山东省泰安市2020-2021学年高三上学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2021-03-04 类型：期末考试

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一、单选题

1. 设集合 $A = {x | x^{2} - x - 2 > 0}$ ， $B = {x | 0 < x < 3}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $(0, 2)$ B、 $(1, 2)$ C、 $(0, 3)$ D、 $(2, 3)$

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2. 在复平面内，复数 $z = \frac{i}{1 + 2 i}$ 的共轭复数对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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3. “ $\cos α = \frac{3}{5}$ ”是“ $\sin (2 α + \frac{π}{2}) = - \frac{7}{25}$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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4. 抛物线 $y^{2} = 4 x$ 上一点 $M$ 与焦点间的距离是10，则点 $M$ 到 $y$ 轴的距离是（）

A、10 B、9 C、8 D、5

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5. 设 $a = {(\frac{1}{3})}^{- 0.2} ， b = \log_{2} \frac{1}{3} ， c = \lg \frac{3}{2}$ .则a.b.c的大小关系是（）．

A、a＞c＞b B、b＞c＞a C、c＞a＞b D、c＞b＞a

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6. 在公差不为0的等差数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1}$ ， $a_{2}$ ， $a_{k_{1}}$ ， $a_{k_{2}}$ ， $a_{k_{3}}$ 成公比为4的等比数列，则 $k_{3} =$ （）

A、84 B、86 C、88 D、96

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7. 电影《流浪地球》中反复出现这样的人工语音：“道路千万条，安全第一条，行车不规范，亲人两行泪”，成为网络热句．讲的是“开车不喝酒，喝酒不开车”.2019年，公安部交通管理局下发《关于治理酒驾醉驾违法犯罪行为的指导意见》，对综合治理酒驾醉驾违法犯罪行为提出了新规定，根据国家质量监督检验检疫总局下发的标准，车辆驾驶人员饮酒后或者醉酒后驾车血液中的酒精含量阈值见表．经过反复试验，一般情况下，某人喝一瓶啤酒后酒精在人体血液中的变化规律的散点图如图所示，且该图表示的函数模型 $f (x) = {\begin{array}{l} 40 \sin (\frac{π}{3} x) + 13 ， 0 \leq x < 2 \\ 90 e^{- 0.5 x} + 14 ， x \geq 2 \end{array}$ ．假设该人喝一瓶啤酒后至少经过 $n (n \in N^{+})$ 小时才可以驾车，则 $n$ 的值为（）（参考数据： $\ln 15 \approx 2.71$ ， $\ln 30 \approx 3.40$ ）

车辆驾驶人员血液酒精含量阈值

驾驶行为类别

阈值 $(mg / 100 ml)$

饮酒驾车

$[20 ， 80)$

醉酒驾车

$[80 ， + \infty)$

A、7 B、6 C、5 D、4

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8. 已知F₁、F₂分别为双曲线C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （a＞0，b＞0）的左、右焦点，点A在双曲线上，且∠F₁AF₂＝60°，若∠F₁AF₂的角平分线经过线段OF₂（O为坐标原点）的中点，则双曲线的离心率为（）

A、 $\sqrt{7}$ B、 $\frac{\sqrt{7}}{2}$ C、 $\sqrt{14}$ D、 $\frac{\sqrt{14}}{2}$

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二、多选题

9. 已知 $a$ 、 $b$ 、 $c \in R$ ．若 $a > b > 0$ ，则（）

A、 $a c^{2} \geq b c^{2}$ B、 $a^{2} < a b < b^{2}$ C、 $\frac{2 a b}{a + b} < \sqrt{a b}$ D、 $\frac{1}{a} > \frac{1}{b}$

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10. 如图，在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $E$ 是棱 $C D$ 上的动点．则下列结论正确的是（）

A、 $D_{1} E //$ 平面 $A_{1} B_{1} B A$ B、 $E B_{1} ⊥ A D_{1}$ C、直线 $A E$ 与 $B_{1} D_{1}$ 所成角的范围为 $(\frac{π}{4} ， \frac{π}{2})$ D、二面角 $E - A_{1} B_{1} - A$ 的大小为 $\frac{π}{4}$

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11. 已知函数 $f (x) = 2 \sin (ω x + φ) (ω \in N_{+} ， | φ | < \frac{π}{2})$ 的图象经过点 $A (0 ， \sqrt{3})$ ，且 $f (x)$ 在 $[0 ， 2 π]$ 上有且仅有4个零点，则下列结论正确的是（）

A、 $ω = 2$ B、 $φ = \frac{π}{6}$ C、 $f (x)$ 在 $(- \frac{π}{3} ， 0)$ 上单调递增 D、 $f (x)$ 在 $(0 ， 2 π)$ 上有3个极小值点

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12. 德国数学家高斯在证明“二次互反律”的过程中，首次定义了取整函数 $[x]$ ，表示“不超过 $x$ 的最大整数”，后来我们又把函数 $[x]$ 称为“高斯函数”，关于 $[x]$ 下列说法正确的是（）

A、对任意 $x$ 、 $y \in R$ ，都有 $[x + y] \geq [x] + [y]$ B、函数 $y = [x + \frac{2}{x}]$ 的值域为 ${y \in Z | y \leq - 2$ 或 $y \geq 2}$ C、函数 $y = x - [x]$ 在区间 $[k, k + 1) (k \in Z)$ 上单调递增 D、 $\sum_{k = 1}^{2020} [\lg k] = 4953 (k \in Z)$

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三、填空题

13. 计算 $\frac{1 - \cos^{2} 70^{\circ}}{1 + \cos 40^{\circ}} =$ ．

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14. 已知向量 $\vec{a} = (1, 3)$ ， $\vec{b} = (- 2, 1)$ ， $\vec{c} = (3, 2)$ ．若向量 $\vec{a}$ 与向量 $k \vec{b} + \vec{c}$ 共线，则实数 $k =$ ．

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15. 已知函数 $f (x)$ 的定义域为 $R$ ，且 $f (- 1) = 2$ ．若对任意 $x \in R$ ， $f^{'} (x) > 2$ ，则 $f (x) > 2 x + 4$ 的解集为．

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16. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知 $A$ ， $B$ 为圆 $C$ ： ${(x - m)}^{2} + {(y - 2)}^{2} = 4$ 上两个动点，且 $A B = 2 \sqrt{3}$ .若直线 $l : y = - 2 x$ 上存在点 $P$ ，使得 $\vec{O C} = \vec{P A} + \vec{P B}$ ，则实数 $m$ 的取值范围为.

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四、解答题

17. 在① $6 \sin B = 5 \sin A$ ，② $a b = 4$ ，③ $a^{2} - a - 2 = 0$ 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求 $b$ 的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．
问题：是否存在 $△ A B C$ ，它的内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，且 $c = 3$ ， $9 \cos B = 3 a + b$ ， ▲ ？

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答记分．

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18. 已知公比大于1的等比数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $S_{3} = 14$ ， $a_{3} = 8$ ．

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、在 $a_{n}$ 与 $a_{n + 1}$ 之间插入 $n$ 个数，使这 $n + 2$ 个数组成一个公差为 $d_{n}$ 的等差数列，求数列 ${\frac{1}{d_{n}}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ ．

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19. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 是菱形， $∠ B A D = 60 °$ ， $P B = P D$ ， $F$ 为 $P C$ 上一点，过 $A F$ 作与 $B D$ 平行的平面 $A E F G$ ，分别交 $P D$ ， $P B$ 于点 $E$ ， $G$ ．

(1)、证明： $E G ⊥$ 平面 $P A C$ ；

(2)、若 $F$ 为 $P C$ 的中点， $P A = P C = 2 \sqrt{3}$ ，直线 $P A$ 与平面 $A B C D$ 所成角为60°．求平面 $P A D$ 与平面 $A E F G$ 所成锐二面角的余弦值．

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20. 为了更直观地让学生认识棱锥的几何特征，某教师计划制作一个正四棱锥教学模型．现有一个无盖的长方体硬纸盒，其底面是边长为 $20 cm$ 的正方形，高为 $10 cm$ ，将其侧棱剪开，得到展开图，如图所示．

$P_{1}$ ， $P_{2}$ ， $P_{3}$ ， $P_{4}$ 分别是所在边的中点，剪去阴影部分，再沿虚线折起，使得 $P_{1}$ ， $P_{2}$ ， $P_{3}$ ， $P_{4}$ 四个点重合于点 $P$ ，正好形成一个正四棱锥 $P - A B C D$ ，如图所示，设 $A B = x$ （单位： $cm$ ）．

(1)、若 $x = 10$ ，求正四棱锥 $P - A B C D$ 的表面积；

(2)、当 $x$ 取何值时，正四棱锥 $P - A B C D$ 的体积最大．

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21. 已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左顶点为 $A (- 2, 0)$ ，点 $(- 1, \frac{3}{2})$ 在椭圆 $C$ 上．

(1)、求椭圆 $C$ 的方程；

(2)、过橢圆 $C$ 的右焦点 $F$ 作斜率为 $k (k \neq 0)$ 的直线 $l$ ，交椭圆 $C$ 于 $M$ ， $N$ 两点，直线 $A M$ ， $A N$ 分别与直线 $x = \frac{b^{2}}{c}$ 交于点 $P$ ， $Q$ ，则 $\vec{F P} \cdot \vec{F Q}$ 是否为定值？请说明理由．

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22. 已知函数 $f (x) = x e^{2 x} - k x - \ln x$ ．

(1)、证明：当 $k = 2$ 时， $f (x)$ 无零点；

(2)、若 $f (x) \geq 1$ 恒成立，求实数 $k$ 的取值范围．

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驾驶行为类别	阈值 $(mg / 100 ml)$
饮酒驾车	$[20 ， 80)$
醉酒驾车	$[80 ， + \infty)$