江西省景德镇市2020-2021学年高二上学期理数期末考试试卷

试卷更新日期：2021-03-04 类型：期末考试

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一、单选题

1. 命题 $p$ ：存在 $x_{0} \in R$ ，且使得 $\sin x_{0} = 1$ 的否定形式为（）

A、存在 $x_{0} \in R$ ，且使得 $\sin x_{0} \neq 1$ B、不存在 $x_{0} \in R$ ，且使得 $\sin x_{0} \neq 1$ C、对于任意 $x \in R$ ，都有 $\sin x = 1$ D、对于任意 $x \in R$ ，都有 $\sin x \neq 1$

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2. 已知 $m, n \in R$ ，方程 $m x^{2} + n y^{2} = 1$ 不可能表示（）

A、椭圆 B、双曲线 C、抛物线 D、两条直线

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3. 已知空间四面体 $O A B C$ ， $O$ 是坐标原点， $\vec{O A}$ ， $\vec{O B}$ ， $\vec{O C}$ 的坐标分别为 $(0 ， 0 ， 1)$ ， $(1 ， 1 ， 0)$ ， $(1 ， 0 ， 1)$ ，则该四面体在 $x O y$ 坐标平面内的正投影图形面积为（）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{3}{4}$ D、1

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4. 正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为2， $E$ 是 $C C_{1}$ 的中点，则点 $C_{1}$ 到平面 $E B D$ 的距离为（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{4}$ B、 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{5}}{2}$ D、 $\frac{2 \sqrt{2}}{3}$

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5. 抛物线 $x^{2} = y$ 的焦点 $F$ 到双曲线 $x^{2} - y^{2} = 1$ 的渐近线的距离为（）

A、 $\frac{\sqrt{6}}{4}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{8}$ C、 $\frac{\sqrt{6}}{6}$ D、 $\frac{\sqrt{2}}{4}$

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6. 下列命题中：①命题“若 $l_{1}$ ： $a x + 2 y - 1 = 0$ 与 $l_{2}$ ： $x - y = 0$ 垂直，则 $a = 2$ ”的逆否命题；②命题“若 $a \neq 1$ ，则 $a^{2} - 1 \neq 0$ ”的否命题；③命题“存在 $ω < 0$ ，函数 $y = \sin (ω x + φ)$ 不存在最小正周期”的否定.其中真命题的个数为（）

A、0个 B、1个 C、2个 D、3个

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7. 方程 $(y^{2} - 4 x) \ln y = 0$ 表示的曲线为（）

A、抛物线与一条直线 B、上半抛物线（除去顶点）与一条直线 C、抛物线与一条射线 D、上半抛物线（除去顶点）与一条射线

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8. 在 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，则“ $a = b$ ”是“ $\sin C - \sin 2 A = \sin (A - B)$ ”成立的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既非充分也非必要条件

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9. 已知 $A$ 、 $B$ 为椭圆 $\frac{y^{2}}{4} + \frac{x^{2}}{3} = 1$ 上两点， $M$ 为弦 $A B$ 中点， $O$ 为坐标原点，若 $A B$ 两点连线斜率为2，则 $O M$ 两点连线斜率为（）

A、 $- \frac{2}{3}$ B、 $- \frac{3}{2}$ C、 $- \frac{1}{6}$ D、 $- \frac{4}{3}$

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10. 如图正三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 的所有棱长均相等， $O$ 是 $A A_{1}$ 中点， $P$ 是 $△ A B C$ 所在平面内的一个动点且满足 $O P / /$ 平面 $A_{1} B C_{1}$ ，则直线 $O P$ 与平面 $A B C$ 所成角正弦值的最大值为（）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ B、 $\frac{2}{5} \sqrt{5}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $\frac{2}{7} \sqrt{7}$

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11. 《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，系统地总结了战国、秦、汉时期的数学成就.书中有记载将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑，如图四面体 $A B C D$ 为鳖臑，其中 $A B ⊥$ 平面 $B C D$ ， $∠ B C D = 90 °$ ， $A B = \sqrt{3} B C$ ，球 $O$ 为该四面体的内切球，当过 $C D$ 边的平面也过球心 $O$ 时，记该平面与平面 $B C D$ 所成角为 $θ$ ，则 $θ$ 角满足（）

A、 $\cos θ = \frac{3 \sqrt{2}}{5}$ B、 $\sin θ = \frac{\sqrt{2}}{4}$ C、 $θ = \frac{π}{6}$ D、 $θ = \frac{π}{4}$

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12. $F_{1}$ 、 $F_{2}$ 分别为双曲线 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的左、右焦点，存在过 $F_{1}$ 的一条直线与双曲线的左支分别交于 $A$ 、 $B$ 两点且满足 $A B = A F_{2}$ ，则该双曲线的离心率的取值范围为（）

A、 $(1 ， \sqrt{3}]$ B、 $(1 ， \sqrt{5})$ C、 $(1 ， 2)$ D、 $(1 ， 5]$

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二、填空题

13. 双曲线 $x^{2} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (b > 0)$ 的右焦点到左准线的距离为 $\frac{5}{2}$ ，则 $b =$ ；

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14. 如图在菱形 $A B C D$ 中， $A B = 2$ ， $∠ A = 60^{\circ}$ ， $E$ 为 $A B$ 中点，将 $△ A E D$ 沿 $D E$ 折起使二面角 $A^{'} - E D - C$ 的大小为 $90^{\circ}$ ，则空间 $A^{'}$ 、 $C$ 两点的距离为；

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15. 命题 $p$ ：已知 $a > 0$ ，且满足对任意正实数 $x$ ，总有 $x + \frac{a}{x} \geq 1$ 成立.命题 $q$ ：二次函数 $f (x) = x^{2} - 6 a x + a$ 在区间 $[1, 2]$ 上具有单调性.若“ $p$ 或 $\neg q$ ”与“ $q$ ”均为真命题，则实数 $a$ 的取值范围为；

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16. 已知正四面体 $A B C D$ 的棱长为 $2 \sqrt{3}$ ， $E$ 为 $△ B C D$ 的中心， $O$ 为 $A E$ 上一点且满足 $O B$ 、 $O C$ 、 $O D$ 两两垂直.过点 $O$ 作平面 $α$ ，其中 $B$ 、 $C$ 、 $D$ 位于平面 $α$ 的同一侧， $\vec{n_{0}}$ 是平面 $α$ 的单位法向量且指向另外一侧， $B$ 、 $C$ 两点到平面 $α$ 的距离分别为1和 $\sqrt{2}$ .以 $O$ 为坐标原点， $O B$ 、 $O C$ 、 $O D$ 为 $x$ 、 $y$ 、 $z$ 轴建立空间直角坐标系（如图所示），则 $\vec{n_{0}}$ 的坐标为.

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三、解答题

17. 已知函数 $f (x) = 2 \sin ω x - 1 (ω > 0)$ .

(1)、已知命题 $p$ ：若正实数 $ω > 1$ ，则函数 $f (x)$ 的最小正周期小于 $2 π$ .请写出命题 $p$ 的逆否命题，并判断其真假性；

(2)、已知命题 $q$ ：函数 $y = f (x)$ 满足 $f (\frac{π}{2}) = - 1$ ，命题 $s$ ： $0 < ω < 5$ ，若 $q$ 与 $s$ 均为真命题，求符合题意的 $ω$ 的值.

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18. 如图四棱锥 $S - A B C D$ ， $A B C D$ 是平行四边形， $A D = B D = 2$ ， $A D ⊥ B D$ ， $△ S A D$ 为等边三角形，且平面 $S A D ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $E$ 是 $A B$ 边的中点， $F$ 是侧棱 $S C$ 上的一点.

(1)、是否存在这样的点 $F$ ，使得 $E F //$ 平面 $S A D$ ？若存在，请求出 $\frac{S F}{S C}$ 的值，若不存在，请说明理由；

(2)、在（1）的条件下，求异面直线 $A D$ 与 $E F$ 的距离.

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19. 命题 $p$ ： $\vec{a} = (x, 1, - 5)$ 与 $\vec{b} = (2 x, 2, x)$ 的夹角为锐角，命题 $q$ ：实数 $x$ 满足 $(x - a) (x - 2 a) > 0$ .

(1)、若 $\vec{a} / / \vec{b}$ ，求 $x$ 的值；

(2)、若 $p$ 是 $q$ 的充分不必要条件，求 $a$ 的取值范围.

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20. 已知两条动直线 $l_{1} : y = \frac{4 x}{λ}$ 与 $l_{2} : y = λ$ （ $λ \neq 0$ ， $λ$ 为参数）的交点为 $P$ .

(1)、求点 $P$ 的轨迹 $C$ 的方程；

(2)、 $E (2, 0)$ 、 $F (1, 0)$ 是 $x$ 轴上的两点，过点 $E$ 作直线 $m$ 与曲线 $C$ 交于 $A$ 、 $B$ ，当 $| A F | + | B F | = 10$ 时，求直线 $A B$ 的方程.

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21. 如图，已知四棱锥 $S - A B C D$ ，其中 $A D // B C$ ， $A B ⊥ A D$ ， $∠ B C D = 45^{\circ}$ ， $B C = 2 A D = 2$ ，侧面 $S B C ⊥$ 底面 $A B C D$ ， $E$ 是 $S B$ 上一点，且 $△ E C D$ 是等边三角形.

(1)、求证： $C E ⊥$ 平面 $S A B$ ；

(2)、当点 $A$ 到 $S C$ 的距离取最大值时，求平面 $S A B$ 与平面 $S C D$ 的夹角.

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22. 如图，已知椭圆 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的一个焦点坐标为 $(- 2 ， 0)$ ，且与 $x$ ， $y$ 轴正半轴分别交于 $A$ ， $B$ 两点，其中 $△ O A B$ 的面积为 $\frac{\sqrt{5}}{2}$ ， $⊙ O$ ： $x^{2} + y^{2} = r_{0}^{2}$ 与 $A B$ 相切.

(1)、求椭圆 $C$ 的标准方程及 $r_{0}$ 的值；

(2)、已知 $P$ 是椭圆 $C$ 上的动点， $⊙ P$ 的半径与 $⊙ O$ 的半径相同，过点 $O$ 向 $⊙ P$ 引切线 $O M$ 、 $O N$ 分别与椭圆 $C$ 交于 $D$ 、 $E$ 两点，记 $λ = \frac{S_{△ M O E}}{S_{△ N O D}}$ ，求 $λ$ 的取值范围.

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