山东省威海市2020-2021学年高三上学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2021-03-04 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | | x - 1 | < 2}, B = {x | x > 0}$ ，则 $A \cup B =$ （）

A、 ${x | x > - 1}$ B、 ${x | 0 < x < 3}$ C、 ${x | - 1 < x < 3}$ D、 ${x | x < 0}$

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2. 设复数 $z$ 满足 $\frac{1 + z}{1 - z} = i$ ，则 $\bar{z} =$ （）

A、 $i$ B、 $- i$ C、 $1$ D、 $1 + i$

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3. 已知向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 满足 $| \vec{a} | = 1, | \vec{b} | = 2, < \vec{a}, \vec{b} > = \frac{π}{3}$ ，则 $| \vec{a} - \vec{b} | =$ （）

A、3 B、7 C、 $\sqrt{7}$ D、 $\sqrt{3}$

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4. 人们通常以分贝（符号是 $d B$ ）为单位来表示声音强度的等级．一般地，如果强度为 $x$ 的声音对应的等级为 $f (x) d B$ ，则有 $f (x) = 10 l g \frac{x}{1 \times 10^{- 12}}$ ﹒生活在深海的抹香鲸是一种拥有高分贝声音的动物，其声音约为 $200 d B$ ，而人类说话时，声音约为 $60 d B,$ 则抹香鲸声音强度与人类说话时声音强度之比为（）

A、 $10^{- 14}$ B、 $\frac{10}{3}$ C、 $10^{14}$ D、 $10^{8}$

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5. 若关于 $x$ 的不等式 $x^{2} - (m + 3) x + 3 m < 0$ 的解集中恰有3个正整数，则实数 $m$ 的取值范围为（）

A、 $[- 2, - 1)$ B、 $(3, 4)$ C、 $(5, 6]$ D、 $(6, 7]$

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6. 已知函数 $f (x) = \log_{0.5} (4^{x} + 1), a = \log_{5} 2, b = \log_{0.5} 0.2, c = {0.5}^{0.2}$ ，则（）

A、 $f (b) > f (a) > f (c)$ B、 $f (b) < f (a) < f (c)$ C、 $f (b) > f (c) > f (a)$ D、 $f (b) < f (c) < f (a)$

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7. 已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1} ， F_{2} ， P$ 为双曲线左支上位于第二象限的一点，且满足 $\vec{P F_{1}} \cdot \vec{P F_{2}} = 0$ ，若直线 $P F_{2}$ 与圆 $x^{2} + y^{2} = \frac{b^{2}}{4}$ 相切，则双曲线的离心率为（）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\sqrt{3}$ C、 $\sqrt{5}$ D、2

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8. 若关于 $x$ 的方程 $l n x - a x = x^{2}$ 在 $(0, + \infty)$ 上有两个不等的实数根，则实数 $a$ 的取值范围为（）

A、 $(- \infty, - 1]$ B、 $(- \infty, - 1)$ C、 $[- 1, + \infty)$ D、 $(- 1, + \infty)$

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二、多选题

9. 新时代的中国能源发展，把清洁低碳作为能源发展的主导方向，优化能源生产布局和消费结构，基本形成了原煤、原油、天然气、非化石能源多轮驱动的能源生产体系.下图为2012年至2019年中国能源生产情况统计，则（）

A、原煤在能源生产体系中所占比重最大，是保障能源供应的基础能源 B、各类能源的产量在2016年都小幅回落 C、非化石能源的生产量逐年增加 D、原油和天然气的产量之和每年基本保持稳定

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10. 已知函数 $f (x) = \sin (ω x + φ) (ω > 0 ， | φ | < \frac{π}{2})$ 的最小正周期为 $π$ ，将其图象向右平移 $\frac{π}{6}$ 个单位得到一个偶函数图象，则（）

A、函数 $f (x)$ 的图象关于点 $(\frac{π}{12} ， 0)$ 中心对称 B、函数 $f (x)$ 在 $[\frac{π}{12} ， \frac{π}{3}]$ 上单调递增 C、当 $x \in [0 ， \frac{π}{2}]$ 时，函数 $f (x)$ 的最大值为 $\frac{1}{2}$ D、函数 $g (x) = f (x) - \frac{1}{2}$ 在 $[0 ， \frac{7 π}{6}]$ 上恰有三个不同的零点

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11. 在棱长为2的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $E ， F$ 分别为 $A B ， A_{1} D_{1}$ 的中点，则（）

A、 $B D ⊥ B_{1} C$ B、 $E F / /$ 平面 $D B_{1} B$ C、 $A C_{1} ⊥$ 平面 $B_{1} D_{1} C$ D、过直线 $E F$ 且与直线 $B D_{1}$ 平行的平面截该正方体所得截面面积为 $\sqrt{2}$

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12. 已知数列 $1, 1, 2, 1, 2, 4, 1, 2, 4, 8, 1, 2, 4, 8, 16,$ ……，其中第一项是 $2^{0}$ ，接下来的两项是 $2^{0}, 2^{1},$ 再接下来的三项是 $2^{0}, 2^{1}, 2^{2},$ 依次类推…，第 $n$ 项记为 $a_{n}$ ，数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，则（）

A、 $a_{60} = 16$ B、 $S_{18} = 128$ C、 $a_{\frac{k^{2} + k}{2}} = 2^{k - 1}$ D、 $S_{\frac{k^{2} + k}{2}} = 2^{k} - k - 1$

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三、填空题

13. 在 ${(2 \sqrt{x} + \frac{1}{\sqrt{x}})}^{6}$ 的展开式中，常数项等于．

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14. 被誉为“中国现代数学之父”的著名数学家华罗庚先生为我国数学的发展做出了巨大贡献，他所倡导的“0.618优选法”在生产和科研实践中得到了广泛的应用.0.618就是黄金分割比 $m = \frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ 的近似值，黄金分割比还可以表示成 $2 s i n 18 °$ ，则 $\frac{m \sqrt{4 - m^{2}}}{1 - 2 \sin^{2} 27^{\circ}} =$ ．

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15. 已知抛物线 $C ： y^{2} = 8 x$ 的焦点为 $F ， A$ 为 $C$ 上一点，以 $F$ 为圆心， $F A$ 为半径的圆交 $C$ 的准线于 $B ， D$ 两点，若 $A ， F ， B$ 三点共线，则 $| A F | =$ ．

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四、双空题

16. 已知三棱锥 $P - A B C ， Q$ 为 $B C$ 中点， $P B = P C = A B = B C = A C = 2 ，$ 侧面 $P B C ⊥$ 底面 $A B C$ ，则三棱锥 $P - A B C$ 外接球的表面积为，过点 $Q$ 的平面截该三棱锥外接球所得截面面积的取值范围为

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五、解答题

17. 在① $S_{△ A B C} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ ，② $b \sin C - \sqrt{3} b \sin B - \sqrt{3} c \cos B = c$ ;③ $\sin B = 2 \sin C$ 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并做答.
问题:已知 $△ A B C$ 的内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c, A = \frac{π}{3}, c = 1$ ， ▲ ，角 $B$ 的平分线交 $A C$ 于点 $D$ ，求 $B D$ 的长.

(注:如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.)

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18. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，且满足 $a_{3} = 8, S_{5} = 2 a_{7}$ .

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式;

(2)、若数列 ${b_{n}}$ 满足 $b_{n} = a_{n} \cos n π + 2^{n + 1}$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前 $2 n$ 项和 $T_{2 n}$ .

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19. 在三棱锥 $P - A B C$ 中，底面 $A B C$ 为正三角形，平面 $P B C ⊥$ 平面 $A B C ， P B = P C = 1 ， D$ 为 $A P$ 上一点， $A D = 2 D P ， O$ 为三角形 $A B C$ 的中心.

(1)、求证： $A C ⊥$ 平面 $O B D$ ；

(2)、若直线 $P A$ 与平面 $A B C$ 所成的角为 $45 °$ ，求二面角 $A - B D - O$ 的余弦值.

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20. 已知函数 $f (x) = e^{x} - a x - a$ .

(1)、当 $a = 1$ 时，求过点 $(0 ， - 1)$ 且与曲线 $y = f (x)$ 相切的直线方程；

(2)、若 $f (x) \geq 0$ ，求实数 $a$ 的取值范围.

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21. 体检时，为了确定体检人是否患有某种疾病，需要对其血液采样进行化验，若结果呈阳性，则患有该疾病;若结果呈阴性，则未患有该疾病．对于 $n (n \in N^{*})$ 份血液样本，有以下两种检验方式:一是逐份检验，则需检验 $n$ 次.二是混合检验，将 $n$ 份血液样本分别取样混合在一起，若检验结果为阴性，那么这 $n$ 份血液全为阴性，因而检验一次就够了﹔如果检验结果为阳性，为了明确这 $n$ 份血液究竟哪些为阳性，就需要对它们再次取样逐份检验，则 $n$ 份血液检验的次数共为 $n + 1$ 次.已知每位体检人未患有该疾病的概率为 $\sqrt[3]{p} (0 < p < 1)$ ，而且各体检人是否患该疾病相互独立.

(1)、若 $p = \frac{8}{9}$ ，求3位体检人的血液样本混合检验结果为阳性的概率;

(2)、某定点医院现取得6位体检人的血液样本，考虑以下两种检验方案:
方案一:采用混合检验;

方案二:平均分成两组，每组3位体检人血液样本采用混合检验.

若检验次数的期望值越小，则方案越“优”.试问方案一、二哪个更“优”?请说明理由.

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22. 已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{1}{2}, A, B$ 分别是它的左、右顶点， $F$ 是它的右焦点，过点 $F$ 作直线与 $C$ 交于 $P, Q$ (异于 $A, B$ )两点，当 $P Q ⊥ x$ 轴时， $Δ A P Q$ 的面积为 $\frac{9}{2}$ .

(1)、求 $C$ 的标准方程;

(2)、设直线 $A P$ 与直线 $B Q$ 交于点 $M$ ，求证:点 $M$ 在定直线上.

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