山东省济南市2020-2021学年高二上学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2021-03-04 类型：期末考试

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一、单选题

1. 直线 $x - \sqrt{3} y + 1 = 0$ 的斜率为（）

A、 $\sqrt{3}$ B、 $- \sqrt{3}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ D、 $- \frac{\sqrt{3}}{3}$

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2. 已知向量 $\vec{a} = (2, 3, 1)$ ， $\vec{b} = (1, 2, 0)$ ，则 $| \vec{a} + \vec{b} |$ 等于（）

A、 $\sqrt{3}$ B、 $3$ C、 $\sqrt{35}$ D、 $9$

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3. 如图，在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $M$ 为 $A_{1} C_{1}$ 的中点，若 $\vec{B A} = \vec{a}$ ， $\vec{B C} = \vec{b}$ ， $\vec{B B_{1}} = \vec{c}$ ，则下列向量与 $\vec{B M}$ 相等的是（）

A、 $- \frac{1}{2} \vec{a} - \frac{1}{2} \vec{b} + \vec{c}$ B、 $\frac{1}{2} \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b} - \vec{c}$ C、 $- \frac{1}{2} \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b} + \vec{c}$ D、 $\frac{1}{2} \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b} + \vec{c}$

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4. 《周髀算经》是中国最古老的天文学和数学著作，书中提到:冬至､小寒､大寒､立春､雨水､惊蛰､春分､清明､谷雨､立夏､小满､芒种这十二个节气的日影子长依次成等差数列.若冬至､大寒､雨水的日影子长的和是40.5尺，芒种的日影子长为4.5尺，则冬至的日影子长为（）

A、6.5尺 B、13.5尺 C、14.5尺 D、15.5尺

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5. 在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $M$ 和 $N$ 分别为 $A_{1} B_{1}$ 和 $B B_{1}$ 的中点，那么直线 $A M$ 与 $C N$ 所成角的余弦值是（）

A、 $\frac{2}{5}$ B、 $- \frac{2}{5}$ C、 $\frac{\sqrt{21}}{5}$ D、 $- \frac{\sqrt{21}}{5}$

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6. 历时23天嫦娥五号成功携带月球样品返回地球，标志着中国航天向前迈出一大步．其中2020年11月28日晚，嫦娥五号成功进行首次近月制动，进入一个大椭圆轨道．该椭圆形轨道以月球球心为一个焦点 $F_{1}$ ，若其近月点 $A$ (离月球表面最近的点)与月球表面距离为 $r_{1}$ 公里，远月点 $B$ (离月球表面最远的点)与月球表面距离为 $r_{2}$ 公里，并且 $F_{1}$ ， $A$ ， $B$ 在同一直线上．已知月球的半径为 $R$ 公里，则该椭圆形轨道的离心率为（）

A、 $\frac{r_{1} + r_{2}}{2 R + r_{1} + r_{2}}$ B、 $\frac{r_{2} - r_{1}}{2 R + r_{1} + r_{2}}$ C、 $\frac{r_{1} + r_{2}}{R + r_{1} + r_{2}}$ D、 $\frac{r_{2} - r_{1}}{R + r_{1} + r_{2}}$

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7. 已知动点 $P$ 在直线 $l_{1} : 3 x - 4 y + 1 = 0$ 上运动，动点 $Q$ 在直线 $l_{2} : 6 x + m y + 4 = 0$ 上运动，且 $l_{1} / / l_{2}$ ，则 $| P Q |$ 的最小值为（）

A、 $\frac{3}{5}$ B、 $\frac{3}{10}$ C、 $\frac{1}{5}$ D、 $\frac{1}{10}$

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8. 若等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，首项 $a_{1} > 0$ ， $a_{2020} + a_{2021} > 0$ ， $a_{2020} \cdot a_{2021} < 0$ ，则满足 $S_{n} > 0$ 成立的最大正整数 $n$ 是（）

A、4039 B、4040 C、4041 D、4042

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二、多选题

9. 关于双曲线 $C_{1} : \frac{x^{2}}{3} - \frac{y^{2}}{2} = 1$ 与双曲线 $C_{2} : \frac{y^{2}}{2} - \frac{x^{2}}{3} = 1$ 下列说法正确的是（）

A、它们的实轴长相等 B、它们的渐近线相同 C、它们的离心率相等 D、它们的焦距相等

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10. 已知圆 $C_{1} : x^{2} + y^{2} = 1$ 和圆 $C_{2} : x^{2} + y^{2} - 4 x = 0$ 的公共点为 $A$ ， $B$ ，则（）

A、 $| C_{1} C_{2} | = 2$ B、直线 $A B$ 的方程是 $x = \frac{1}{4}$ C、 $A C_{1} ⊥ A C_{2}$ D、 $| A B | = \frac{\sqrt{15}}{2}$

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11. 若数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = 1$ ， $a_{2} = 1$ ， $a_{n} = a_{n - 1} + a_{n - 2} (n \geq 3, n \in N_{+})$ ，则称数列 ${a_{n}}$ 为斐波那契数列，又称黄金分割数列．在现代物理､准晶体结构､化学等领域，斐波那契数列都有直接的应用．则下列结论成立的是（）

A、 $a_{7} = 13$ B、 $a_{1} + a_{3} + a_{5} + \dots + a_{2019} = a_{2020}$ C、 $S_{7} = 54$ D、 $a_{2} + a_{4} + a_{6} + \dots + a_{2020} = a_{2021}$

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12. 已知正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为 $2$ ，点 $E$ ， $F$ 在平面 $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 内，若 $| A E | = \sqrt{5}$ ， $A C ⊥ D F$ ，则（）

A、点 $E$ 的轨迹是一个圆 B、点 $F$ 的轨迹是一个圆 C、 $| E F |$ 的最小值为 $\sqrt{2} - 1$ D、 $A E$ 与平面 $A_{1} B D$ 所成角的正弦值的最大值为 $\frac{2 \sqrt{15} + \sqrt{30}}{15}$

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三、填空题

13. 若直线 $x - y + 1 = 0$ 与直线 $m x + 3 y - 1 = 0$ 互相垂直，则实数 $m$ 的值为．

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14. 已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}}$ ＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝± $\sqrt{3}$ x，则它的离心率为．

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15. 已知四面体 $A B C D$ 的顶点分别为 $A (2, 3, 1)$ ， $B (1, 0, 2)$ ， $C (4, 3, - 1)$ ， $D (0, 3, - 3)$ ，则点 $D$ 到平面 $A B C$ 的距离.

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16. 在平面直角坐标系中， $O$ 为坐标原点，过点 $(\sqrt{3} ， 0)$ 的直线 $l$ 与圆 $C ： x^{2} + y^{2} - 4 \sqrt{3} x + 8 = 0$ 交于 $A$ ， $B$ 两点，则四边形 $O A C B$ 面积的最大值为．

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四、解答题

17. 在①圆 $C$ 与 $y$ 轴相切，且与 $x$ 轴正半轴相交所得弦长为 $2 \sqrt{3}$ ．
②圆 $C$ 经过点 $A (4, 1)$ 和 $B (2, 3)$ ;

③圆 $C$ 与直线 $x - 2 y - 1 = 0$ 相切，且与圆 $Q : x^{2} + {(y - 2)}^{2} = 1$ 相外切这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，若问题中的圆 $C$ 存在，求出圆 $C$ 的方程;若问题中的圆 $C$ 不存在，说明理由．

问题:是否存在圆 $C$ ， ▲ ，且圆心 $C$ 在直线 $y = \frac{1}{2} x$ 上．

注:如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．

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18. 已知等比数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{2} = 4$ ， $a_{5} = 256$ ．

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式;

(2)、令 $b_{n} = \log_{2} a_{n}$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ ．

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19. 在平面直角坐标系中，已知抛物线 $y^{2} = 2 p x$ 的准线方程为 $x = - \frac{1}{2}$ ．

(1)、求 $p$ 的值;

(2)、直线 $l : y = x + t (t \neq 0)$ 交抛物线于 $A$ ， $B$ 两点， $O$ 为坐标原点，且 $O A ⊥ O B$ ，求线段 $A B$ 的长度．

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20. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = 1$ ， $n a_{n + 1} = 3 (n + 1) a_{n}$ ．

(1)、设 $b_{n} = \frac{a_{n}}{n}$ ，求证:数列 ${b_{n}}$ 是等比数列;

(2)、求数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ ．

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21. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $A B C D$ 为矩形， $A D = P A = P B = 2 \sqrt{2}$ ， $P A ⊥ P B$ ，平面 $P A B ⊥$ 平面 $A B C D$ ．

(1)、证明：平面 $P A D ⊥$ 平面 $P B C$ ；

(2)、若 $M$ 为 $P C$ 中点，求平面 $A M D$ 与平面 $B M D$ 的夹角的余弦值．

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22. 已知椭圆 $E : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左右顶点分别为 $A$ ， $B$ ，离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，且过点 $D (\sqrt{2}, \frac{\sqrt{2}}{2})$ ．

(1)、求椭圆 $E$ 的标准方程;

(2)、过点 $P (4, 0)$ 作与 $x$ 轴不重合的直线 $l$ 与椭圆 $E$ 相交于 $M$ ， $N$ 两点( $N$ 在 $P$ ， $M$ 之间)．证明:直线 $M B$ 与直线 $N A$ 的交点的横坐标是定值．

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