山东省滨州市2020-2021学年高二上学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2021-03-04 类型：期末考试

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一、单选题

1. 倾斜角为45°，在 $y$ 轴上的截距是-2的直线方程为（）．

A、 $x - y + 2 = 0$ B、 $x - y - 2 = 0$ C、 $x - \sqrt{2} y - 2 = 0$ D、 $x + \sqrt{2} y + 2 = 0$

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2. 已知圆 $C_{1} : {(x - 3)}^{2} + {(y + 2)}^{2} = 1$ ， $C_{2} : {(x - 7)}^{2} + {(y - 1)}^{2} = 36$ ，则圆 $C_{1}$ 与圆 $C_{2}$ 位置关系是（）．

A、内切 B、外切 C、相交 D、相离

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3. 已知直线 $(2 λ + 1) x - λ y - 2 (λ + 1) = 0 (λ \in R)$ 恒过定点 $M$ ，则点 $M$ 的坐标为（）．

A、 $(- 2, 2)$ B、 $(- 2, - 2)$ C、 $(2, - 2)$ D、 $(2, 2)$

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4. 如图，在平行六面体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $\vec{A A_{1}} = \vec{a}$ ， $\vec{A B} = \vec{b}$ ， $\vec{A D} = \vec{c}$ 点 $P$ 在 $A_{1} C$ 上，且 $A_{1} P ： P C = 2 ： 3$ ，则 $\vec{A P} =$ （）．

A、 $\frac{2}{5} \vec{a} + \frac{3}{5} \vec{b} + \frac{3}{5} \vec{c}$ B、 $\frac{3}{5} \vec{a} + \frac{2}{5} \vec{b} + \frac{2}{5} \vec{c}$ C、 $- \frac{2}{5} \vec{a} + \frac{2}{5} \vec{b} + \frac{3}{5} \vec{c}$ D、 $\frac{3}{5} \vec{a} - \frac{2}{5} \vec{b} - \frac{2}{5} \vec{c}$

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5. 若1， $m$ ，9三个数成等比数列，则圆锥曲线 $x^{2} + \frac{y^{2}}{m} = 1$ 的离心率是（）．

A、 $\frac{2 \sqrt{2}}{3}$ 或 $\sqrt{10}$ B、 $\frac{2 \sqrt{2}}{3}$ 或2 C、 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ 或2 D、 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ 或10

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6. 若定义在 $R$ 上的函数 $y = f (x)$ 的图象如图所示， $f^{'} (x)$ 为函数 $f (x)$ 的导函数，则不等式 $(x + 2) f^{'} (x) > 0$ 的解集为（）．

A、 $(- \infty ， - 3) \cup (- 2 ， - 1) \cup (1 ， + \infty)$ B、 $(- 3 ， - 1) \cup (1 ， + \infty)$ C、 $(- 3 ， - 1) \cup (0 ， 1)$ D、 $(- 3 ， - 2) \cup (- 1 ， 1)$

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7. 已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左､右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 过点 $F_{1}$ 的直线与圆 $x^{2} + y^{2} = a^{2}$ 相切于点 $Q$ ，交双曲线的右支于点 $P$ ，且点 $Q$ 是线段 $P F_{1}$ 的中点，则双曲线 $C$ 的渐近线方程为（）．

A、 $y = \pm \frac{\sqrt{3}}{3} x$ B、 $y = \pm \frac{1}{2} x$ C、 $y = \pm \sqrt{3} x$ D、 $y = \pm 2 x$

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8. 人教A版选择性必修二教材的封面图案是斐波那契螺旋线，它被誉为自然界最完美的“黄金螺旋”，自然界存在很多斐波那契螺旋线的图案，例如向日葵､鹦鹉螺等．斐波那契螺旋线的画法是：以斐波那契数1，1，2，3，5，8，…为边长的正方形拼成长方形，然后在每个正方形中画一个圆心角为90°的圆弧，这些圆弧所连起来的弧线就是斐波那契螺旋线．下图为该螺旋线在正方形边长为1，1，2，3，5，8的部分，如图建立平面直角坐标系（规定小方格的边长为1），则接下来的一段圆弧所在圆的方程为（）．

A、 $x^{2} + y^{2} = 144$ B、 ${(x - 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} = 144$ C、 ${(x + 4)}^{2} + {(y - 2)}^{2} = 169$ D、 ${(x - 4)}^{2} + {(y + 2)}^{2} = 169$

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二、多选题

9. 在等差数列 ${a_{n}}$ 中，已知 $a_{3} = 10$ ， $a_{11} = - 6$ ， $S_{n}$ 是其前 $n$ 项和，则（）．

A、 $a_{7} = 2$ B、 $S_{10} = 54$ C、 $d = - 2$ D、 $\frac{S_{7}}{7} > \frac{S_{8}}{8}$

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10. 若方程 $\frac{x^{2}}{3 - t} - \frac{y^{2}}{1 - t} = 1$ 所表示的曲线为 $C$ ，则下列命题正确的是（）

A、若 $C$ 为椭圆，则 $1 < t < 3$ B、若 $C$ 为双曲线，则 $t > 3$ 或 $t < 1$ C、曲线 $C$ 可能是圆 D、若 $C$ 为焦点在 $y$ 轴上的椭圆，则 $1 < t < 2$

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11. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = \frac{1}{2}$ ， $a_{n} a_{n - 1} - a_{n - 1} + 1 = 0 (n \geq 2 ， n \in N^{*})$ ， $S_{n}$ 是其前 $n$ 项和，则（）．

A、 $a_{6} = 2$ B、 $S_{12} = 6$ C、 $a_{11}^{2} = a_{10} \cdot a_{12}$ D、 $2 S_{11} = S_{10} + S_{12}$

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12. 如图，在棱长为2的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $M$ ， $N$ ， $P$ 分别为 $B C$ ， $C C_{1}$ ， $B B_{1}$ 的中点，则（）．

A、直线 $D D_{1}$ 与直线 $A N$ 垂直 B、直线 $A_{1} P$ 与平面 $A M N$ 平行 C、直线 $A_{1} B$ 和 $M N$ 夹角的余弦值为 $\frac{1}{2}$ D、点 $C$ 到平面 $A M N$ 的距离为 $\frac{2}{3}$

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三、填空题

13. 设曲线 $y = x \ln (2 x)$ 在点 $(\frac{1}{2} ， 0)$ 处的切线与直线 $x + a y - 2 = 0$ 垂直，则 $a =$ ．

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14. 在流行病学中，基本传染数 $R_{0}$ 是指在没有外力介入，同时所有人都没有免疫力的情况下，一个感染者平均传染的人数． $R_{0}$ 一般由疾病的感染周期､感染者与其他人的接触频率､每次接触过程中传染的概率决定．假设某种传染病的基本传染数 $R_{0} = 3$ （注：对于 $R_{0} > 1$ 的传染病，要隔离感染者，以控制传染源，切断传播途径），那么由1个初始感染者经过六轮传染被感染（不含初始感染者）的总人数为（注：初始感染者传染 $R_{0}$ 个人为第一轮传染，这 $R_{0}$ 个人每人再传染 $R_{0}$ 个人为第二轮传染……）

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15. 若函数 $y = f (x)$ 满足 $f (x) = \sin x + f^{'} (\frac{π}{6}) \cos x$ ，则 $f^{'} (\frac{π}{6}) =$ ．

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16. 如图，过抛物线 $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点 $F$ 的直线 $l$ 交抛物线于点 $A$ ， $B$ ，交其准线于点 $C$ ，若 $| B C | = 2 | B F |$ ，且 $| A F | = 3$ ，则此抛物线的方程为．

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四、解答题

17. 已知函数 $f (x) = \frac{1}{3} x^{3} + x^{2} - 3 x - 1.$

(1)、求函数 $f (x)$ 的极值；

(2)、求函数 $f (x)$ 在区间 $[- 5 ， 4]$ 上的最大值与最小值．

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18. 已知圆 $C : x^{2} + y^{2} - 2 x + a y + 1 = 0 (a \in R)$ ，圆心 $C$ 在直线 $3 x - y = 0$ 上．

(1)、求圆 $C$ 的标准方程；

(2)、求直线 $l : x - y = 0$ 被圆 $C$ 截得的弦 $A B$ 的长．

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19. 设数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，______．
从①数列 ${a_{n}}$ 是公比为2的等比数列， $a_{2}$ ， $a_{3}$ ， $a_{4} - 4$ 成等差数列；② $S_{n} = 2 a_{n} - 2$ ；③ $S_{n} = 2^{n + 1} - 2$ ．这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并作答．

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、若 $b_{n} = \frac{1 + \log_{2} a_{n}}{a_{n}}$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ ．

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20. 如图所示，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 是矩形， $P A ⊥$ 底面 $A B C D$ ， $P A = A B = 2$ ， $A D = 1$ ， $E$ 是 $P B$ 的中点，作 $E F ⊥ P C$ 交 $P C$ 于点 $F$ ，且 $\vec{P F} = \frac{4}{9} \vec{P C}$ ．

(1)、求证： $P C ⊥$ 平面 $A E F$ ；

(2)、求平面 $D E F$ 与平面 $A B C D$ 的夹角的余弦值．

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21. 如图，从椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 上一点 $P$ 向 $x$ 轴作垂线，垂足恰为右焦点 $F_{2}$ ．又点 $A$ 是椭圆与轴负半轴的交点，点 $B$ 是椭圆与 $y$ 轴正半轴的交点，且 $A B // O P$ ， $| A F_{2} | = 2 + \sqrt{2}$ ．

(1)、求椭圆 $C$ 的方程；

(2)、过椭圆 $C$ 的右焦点 $F_{2}$ ，倾斜角为60°的直线 $l$ 交椭圆 $C$ 于 $M$ ， $N$ 两点，求 $| M N |$ ．

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22. 已知函数 $f (x) = \frac{a x}{e^{x}}$ ．

(1)、当 $a = 1$ 时，判断函数 $f (x)$ 的单调性；

(2)、若 $a > 0$ ，函数 $g (x) = f (x) + \frac{1}{2} x^{2} - x$ 只有1个零点，求实数 $a$ 的取值范围．

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