江苏省泰州市2020-2021学年高二上学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2021-03-04 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知命题 $p ：$ “ $\exists x \in R ， e^{x} - x - 1 \leq 0$ ”，则命题 $\neg p ：$ （）

A、 $\forall x \in R ， e^{x} - x - 1 > 0$ B、 $\forall x \notin R ， e^{x} - x - 1 > 0$ C、 $\forall x \in R ， e^{x} - x - 1 \geq 0$ D、 $\exists x \in R ， e^{x} - x - 1 > 0$

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2. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 前10项的和是310，前20项的和是1220，则数列 ${a_{n}}$ 的通项公式为（）

A、 $a_{n} = 6 n + 2$ B、 $a_{n} = 6 n - 2$ C、 $a_{n} = 4 n + 2$ D、 $a_{n} = 4 n - 2$

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3. 在空间四边形 $O A B C$ 中， $\vec{O A} = \vec{a}$ ， $\vec{O B} = \vec{b}$ ， $\vec{O C} = \vec{c}$ ，且 $\vec{A M} = 2 \vec{M B}$ ，则 $\vec{M C} =$ （）

A、 $- \frac{1}{3} \vec{a} - \frac{2}{3} \vec{b} + \vec{c}$ B、 $- \frac{2}{3} \vec{a} - \frac{1}{3} \vec{b} + \vec{c}$ C、 $\frac{1}{3} \vec{a} + \frac{2}{3} \vec{b} - \vec{c}$ D、 $\frac{2}{3} \vec{a} + \frac{1}{3} \vec{b} - \vec{c}$

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4. 2020年北京时间11月24日我国嫦娥五号探月飞行器成功发射.嫦娥五号是我国探月工程“绕、落、回”三步走的收官之战，经历发射入轨、地月转移、近月制动、环月飞行、着陆下降、月面工作、月面上升、交会对接与样品转移、环月等待、月地转移、再入回收等11个关键阶段.在经过交会对接与样品转移阶段后，若嫦娥五号返回器在近月点（离月面最近的点）约为200公里，远月点（离月面最远的点）约为8600公里，以月球中心为一个焦点的椭圆形轨道上等待时间窗口和指令进行下一步动作，月球半径约为1740公里，则此椭圆轨道的离心率约为（）

A、0.32 B、0.48 C、0.68 D、0.82

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5. 如果向量 $\vec{a} = (2 ， - 1 ， 3)$ ， $\vec{b} = (- 1 ， 4 ， 2)$ ， $\vec{c} = (1 ， - 1 ， m)$ 共面，则实数 $m$ 的值是（）

A、-1 B、1 C、-5 D、5

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6. 设抛物线 $y^{2} = 8 x$ 的焦点为 $F$ ，过点 $M (1 ， 0)$ 的直线与抛物线相交于 $A$ ， $B$ 两点，若 $| B F | = 4$ ，则 $| A F | =$ （）

A、 $\frac{7}{2}$ B、3 C、 $\sqrt{7}$ D、 $\frac{5}{2}$

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7. 已知正项等比数列 ${a_{n}}$ 的公比为 $q$ ，前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，则“ $q > 1$ ”是“ $S_{4} + S_{6} - 2 S_{5} > 0$ ”的（）条件

A、充分不必要 B、必要不充分 C、充分必要 D、既不充分也不必要

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8. 若 $0 < x < y < z$ 且 $x y z = 1$ ，则下列关系式不一定成立的是（）

A、 $\lg y + \lg z > 0$ B、 $2^{y} + 2^{z} > 4$ C、 $x + z^{2} > 2$ D、 $x^{2} + z > 2$

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二、多选题

9. 已知双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{8} - \frac{y^{2}}{4} = 1$ ，则下列说法正确的是（）

A、渐近线方程为 $y = \pm \sqrt{2} x$ B、焦点坐标为 $(\pm 2 \sqrt{3} ， 0)$ C、顶点坐标为 $(\pm 2 \sqrt{2} ， 0)$ D、实轴长为 $2 \sqrt{2}$

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10. 设 $a ， b ， c \in R$ ，则下列结论正确的有（）

A、若 $a < b$ ， $c < 0$ ，则 $a c > b c$ B、 $a + \frac{1}{a} \geq 2$ C、若 $a < b < 0$ ，则 $\frac{1}{a} > \frac{1}{b}$ D、 ${(\frac{a + b}{2})}^{2} \leq \frac{a^{2} + b^{2}}{2}$

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11. 任取一个正整数 $m$ ，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2.反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈1→4→2→1.这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”）.如取正整数 $m = 3$ ，根据上述运算法则得出3→10→5→16→8→4→2→1，共需经过7个步骤首次变成1（简称为7步“雹程”）.则下列叙述正确的是（）

A、当 $m = 12$ 时，经过9步雹程变成1 B、当 $m = 2^{k} (k \in N^{*})$ 时，经过 $k$ 步雹程变成1 C、当 $m$ 越大时，首次变成1需要的雹程数越大 D、若 $m$ 需经过5步雹程首次变成1，则 $m$ 所有可能的取值集合为 ${5 ， 32}$

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12. 已知过抛物线 $y^{2} = 4 x$ 焦点 $F$ 的直线 $l$ 与抛物线交于 $A$ ， $B$ 两点，直线 $A M ⊥ l$ 交 $x$ 轴于点 $M$ ，直线 $B N ⊥ l$ 交 $x$ 轴于点 $N$ ，则下列结论正确的有（）

A、 $| A F | + | B F | = | A F | \cdot | B F |$ B、 $| M F | + | N F | = | M F | \cdot | N F |$ C、 $| A F | \cdot | B F |$ 的最小值为4 D、 $| M F | \cdot | N F |$ 的最小值为16

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三、填空题

13. 已知直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A B ⊥ A C$ ， $A B = A C = A A_{1}$ ，点 $E$ 、 $F$ 分别为 $A A_{1}$ 、 $A_{1} C_{1}$ 的中点，则直线 $B E$ 和 $C F$ 所成角的余弦值为.

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14. 已知椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左，右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，若椭圆上存在一点 $P$ 使得 $| P F_{1} | = 2 | P F_{2} |$ ，则该椭圆离心率的取值范围是.

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15. 已知正实数 $a$ 、 $b$ 满足 $a + 2 b = 1$ ，则 $\frac{a}{1 - a} + \frac{b}{1 - b}$ 的最小值为.

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16. 如图甲是第七届国际数学教育大会（ICME-7）的会徽.它的主题图案是由一连串如图乙所示的直角三角形演化而成的.设其中的第一个直角三角形 $O A_{1} A_{2}$ 是等腰三角形，且 $O A_{1} = A_{1} A_{2} = A_{2} A_{3} = A_{3} A_{4} = \dots = A_{7} A_{8} = 1$ ，它可以形成近似的等角螺线，记 $O A_{1}$ 、 $O A_{2}$ 、 $O A_{3}$ 、 $\dots$ 、 $O A_{8}$ 的长度组成数列 ${a_{n}} (n \in N^{*} ， 1 \leq n \leq 8)$ ，且 $b_{n} = \frac{1}{a_{n} + a_{n + 1}}$ 则 $a_{n} =$ $(n \in N^{*} ， 1 \leq n \leq 8)$ ，数列 ${b_{n}}$ 的前 $7$ 项和为.

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四、解答题

17. 已知命题 $p ：$ 实数 $t$ 满足 $t^{2} - 7 a t + 12 a^{2} < 0 (a < 0)$ ，命题 $q ：$ 实数 $t$ 满足曲线 $\frac{x^{2}}{25 + t} + \frac{y^{2}}{9 + t} = 1$ 为椭圆.

(1)、若 $q$ 为真，求实数 $t$ 的取值范围；

(2)、若 $p$ 是 $q$ 的充分条件，求实数 $a$ 的取值范围.

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18. 在① $b_{n} = a_{n} \cdot 2^{a_{n}}$ ，② $b_{n} = | a_{n} - 10 |$ ，③ $b_{n} = \frac{1}{a_{n} a_{n + 2}}$ 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并完成问题的解答.
问题：已知数列 ${a_{n}}$ 是各项均为正数的等差数列， $a_{2} = 2$ ，且 $a_{1} + 1$ 、 $a_{4}$ 、 $a_{8}$ 成等比数列.

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、记 ▲ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ .

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19. 已知点 $P (x ， y)$ 到定点 $F (0 ， \sqrt{2})$ 的距离与它到定直线 $l ： y = \frac{3}{2} \sqrt{2}$ 的距离的比是常数 $\sqrt{\frac{2}{3}}$ ，点 $P$ 的轨迹为曲线 $E$ .

(1)、求曲线 $E$ 的方程；

(2)、设点 $Q (m ， 0) (m > 1)$ ，若 $| P Q |$ 的最大值为 $\sqrt{6}$ ，求实数 $m$ 的值.

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20. 2020年11月23日，贵州宣布最后9个深度贫困县退出贫困县序列，这不仅标志着贵州省66个贫困县实现整体脱贫，这也标志着国务院扶贫办确定的全国832个贫困县全部脱贫摘帽，全国脱贫攻坚目标任务已经完成.在脱贫攻坚过程中，某地县乡村三级干部在帮扶走访中得知某贫困户的实际情况后，为他家量身定制了脱贫计划，政府无息贷款10万元给该农户种养羊，每万元可创造利润0.15万元.若进行技术指导，养羊的投资减少了 $x$ $(x > 0)$ 万元，且每万元创造的利润变为原来的 $(1 + 0.25 x)$ 倍.现将养羊少投资的 $x$ 万元全部投资网店，进行农产品销售，则每万元创造的利润为 $0.15 (a - 0.875 x)$ 万元，其中 $a > 0$ .

(1)、若进行技术指导后养羊的利润不低于原来养羊的利润，求 $x$ 的取值范围；

(2)、若网店销售的利润始终不高于技术指导后养羊的利润，求 $a$ 的最大值.

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21. 如图，已知在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P A$ $⊥$ 平面 $A B C D$ ，四边形 $A B C D$ 为直角梯形， $A D = 2 A B = 2 B C = 2$ ， $P A = 1$ ， $∠ A B C = 90^{\circ}$ .

(1)、求直线 $P B$ 与平面 $P C D$ 所成角的正弦值；

(2)、在线段 $P B$ 上是否存在点 $E$ ，使得二面角 $E - A C - P$ 的余弦值 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ ？若存在，指出点 $E$ 的位置；若不存在，说明理由.

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22. 已知 $A$ ， $B$ 分别是双曲线 $E ： x^{2} - \frac{y^{2}}{4} = 1$ 的左，右顶点，直线 $l$ （不与坐标轴垂直）过点 $N (2 ， 0)$ ，且与双曲线 $E$ 交于 $C$ ， $D$ 两点.

(1)、若 $\vec{C N} = 3 \vec{N D}$ ，求直线 $l$ 的方程；

(2)、若直线 $A C$ 与 $B D$ 相交于点 $P$ ，求证：点 $P$ 在定直线上.

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