江苏省南通市如皋市2020-2021学年高二上学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2021-03-04 类型：期末考试

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一、单选题

1. $α > β$ 是 $\sin α > \sin β$ 的（）

A、充要条件 B、充分不必要条件 C、必要不充分条件 D、既不充分也不必要条件

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2. $(x + 2) {(1 - 2 x)}^{5}$ 的展开式中， $x^{2}$ 的系数为（）

A、70 B、-70 C、120 D、-120

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3. 如图是容量为 $n$ 的样本的频率分布直方图，已知样本数据在 $[14 ， 18)$ 内的频数是6，则样本数据落在 $[6 ， 10)$ 的频数是（）

A、6 B、8 C、9 D、10

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4. 设 $l$ 是直线， $α$ ， $β$ 是两个不同的平面，下列命题中正确的是（）

A、若 $l // α$ ， $l // β$ ，则 $α // β$ B、若 $l // α$ ， $l ⊥ β$ ，则 $α ⊥ β$ C、若 $α ⊥ β$ ， $l ⊥ α$ ，则 $l // β$ D、若 $α ⊥ β$ ， $l // α$ ，则 $l ⊥ β$

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5. 直线 $y = k x - 3 k + 4$ 与双曲线 $\frac{x^{2}}{16} - \frac{y^{2}}{9} = 1$ 有且只有一个公共点，则 $k$ 的取值有（）个

A、1 B、2 C、3 D、4

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6. 已知正三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ ，底面正三角形 $A B C$ 的边长为 $2$ ，侧棱 $A A_{1}$ 长为 $2$ ，则点 $B_{1}$ 到平面 $A_{1} B C$ 的距离为（）

A、 $\frac{2 \sqrt{21}}{7}$ B、 $\frac{2 \sqrt{21}}{21}$ C、 $\frac{4 \sqrt{7}}{7}$ D、 $\frac{4 \sqrt{7}}{21}$

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7. 琵琶、二胡、编钟、箫、笛、瑟、琴、埙、笙和鼓这十种民族乐器被称为“中国古代十大乐器”.为弘扬中国传统文化，某校以这十种乐器为题材，在周末学生兴趣活动中开展了“中国古代乐器”知识讲座，共连续安排四节课，一节课只讲一种乐器，一种乐器最多安排一节课，则琵琶、二胡一定安排，且这两种乐器互不相邻的概率为（）

A、 $\frac{1}{360}$ B、 $\frac{1}{6}$ C、 $\frac{1}{15}$ D、 $\frac{7}{15}$

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8. 设 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 是椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{3} + \frac{y^{2}}{m} = 1$ 的两个焦点，若椭圆 $C$ 上存在点 $M$ 满足 $∠ F_{1} M F_{2} = 120 °$ ，则 $m$ 的取值范围是（）

A、 $(0 ， \frac{3}{4}] \cup [4 ， + \infty)$ B、 $(0 ， \frac{9}{4}] \cup [4 ， + \infty)$ C、 $(0 ， \frac{3}{4}] \cup [12 ， + \infty)$ D、 $(0 ， \frac{9}{4}] \cup [12 ， + \infty)$

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二、多选题

9. 已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{m} + \frac{y^{2}}{m - 9} = 1$ 的离心率 $e = \sqrt{3}$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $m = 3$ B、双曲线 $C$ 的渐近线方程为 $y = \pm \sqrt{2} x$ C、双曲线 $C$ 的实轴长等于 $2 \sqrt{3}$ D、双曲线 $C$ 的准线为 $y = \pm 1$

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10. 给出下列命题，其中正确命题为（）

A、投掷一枚均匀的硬币和均匀的骰子（形状为正方体，六个面分别标有数字1，2，3，4，5，6）各一次，记硬币正面向上为事件A，骰子向上的点数是2为事件B，则事件A和事件B同时发生的概率为 $\frac{1}{12}$ B、以模型 $y = c e^{k x}$ 去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设 $z = \ln y$ ，将其变换后得到线性方程 $z = 0.3 x + 4$ ，则 $c$ ， $k$ 的值分别是 $e^{4}$ 和 $0.3$ C、随机变量 $X$ 服从正态分布 $N (1 ， σ^{2})$ ， $P (X > 1.5) = 0.34$ ，则 $P (X < 0.5) = 0.16$ D、某选手射击三次，每次击中目标的概率均为 $\frac{1}{2}$ ，且每次射击都是相互独立的，则该选手至少击中2次的概率为 $\frac{1}{2}$

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11. 在 $△ A B C$ 中，角 $A ， B ， C$ 所对的边分别为 a，b，c， $A = \frac{π}{3}$ ，a=2，若满足条件的三角形有且只有一个，则边b的可能取值为（）

A、1 B、 $\frac{4 \sqrt{3}}{3}$ C、2 D、3

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12. 在棱长为1的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $M$ 是线段 $A_{1} C_{1}$ 上一个动点，则下列结论正确的是（）

A、存在 $M$ 点使得异面直线 $B M$ 与 $A C$ 所成角为 $75 °$ B、存在 $M$ 点使得二面角 $M - B D - C$ 为 $135 °$ 的二面角 C、直线 $D_{1} M$ 与平面 $A D_{1} C$ 所成角正弦值的最大值为 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ D、当 $4 A_{1} M = A_{1} C_{1}$ 时，平面 $B D M$ 截正方体所得的截面面积为 $\frac{9}{4}$

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三、填空题

13. 作家马伯庸小说《长安十二时辰》中，靖安司通过长安城内的望楼传递信息.同名改编电视剧中，望楼传递信息的方式有一种如下：如图所示，在九宫格中，每个小方格可以在白色和紫色（此处以阴影代表紫色）之间变换，从而一共可以有512种不同的颜色组合，即代表512种不同的信息.现要求每一行、每一列上都有且只有1个紫色小方格（如图所示即满足要求）.则一共可以传递种信息.（用数字作答）

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14. 已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ 、 $F_{2}$ ，点 $M (4, 4)$ ，若点P为椭圆C上的一个动点，则 $| P M | - | P F_{1} |$ 的最小值为.

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15. 海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上最深的海洋蓝洞.若要测量如图所示的蓝洞的口径 $A$ 、 $B$ 两点间的距离，现在珊瑚群岛上取两点 $C$ 、 $D$ ，测得 $C D = 45 m$ ， $∠ A D B = 135^{\circ}$ ， $∠ B D C = ∠ D C A = 15^{\circ}$ ， $∠ A C B = 120^{\circ}$ ，则 $A$ 、 $B$ 两点的距离为 $m$ .

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16. 已知正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长均为 $2$ ，其内有9个小球，球 $O_{1}$ 与正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的六个面都相切，球 $O_{2}$ ， $O_{3}$ ， $O_{4}$ ， $O_{5}$ ， $O_{6}$ ， $O_{7}$ ， $O_{8}$ ， $O_{9}$ 与正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 三个面和球 $O_{1}$ 都相切，则球 $O_{1}$ 的体积等于，球 $O_{2}$ 的表面积等于.

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四、解答题

17. 请从下列条件中选取一个条件补充在横线上，并解决你组成的问题：
① $c = 4$ ， $a = \sqrt{3} b$ ；② $b = 6$ ， $\sin (\frac{3 π}{2} - B) = - \frac{\sqrt{7}}{4}$ ；③ $b = 2$ ， $C = \frac{5π}{12}$ .

问题：在 $△ A B C$ 中，内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，满足 $\sin A = \frac{\sin B}{a} (b - c) + \frac{c}{a} \sin (A + B)$ ，且________.

求：

(1)、a的值；

(2)、 $△ A B C$ 的面积.

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18. 如图，四面体 $A B C D$ 中，O是 $B D$ 的中点，点G、E分别在线段AO和BC上， $B E = 2 E C$ ， $A G = 2 G O$ ， $C A = C B = C D = B D = 2$ ， $A B = A D = \sqrt{2}$ .

(1)、求证： $G E //$ 平面 $A C D$ ；

(2)、求证：平面 $A B D ⊥$ 平面 $B C D$ .

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19. 已知直线 $l ： y = k x + 1$ 过抛物线 $E ： x^{2} = 2 p y (p > 0)$ 的焦点，且与抛物线 $E$ 交于 $A$ 、 $B$ 两点，点 $M$ 为 $A B$ 中点.

(1)、求抛物线 $E$ 的方程；

(2)、以 $A B$ 为直径的圆与 $x$ 轴交于 $C$ 、 $D$ 两点，求 $△ M C D$ 面积取得最小值时直线 $l$ 的方程.

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20. 为了解使用手机是否对学生的学习有影响，某校随机抽取50名学生，对学习成绩和使用手机情况进行了调查，统计数据如表所示（不完整）：

	使用手机	不使用手机	总计
学习成绩优秀	5	20
学习成绩一般
总计		30	50

(1)、补充完整所给表格，并根据表格数据计算是否有

99.9 %

的把握认为学生的学习成绩与使用手机有关；

(2)、现从上表不使用手机的学生中按学习成绩是否优秀分层抽样选出9人，再从这9人中随机抽取3人，记这3人中“学习成绩优秀”的人数为

X

，试求

X

的分布列与数学期望.

参考公式： $x^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中 $n = a + b + c + d$ .

参考数据：

$P (x^{2} \geq x_{0})$	0.050	0.010	0.001
$x_{0}$	3.841	6.6935	10.828

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21. 如图，在棱柱 $A B C D - A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ 中，底面 $A B C D$ 为平行四边形， $D D^{'} = C D = 4$ ， $A D = 2$ ， $∠ B A D = \frac{π}{3}$ ，且 $D^{'}$ 在底面上的投影 $H$ 恰为 $C D$ 的中点.

(1)、求证： $B C ⊥$ 平面 $B^{'} D^{'} H$ ；

(2)、求二面角 $C^{'} - B H - C$ 的大小.

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22. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知 $A$ ， $B$ 两点是椭圆 $E : \frac{x^{2}}{9} + y^{2} = 1$ 的左、右顶点， $P$ 为直线 $x = 6$ 上的动点， $P A$ 与椭圆 $E$ 的另一交点为 $Q$ ，当点 $P$ 不为点 $(6, 0)$ 时，过 $P$ 作直线 $P H ⊥ Q B$ ，垂足为 $H$ .

(1)、证明：直线 $P H$ 过定点 $M$ ；

(2)、过（1）中的定点 $M$ 作斜率为 $k$ 的直线与椭圆 $E$ 交于 $C$ ， $D$ 两点，设直线 $A C$ ， $A D$ 的斜率分别为 $k_{1}$ ， $k_{2}$ ，试判断 $k \cdot (k_{1} + k_{2})$ 是否为定值？如果是定值，求出定值.

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