张被破坏，导致一个条件看不清，具体如下：等比数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，已知_____，

(1)、判断 $S_{1}$ ， $S_{2}$ ， $S_{3}$ 的关系；

(2)、若 $a_{1} - a_{3} = 3$ ，设 $b_{n} = \frac{n}{12} | a_{n} |$ ，记 ${b_{n}}$ 的前n项和为 $T_{n}$ ，证明： $T_{n} < \frac{4}{3}$ .
甲同学记得缺少的条件是首项a₁的值，乙同学记得缺少的条件是公比q的值，并且他俩都记得第（1）问的答案是 $S_{1}$ ， $S_{3}$ ， $S_{2}$ 成等差数列.如果甲、乙两同学记得的答案是正确的，请你通过推理把条件补充完整并解答此题.

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20. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $Δ A B D$ 是边长为 $2$ 的正三角形， $P C ⊥$ 底面 $A B C D ， A B ⊥ B P ， B C = \frac{2 \sqrt{3}}{3}$ .

(1)、求证： $P A ⊥ B D$ ；

(2)、若 $P C = B C$ ，求二面角 $A - B P - D$ 的正弦值.

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21. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，其右顶点为 $A$ ，下顶点为 $B$ ，定点 $C (0 ， 2)$ ， $Δ A B C$ 的面积为 $3$ ，过点 $C$ 作与 $y$ 轴不重合的直线 $l$ 交椭圆 $C$ 于 $P ， Q$ 两点，直线 $B P ， B Q$ 分别与 $x$ 轴交于 $M ， N$ 两点.

(1)、求椭圆 $C$ 的方程；

(2)、试探究 $M ， N$ 的横坐标的乘积是否为定值，说明理由.

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22. 函数 $f (x) = e^{x} \cos x$ .

(1)、求 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、当 $x \geq 0$ 时，不等式 $f^{'} (x) \leq e^{2 x} (e^{2 x} - 2 a x)$ 恒成立，求实数 $a$ 的取值范围.

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