山东省青岛市2020-2021学年高三上学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2021-03-04 类型：期末考试

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一、单选题

1. 若全集 $U = R$ ，集合 $A = {x \in R | x^{2} + x - 6 \geq 0}$ ，集合 $B = {x \in R | l g (x - 1) < 0}$ ，则 $(∁_{R} A) \cap B =$ （）

A、 $(- 1, 2)$ B、 $(1, 2)$ C、 $(- 3, 2)$ D、 $(- 3, 1)$

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2. $\frac{1 + \sin 70^{°}}{2 - 2 \sin^{2} 10^{°}} =$ （）

A、2 B、-1 C、1 D、 $\frac{1}{2}$

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3. “ $\forall x > 0, a \leq x + \frac{4}{x + 2}$ ”的充要条件是（）

A、 $a > 2$ B、 $a \geq 2$ C、 $a < 2$ D、 $a \leq 2$

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4. 《莱茵德纸草书》（ $Rhind Papyrus$ ）是世界上最古老的数学著作之一.书中有这样一道题目：把93个面包分给5个人，使每个人所得面包个数成等比数列，且使较小的两份之和等于中间一份的四分之三，则最小的一份为（）

A、3 B、4 C、8 D、9

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5. 已知双曲线 $Γ : \frac{x^{2}}{\cos^{2} θ} - \frac{y^{2}}{\sin^{2} θ} = 1 (0 < θ < \frac{π}{2})$ 的焦点到渐近线的距离等于 $\frac{1}{2}$ ，则 $θ =$ （）

A、 $\frac{π}{3}$ B、 $\frac{π}{4}$ C、 $\frac{π}{6}$ D、 $\frac{π}{12}$

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6. 已知函数 $f (x)$ 的部分图象如下所示，则 $f (x)$ 可能为（）

A、 $f (x) = \frac{\cos x + 1}{2^{x} + 2^{- x}}$ B、 $f (x) = \frac{x \cos x + \sin x}{2^{x} + 2^{- x}}$ C、 $f (x) = \frac{\cos x + x \sin x}{2^{x} - 2^{- x}}$ D、 $f (x) = \frac{\cos x + x \sin x}{2^{x} + 2^{- x}}$

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7. 设 $α$ ， $β$ 是两个不同的平面， $l$ 是一条直线，以下结论正确的是（）

A、若 $l ⊥ α$ ， $α / / β$ ，则 $l ⊥ β$ B、若 $l / / α$ ， $l / / β$ ，则 $α / / β$ C、若 $l ⊥ α$ ， $α ⊥ β$ ，则 $l \subset β$ D、若 $l / / α$ ， $α ⊥ β$ ，则 $l ⊥ β$

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8. 某种芯片的良品率 $X$ 服从正态分布 $N (0.95, {0.01}^{2})$ ，公司对科技改造团队的奖励方案如下：若芯片的良品率不超过 $95 %$ ，不予奖励；若芯片的良品率超过 $95 %$ 但不超过 $96 %$ ，每张芯片奖励 $100$ 元；若芯片的良品率超过 $96 %$ ，每张芯片奖励 $200$ 元.则每张芯片获得奖励的数学期望为（）元附：随机变量 $ξ$ 服从正态分布 $N (μ, σ^{2})$ ，则 $P (μ - σ < ξ < μ + σ) = 0.6826$ ， $P (μ - 2 σ < ξ < μ + 2 σ) = 0.9544$ ， $P (μ - 3 σ < ξ < μ + 3 σ) = 0.9974$ .

A、52.28 B、65.87 C、50.13 D、131.74

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二、多选题

9. 已知向量 $\vec{a} \cdot \vec{b} = 1$ ， $| \vec{a} | = 1$ ， $| \vec{a} - \vec{b} | = \sqrt{3}$ ，设 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 所成的角为 $θ$ ，则（）

A、 $| \vec{b} | = 2$ B、 $\vec{a} ⊥ (\vec{b} - \vec{a})$ C、 $\vec{a} / / \vec{b}$ D、 $θ = 60^{°}$

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10. 定义在 $R$ 上的函数 $f (x)$ 满足： $x$ 为整数时， $f (x) = 2021$ ； $x$ 不为整数时， $f (x) = 0$ ，则（）

A、 $f (x)$ 是奇函数 B、 $f (x)$ 是偶函数 C、 $\forall x \in R, f (f (x)) = 2021$ D、 $f (x)$ 的最小正周期为 $1$

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11. 已知函数 $f (x) = \sin (ω x + φ)$ （其中 $ω > 0 ， 0 < φ < π$ ）图象的两条相邻的对称轴之间的距离为 $\frac{π}{2}$ ， $f (\frac{π}{6}) = 1$ ，下列结论正确的是（）

A、 $f (x) = \sin (2 x + \frac{π}{6})$ B、将函数 $y = f (x)$ 的图象向右平移 $\frac{π}{6}$ 个单位后得到函数 $y = sin 2 x$ 的图象 C、当 $x \in (0 ， \frac{π}{2})$ 时， $f (x)$ 有且只有一个零点 D、 $f (x)$ 在 $[0 ， \frac{π}{6}]$ 上单调递增

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12. 在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $Δ A B C$ 是边长为 $2 \sqrt{3}$ 的等边三角形，侧棱长为 $4 \sqrt{3}$ ，则（）

A、直线 $A_{1} C$ 与直线 $B B_{1}$ 之间距离的最大值为 $3$ B、若 $A_{1}$ 在底面 $A B C$ 上的投影恰为 $Δ A B C$ 的中心，则直线 $A A_{1}$ 与底面所成角为 $60 °$ C、若三棱柱的侧棱垂直于底面，则异面直线 $A B$ 与 $A_{1} C$ 所成的角为 $30 °$ D、若三棱柱的侧棱垂直于底面，则其外接球表面积为 $64 π$

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三、填空题

13. 已知 $i$ 是虚数单位，复数 $z = \frac{1}{i - 1} + i$ ，则 $| z | =$ ．

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14. 若二项式 ${(1 + 2 x)}^{n} (n \in N*)$ 的展开式中所有项的系数和为 $243$ ，则该二项式展开式中含有 $x^{3}$ 项的系数为．

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15. 设函数 $f (x) = e^{x} (x + 1)$ 的图象在点 $(0 ， 1)$ 处的切线为 $y = a x + b$ ，若方程 $| a^{x} - b | = m$ 有两个不等实根，则实数 $m$ 的取值范围是．

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16. 如图所示，在平面直角坐标系中， $Q (0 ， - \frac{2 \sqrt{5}}{5})$ ， $L (- 3 ， 0)$ ，圆 $Q$ 过坐标原点 $O$ ，圆 $L$ 与圆 $Q$ 外切.则（1）圆 $L$ 的半径等于；（2）已知过点 $L$ 和抛物线 $x^{2} = 2 p y (p > 0)$ 焦点的直线与抛物线交于 $A$ ， $B$ ，且 $\vec{O A} \cdot \vec{O B} = - 3$ ，则 $p =$ ．

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四、解答题

17. 在① $4 S_{n} = a_{n}^{2} + 2 a_{n}$ ，② $a_{1} = 2$ ， $n a_{n + 1} = 2 S_{n}$ 这两个条件中任选一个，补充到下面横线处，并解答.
已知正项数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，．

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、若数列 ${b_{n}}$ 满足 $\log_{\frac{1}{3}} b_{n} = \frac{1}{2} a_{n} - 1$ ，且 $c_{n} = a_{n} b_{n}$ ，求数列 ${c_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $M_{n}$ .
注：如果选择多个条件分别进行解答，按第一个解答进行计分.

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18. 在如图所示的平面图形中， $A B = 2$ ， $B C = \sqrt{3}$ ， $∠ A B C = ∠ A E C = \frac{π}{6}$ ， $A E$ 与 $B C$ 交于点 $F$ ，若 $∠ C A E = θ$ ， $θ \in (0 ， \frac{π}{3})$ .

(1)、用 $θ$ 表示 $A E$ ， $A F$ ；

(2)、求 $\frac{A E}{A F}$ 取最大值时 $θ$ 的值.

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19. 如图，在直角梯形 $A B E D$ 中， $B E / / A D$ ， $D E ⊥ A D$ ， $B C ⊥ A D$ ， $A B = 4$ ， $B E = 2 \sqrt{3}$ .将矩形 $B E D C$ 沿 $B C$ 翻折，使得平面 $A B C ⊥$ 平面 $B C D E$ .

(1)、若 $B C = B E$ ，证明：平面 $A B D ⊥$ 平面 $A C E$ ；

(2)、当三棱锥 $A - B C E$ 的体积最大时，求平面 $A D E$ 与平面 $A B C$ 所成的锐二面角的余弦值.

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20. 魔方，又叫鲁比克方块，最早是由匈牙利布达佩斯建筑学院厄尔诺·鲁比克教授于1974 年发明的.魔方与华容道、独立钻石棋一起被国外智力专家并称为智力游戏界的三大不可思议，而魔方受欢迎的程度更是智力游戏界的奇迹.通常意义下的魔方，即指三阶魔方，为

3 \times 3 \times 3

的正方体结构，由26个色块组成.常规竞速玩法是将魔方打乱，然后在最短的时间内复原.截至2020年，三阶魔方还原官方世界纪录是由中国的杜宇生在2018年11月24日于芜湖赛打破的纪录，单次3.475秒.

(1)、某魔方爱好者进行一段时间的魔方还原训练，每天魔方还原的平均速度

y

(秒) 与训练天数

x

(天)有关，经统计得到如下数据：

$x$ （天）	1	2	3	4	5	6	7
$y$ （秒）	99	99	45	32	30	24	21

现用 $y = a + \frac{b}{x}$ 作为回归方程类型，请利用表中数据，求出该回归方程，并预测该魔方爱好者经过长期训练后最终每天魔方还原的平均速度y约为多少秒(精确到1) ?

参考数据（其中 $z_{i} = \frac{1}{x_{i}}$ ）

$\sum_{i = 1}^{7} z_{i} y_{i}$	$\bar{z}$	$\sum_{i = 1}^{7} z_{i}^{2} - 7 \times {\bar{z}}^{2}$
184.5	0.37	0.55

参考公式：

对于一组数据 $(u_{1}, v_{1})$ ， $(u_{2}, v_{2})$ ，…， $(u_{n}, v_{n})$ ，其回归直线 $\hat{v} = \hat{a} + \hat{β} u$ 的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为： $\hat{β} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} u_{i} v_{i} - n \bar{u} \bar{v}}{\sum_{i = 1}^{n} u_{i}^{2} - n {\bar{u}}^{2}}, \hat{a} = \bar{v} - \hat{β} \bar{u}$ .

(2)、现有一个复原好的三阶魔方，白面朝上，只可以扭动最外侧的六个表面.某人按规定将魔方随机扭动两次，每次均顺时针转动

90 °

，记顶面白色色块的个数为

X

，求

X

的分布列及数学期望

E (X)

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21. 已知函数 $f (x) = \frac{b x^{2}}{2} - a x (\ln x - 1) - \frac{e^{2}}{2}$ 的图象在 $x = 1$ 处的切线斜率等于1，其中 $e = 2.718$ …为自然对数的底数， $a ， b \in R$ .

(1)、若 $a = 0$ ，当 $x > e$ 时，证明： $f (x) < \frac{e^{x} - e^{2}}{2}$ ；

(2)、若 $a > e$ ，证明： $f (x)$ 有两个极值点 $x_{1} ， x_{2} (x_{1} < x_{2})$ ，在 $(x_{1} ， x_{2})$ 上恰有一个零点，且 $x_{1} x_{2} > x_{0}^{2}$ .

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22. 已知 $O$ 为坐标原点，椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率 $e = \frac{\sqrt{2}}{2}$ ，点 $P$ 在椭圆 $C$ 上，椭圆 $C$ 的左右焦点分别为 $F_{1} ， F_{2}$ ， $P F_{1}$ 的中点为 $Q$ ， $△ O F_{1} Q$ 周长等于 $\sqrt{3} + \frac{\sqrt{6}}{2}$ .

(1)、求椭圆 $C$ 的标准方程；

(2)、 $W$ 为双曲线 $D ： y^{2} - \frac{x^{2}}{4} = 1$ 上的一个点，由 $W$ 向抛物线 $E ： x^{2} = 4 y$ 做切线 $l_{1} ， l_{2}$ ，切点分别为 $A ， B$ .
（ $i$ ）证明：直线 $A B$ 与圆 $x^{2} + y^{2} = 1$ 相切；

（ $ii$ ）若直线 $A B$ 与椭圆 $C$ 相交于 $M ， N$ 两点，求 $△ O M N$ 外接圆面积的最大值.

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