山东省济宁市2020-2021学年高二上学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2021-03-04 类型：期末考试

进入出卷网下载

一、单选题

1. 已知直线 $3 x - 4 y + 4 = 0$ 与直线 $a x + 8 y + 7 = 0$ 平行，则实数a的值为（）

A、 $- \frac{32}{3}$ B、 $\frac{32}{3}$ C、6 D、-6

查看试题解析
2. 圆 $C_{1} ： x^{2} + y^{2} = 1$ 与圆 $C_{2} ： {(x - 1)}^{2} + {(y + 2)}^{2} = 4$ 的位置关系为（）

A、内含 B、外离 C、相交 D、相切

查看试题解析
3. 在等比数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{2} + a_{3} = 1 ， a_{3} + a_{4} = 2$ ，则 $a_{4} + a_{5} =$ （）

A、4 B、8 C、16 D、32

查看试题解析
4. 椭圆 $\frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{16} = 1$ 与椭圆 $\frac{x^{2}}{25 - k} + \frac{y^{2}}{16 - k} = 1 (k < 16)$ 的（）

A、长轴长相等 B、短轴长相等 C、离心率相等 D、焦距相等

查看试题解析
5. 在空间四边形 $A B C D$ 中， $\vec{D A} = \vec{a} ， \vec{D B} = \vec{b} ， \vec{D C} = \vec{c}$ ，且 $\vec{D M} = \vec{M A} ， \vec{B N} = 2 \vec{N C}$ ，则 $\vec{M N} =$ （）

A、 $\frac{1}{2} \vec{a} - \frac{1}{3} \vec{b} - \frac{2}{3} \vec{c}$ B、 $- \frac{1}{2} \vec{a} + \frac{2}{3} \vec{b} + \frac{1}{3} \vec{c}$ C、 $- \frac{1}{2} \vec{a} + \frac{1}{3} \vec{b} + \frac{2}{3} \vec{c}$ D、 $- \frac{1}{2} \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b} + \frac{1}{2} \vec{c}$

查看试题解析
6. 中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难次日脚痛减一半六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”其大意为：“有一个人走了378里路，第一天健步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地.”则此人第6天走了（）

A、48里 B、24里 C、12里 D、6里

查看试题解析
7. 已知圆O的半径为5， $| O P | = 3$ ，过点P的2021条弦的长度组成一个等差数列 ${a_{n}}$ ，最短弦长为 $a_{1}$ ，最长弦长为 $a_{2021}$ ，则其公差为（）

A、 $\frac{1}{2020}$ B、 $\frac{1}{1010}$ C、 $\frac{3}{1010}$ D、 $\frac{1}{505}$

查看试题解析
8. 已知抛物线 $y^{2} = 2 x$ 的焦点为F，点P为该抛物线上的动点，若 $A (- \frac{1}{2} ， 0)$ ，则当 $\frac{| P A |}{| P F |}$ 最大时， $| P F | =$ （）

A、 $\frac{1}{2}$ B、1 C、 $\frac{3}{2}$ D、2

查看试题解析

二、多选题

9. 已知空间四点 $O (0 ， 0 ， 0) ， A (0 ， 1 ， 2) ， B (2 ， 0 ， - 1) ， C (3 ， 2 ， 1)$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $\vec{O A} \cdot \vec{O B} = - 2$ B、 $\cos < \vec{O A} ， \vec{O B} > = - \frac{2}{5}$ C、点O到直线 $B C$ 的距离为 $\sqrt{5}$ D、O，A，B，C四点共面

查看试题解析
10. 已知递减的等差数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，若 $S_{7} = S_{11}$ ，则（）

A、 $a_{10} > 0$ B、当n=9时， $S_{n}$ 最大 C、 $S_{17} > 0$ D、 $S_{19} > 0$

查看试题解析
11. 已知圆 $x^{2} + y^{2} - 2 x + 4 y + m = 0$ 上至多有一点到直线 $3 x + 4 y - 10 = 0$ 的距离为1，则实数m的取值可以是（）

A、0 B、1 C、3 D、5

查看试题解析
12. 已知常数 $a > 0$ ，点 $A (- a ， 0) ， B (a ， 0)$ ，动点M(不与A，B重合)满足：直线 $A M$ 与直线 $B M$ 的斜率之积为 $m (m \neq 0)$ ，动点M的轨迹与点A，B共同构成曲线C，则关于曲线C的下列说法正确的是（）

A、当 $m < 0$ 时，曲线C表示椭圆 B、当 $m < - 1$ 时，曲线C表示焦点在y轴上的椭圆 C、当 $m > 0$ 时，曲线C表示双曲线，其渐近线方程为 $y = \pm \sqrt{m} x$ D、当 $m > - 1$ 且 $m \neq 0$ 时，曲线C的离心率是 $\sqrt{1 + m}$

查看试题解析

三、填空题

13. 若 $a_{n} = {(- 1)}^{n} \cdot (2 n - 1)$ ，则数列 ${a_{n}}$ 的前21项和 $S_{21} =$ .

查看试题解析
14. 过点 $P (0 ， 2)$ 作圆 $x^{2} + y^{2} + 8 x + 7 = 0$ 的两条切线，切点为A，B，则直线 $A B$ 的一般式方程为.

查看试题解析
15. 在一平面直角坐标系中，已知 $A (- 1 ， 2) ， B (2 ， - 4)$ ，现沿x轴将坐标平面折成60°的二面角，则折叠后A，B两点间的距离为.

查看试题解析
16. 已知双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的右焦点为F，以F为圆心，以a为半径的圆与双曲线C的一条渐近线交于A，B两点.若 $\vec{O A} = 2 \vec{O B}$ (O为坐标原点)，则双曲线C的离心率为.

查看试题解析

四、解答题

17. 已知圆 $C ： {(x - 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} = 4$ ，直线 $l ： k x - y - 5 k + 4 = 0$ .

(1)、若直线l平分圆C的周长，求实数k的值；

(2)、若直线l与直线 $l_{0} ： 2 x - y = 0$ 的倾斜角互补，求圆C上的点到直线l的距离的最小值.

查看试题解析
18. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，且 $2 S_{n} = 3 a_{n} - 3$ .

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设 $b_{n} = \log_{3} a_{n}$ ， $T_{n}$ 为数列 ${b_{n}}$ 的前n项和，求数列 ${\frac{1}{T_{n}}}$ 的前n项和.

查看试题解析
19. 在① $| P F | = x_{0} + 1$ ；② $y_{0} = 2 x_{0} = 2$ 这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并对其求解.
问题：已知抛物线 $C ： y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点为F，点 $P (x_{0} ， y_{0})$ 在抛物线C上，且___________.

(1)、求抛物线C的标准方程；

(2)、若直线l过抛物线C的焦点F，l与抛物线C相交于A，B两点，且 $| A B | = 8$ ，求直线l的方程.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

查看试题解析
20. 如图，在直四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，四边形 $A B C D$ 为平行四边形， $B C = B D = 1 ， A B = \sqrt{2}$ ，直线 $C C_{1}$ 与平面 $A_{1} B D$ 所成角的正弦值为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

(1)、求点 $C_{1}$ 到平面 $A_{1} B D$ 的距离；

(2)、求平面 $A_{1} B D$ 与平面 $C_{1} B D$ 的夹角的余弦值.

查看试题解析
21. 在如图三角形数阵中第n行有n个数， $a_{i j}$ 表示第i行第j个数，例如， $a_{43}$ 表示第4行第3个数.该数阵中每一行的第一个数从上到下构成以m为公差的等差数列，从第三行起每一行的数从左到右构成以m为公比的等比数列(其中 $m > 0$ ).已知 $a_{11} = 2 ， a_{41} = \frac{1}{2} a_{32} + 2 ， \frac{a_{22}}{a_{21}} = m$ .
$\begin{array}{l} a_{11} \\ a_{21} a_{22} \\ a_{31} a_{32} a_{33} \\ a_{41} a_{42} a_{43} a_{44} \\ a_{51} a_{52} a_{53} a_{54} a_{55} \\ \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \\ a_{n 1} a_{n 2} a_{n 3} \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot a_{n n} \end{array}$

(1)、求m及 $a_{53}$ ；

(2)、记 $T_{n} = a_{11} + a_{22} + a_{33} + \dots + a_{n n}$ ，求 $T_{n}$ .

查看试题解析
22. 在圆 $A ： {(x + 1)}^{2} + y^{2} = 8$ 内有一点 $B (1 ， 0)$ ，动点M为圆A上任意一点，线段 $B M$ 的垂直平分线与半径 $A M$ 相交于点N，设点N的轨迹为C.

(1)、求轨迹C的方程；

(2)、若直线 $l ： y = k x + m$ 与轨迹C交于不同两点E，F，轨迹C上存在点P，使得以 $O E ， O F$ 为邻边的四边形 $O E P F$ 为平行四边形(O为坐标原点)，求证： $△ O E P$ 的面积为定值.

查看试题解析