江苏省南通市启东市、通州区2020-2021学年高二上学期数学期末联考试卷

试卷更新日期：2021-03-04 类型：期末考试

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一、单选题

1. 不等式 $2 + x - x^{2} \leq 0$ 的解集为（）

A、 $[- 2, 1]$ B、 $[- 1, 2]$ C、 $(- \infty, - 1] \cup [2, + \infty)$ D、 $(- \infty, - 2] \cup [1, + \infty)$

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2. 在等比数列 ${a_{n}}$ 中，已知 $a_{5} - a_{2} = 4, a_{4} - a_{1} = 2$ ，则公比q=（）

A、 $\pm \frac{1}{2}$ B、±2 C、 $\frac{1}{2}$ D、2

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3. 已知函数 $f (x) = e^{x} \ln x$ ， $f^{'} (x)$ 为 $x$ 的导函数，则 $f^{'} (1)$ 的值为（）

A、 $\frac{1}{e}$ B、 $e$ C、1 D、0

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4. 我国古代数学名著《孙子算经》载有一道数学问题：“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩二，七七数之剩二，问物几何?”根据这一数学思想，所有被3除余2的整数从小到大组成数列 ${a_{n}}$ ，所有被5除余2的正整数从小到大组成数列 ${b_{n}}$ ，把数 ${a_{n}}$ 与 ${b_{n}}$ 的公共项从小到大得到数列 ${c_{n}}$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $a_{1} + b_{2} = c_{2}$ B、 $b_{8} - a_{2} = c_{4}$ C、 $b_{22} = c_{8}$ D、 $a_{6} b_{2} = c_{9}$

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5. 已知椭圆短轴上的两个三等分点与两个焦点构成一个正方形，则该椭圆的离心率是（）

A、 $\frac{\sqrt{10}}{10}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ D、 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$

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6. 已知正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ ，点 $E ， F$ 分别是棱 $B_{1} C_{1}$ ， $A_{1} D_{1}$ 的中点，则异面直线BE，DF所成角的余弦值为（）

A、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ B、 $\frac{3}{5}$ C、 $\frac{4}{5}$ D、 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$

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7. 抛物线 $x^{2} = 2 y$ 的顶点是抛物线上到点 $A (0, a)$ 的距离最近的点，则实数的a取值范围是（）

A、 $(- \infty, 0)$ B、 $(- \infty, 0]$ C、 $(- \infty, 1)$ D、 $(- \infty, 1]$

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8. 数列{ ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = 1, a_{n + 1} = t a_{n} + t (n \in N^{*}, t \neq 0)$ ，则“ $t = \frac{1}{2}$ ”是“数列 ${a_{n}}$ 成等比数列”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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二、多选题

9. 下列命题正确（）

A、若 $a c^{2} > b c^{2}$ ，则a>b B、 $\forall n \in N ， 2^{n} \geq n^{2}$ C、 $\exists x \in (0 ， + \infty) ， x + \frac{1}{4 x} \leq \sin x$ D、 $\forall a \in (2 ， + \infty) ， x^{2} + 2 x + a > 0$

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10. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前n项和是 $S_{n}$ ，则下列说法正确的有（）

A、若 $S_{n} = 2 n$ ，则 ${a_{n}}$ 是等差数列 B、若 $S_{n} = 2 a_{n} - 1$ ，则 ${a_{n}}$ 是等比数列 C、若 ${a_{n}}$ 是等差数列，则 $S_{n}$ ， $S_{2n} - S_{n}, S_{3 n} - S_{2 n}$ ，成等差数列 D、若 ${a_{n}}$ 是等比数列，则 $S_{n}$ ， $S_{2n} - S_{n}, S_{3 n} - S_{2 n}$ 成等比数列

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11. 已知双曲线的渐近线方程为 $y = \pm 2 x$ ，则（）

A、虚轴长是实轴长的2倍 B、离心率是 $\sqrt{5}$ 或 $\frac{\sqrt{5}}{2}$ C、过焦点且与实轴垂直的直线被双曲线截得的线段长是虚轴长的2倍 D、焦点到渐近线的距离等于虚半轴长

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12. 在三维空间中，定义向量的外积： $\vec{a} \times \vec{b}$ 叫做向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的外积，它是一个向量，满足下列两个条件：① $\vec{a} ⊥ (\vec{a} \times \vec{b})$ ， $\vec{b} ⊥ (\vec{a} \times \vec{b})$ ，且 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 和 $\vec{a} \times \vec{b}$ 构成右手系（即三个向量的方向依次与右手的拇指、食指、中指的指向一致，如图所示）：② $\vec{a} \times \vec{b}$ 的模 $| \vec{a} \times \vec{b} | = | \vec{a} | | \vec{b} | \sin 〈 \vec{a} ， \vec{b} 〉$ （ $〈 \vec{a} ， \vec{b} 〉$ 表示向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 的夹角）在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，有以下四个结论，正确的有（）

A、 $| \vec{A B_{1}} \times \vec{A C} | = | \vec{A D_{1}} \times \vec{D B} |$ B、 $\vec{A B} \times \vec{A D} = \vec{A D} \times \vec{A B}$ C、 $\vec{A_{1} C_{1}} \times \vec{A_{1} D} 与 \vec{B D_{1}}$ 方向相同 D、 $6 | \vec{B C} \times \vec{A C} |$ 与正方体表面积的数值相等

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三、填空题

13. 曲线 $y = \sin 2 x$ 在点P $(π ， 0)$ ）处的切线方程是.

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14. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前n项和是 $S_{n}$ ，若 $a_{1} = 1, a_{n} + a_{n + 1} = n$ ，则 $S_{19} - S_{16}$ 的值为.

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15. 2020年是全国决胜脱贫攻坚之年，“一帮一扶”工作组进驻某山区帮助农民脱贫，发现该山区盛产苹果、梨子、猕猴桃，工作人员文明在线上进行直播带货活动，促销方案如下：若一次购买水果总价不低于200元，则顾客少付款m元，每次订单付款成功后，农民会收到支付款的80%，在促销活动中，为了使得农民收入不低于总价的70%，则m的最大值为.

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16. 已知正实数a，b，c满足 $a + b = a b, \frac{a + b + c}{a b c} = 1,$ 则a+2b的最小值为；实数c的取值范围为.

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四、解答题

17. 已知集合 $A = {x | \frac{4}{x + 1} > 1}$ ，集合 $B = {x | x^{2} + 2 x - a^{2} + 2 a < 0, a \in R}$ .

(1)、求集合 $A$ ；

(2)、若 $x \in B$ 是 $x \in A$ 的必要条件，求实数 $a$ 的取值范围.

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18. 已知 $f (x) = a x^{2} - 1 - \ln x$

(1)、当 $a = 2$ 时，求 $f (x)$ 的单调增区间；

(2)、若 $f (x) \geq 0$ ，求实数a的取值范围.

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19. 在① $a_{n + 1} - a_{n} = - \frac{1}{9}$ ，② $\frac{a_{n + 1}}{a_{n}} = - \frac{1}{3}$ ③ $a_{n + 1} = a_{n} + n - 8$ 这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答.
设 $S_{n}$ 是数列 ${a_{n}}$ 的前n项和，且 $a_{1} = 9$ ， ▲ ，求 ${a_{n}}$ 的通项公式，并判断 $S_{n}$ 是否存在最大值，若存在，求出最大值：若不存在，说明理由.

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分

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20. 在一张纸片上，画有一个半径为2的圆（圆心为M）和一个定点N，且MN=6，若在圆上任取一点A，将纸片折叠使得A与N重合，得到折痕BC，直线BC与直线AM交于点P.

(1)、若以MN所在直线为x轴，MN的垂直平分线作为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，求点P的轨迹方程；

(2)、在（1）的条件下，点 $Q (6 ， 6 \sqrt{6})$ ，能否找到点P使得△PNQ的周长最小，若存在求出该最小值及点P坐标，若不存在，请说出理由.

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21. 在四棱锥P=ABCD中，底面ABCD为直角梯形，BC∥AD.∠BAD=90°

(1)、设平面PBC∩平面PAD=l，求证：l∥平面ABCD；

(2)、若PA⊥平面ABCD，AD=2PA，PA=AB.在线段PB上是否存在点E，使得AE与平面PBD所成角的正弦值为 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ ?

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22. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的长轴长为 $4$ ，椭圆 $C$ 的右焦点到右准线的距离为 $3$ .

(1)、求椭圆 $C$ 的方程

(2)、若 $P$ 在椭圆 $C$ 上且在第一象限， $A$ 、 $B$ 分别为椭圆的右顶点和上顶点，直线 $P A$ 、 $P B$ 分别交 $y$ 轴、 $x$ 轴于点 $M$ 、 $N$ .
①求证： $| A N | \cdot | B M |$ 为定值；

②求 $△ O M N$ 面积的最小值

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