江苏省南通市海安市2020-2021学年高二上学期数学学业质量监测试卷

试卷更新日期：2021-03-04 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | x^{2} < 3}$ ， $B = {- 1, 0, 1, 2}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 ${0, 1}$ B、 ${- 1, 1}$ C、 ${- 1, 0, 1}$ D、 ${- 1, 0, 1, 2}$

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2. 命题“ $\exists x > 1$ ， $x^{2} \geq 1$ ”的否定是（）

A、 $\exists x \leq 1$ ， $x^{2} \geq 1$ B、 $\exists x \leq 1$ ， $x^{2} < 1$ C、 $\forall x \leq 1$ ， $x^{2} \geq 1$ D、 $\forall x > 1$ ， $x^{2} < 1$

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3. 已知 $a = 2021^{\frac{1}{10}}$ ， $b = {(\frac{1}{10})}^{2021}$ ， $c = \log_{\frac{1}{10}} 2021$ ，则（）

A、 $c < b < a$ B、 $b < c < a$ C、 $c < a < b$ D、 $a < b < c$

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4. “ $0 < a < 4$ ”是“方程 $\frac{x^{2}}{a} + \frac{y^{2}}{4 - a} = 1$ 表示为椭圆”的（）

A、充分必要条件 B、充分不必要条件 C、必要不充分条件 D、既不充分也不必要条件

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5. 已知定义在R上的函数 $f (x)$ 满足： $f (- x) = - f (x)$ ， $f (x) = f (2 - x)$ ，当 $x \in (0, 1]$ 时， $f (x) = e^{x}$ ，其中e是自然对数的底数，则 $f (5 + \ln 2) =$ （）

A、 $- 2 e$ B、 $- \frac{e}{2}$ C、 $2 e$ D、 $\frac{e}{2}$

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6. 2020年4月21日，习近平总书记在学校考察调研时提出“文明其精神，野蛮其体魄”，“野蛮其体魄”就是强生健体，青少年的体质状况不仅关乎个人成长和家庭幸福，也关乎国家未来和民族希望，为落实《国家学生体质健康标准》达标测试工作，全面提升学生的体质健康水平，某校在高二年级随机抽取部分男生，测试立定跳远项目，依据测试数据绘制了如图所示的频率分布直方图.已知立定跳远 $200 cm$ 以上成绩为及格， $255 cm$ 以上成绩为优秀，根据图中的样本数据估计该校高二年级男生立定跳远项目的及格率和优秀率分别是（）

A、72.5%，5% B、78.75%，10% C、72.5%，10% D、78.75%，5%

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7. 在流行病学中，基本传染数 $R_{0}$ 是指在没有外力介入，同时所有人都没有免疫力的情况下，一个感染者平均传染的人数. $R_{0}$ 一般由疾病的感染周期、感染者与其他人的接触频率、每次接触过程中传染的概率决定，假定某种传染病的基本传染数 $R_{0} = 3$ ，那么感染人数由1个初始感染者增加到2000人大约需要的传染轮数为（）
注：初始感染者传染 $R_{0}$ 个人为第一轮传染，这 $R_{0}$ 个人再传染 $R_{0}$ 个人为第二轮感染.

A、5 B、6 C、7 D、8

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8. 已知函数 $f (x)$ 的图象是下列四个图象之一，且其导函数 $y = f^{'} (x)$ 的图象如下图所示，则 $f (x)$ 的图象是（）

A、 B、 C、 D、

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二、多选题

9. 双曲线 $\frac{x^{2}}{16} - \frac{y^{2}}{9} = 1$ 与双曲线 $\frac{y^{2}}{9} - \frac{x^{2}}{16} = 1$ （）

A、焦距相等 B、实轴长相等 C、离心率相等 D、渐近线相同

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10. 设 ${\vec{a} ， \vec{b} ， \vec{c}}$ 构成空间的一个基底，则下列说法正确的是（）

A、存在不全为零的实数 $x$ ， $y$ ， $z$ ，使得 $x \vec{a} + y \vec{b} + z \vec{c} = \vec{0}$ B、对空间任一向量 $\vec{p}$ ，总存在唯一的有序实数组 $(x ， y ， z)$ ，使得 $\vec{p} = x \vec{a} + y \vec{b} + z \vec{c}$ C、在 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ， $\vec{c}$ 中，能与 $\vec{a} + \vec{b}$ ， $\vec{a} - \vec{b}$ 构成空间另一个基底的只有 $\vec{c}$ D、存在另一个基底 ${{\vec{a}}^{'} ， {\vec{b}}^{'} ， {\vec{c}}^{'}}$ ，使得 $\vec{a} + 2 \vec{b} + 3 \vec{c} = {\vec{a}}^{'} + 2 {\vec{b}}^{'} + 3 {\vec{c}}^{'}$

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11. 在等差数列 ${a_{n}}$ 中每相邻两项之间都插入 $k (k \in N^{*})$ 个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列 ${b_{n}}$ .若 $b_{9}$ 是数列 ${a_{n}}$ 的项，则k的值可能为（）

A、1 B、3 C、5 D、7

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12. 在湖边，我们常看到成排的石柱子之间两两连以铁链，这就是悬链线（Catenary），其形状因与悬在两端的绳子因均匀引力作用下掉下来之形相似而名.选择适当的坐标系后，悬链线的方程是一个双曲余弦函数 $f (x) = a \cdot \cosh (\frac{x}{a}) = a \cdot \frac{e^{\frac{x}{a}} + e^{- \frac{x}{a}}}{2}$ ，其中a为非零常数，在此坐标平面上，过原点的直线与悬链线相切于点 $T (x_{0} ， f (x_{0}))$ ，则 $[\frac{x_{0}}{a}]$ 的值可能为（）（注： $[x]$ 表示不大于x的最大整数）

A、-2 B、-1 C、1 D、2

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三、填空题

13. 已知平面向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $| \vec{a} | = 1$ ， $| \vec{b} | = 2$ ， $\vec{a} \cdot (\vec{a} - \vec{b}) = 0$ ，则 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 的夹角为.

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14. 航天飞机发射后的一段时间内，第t秒时的高度 $h (t) = 5 t^{3} + 30 t^{2} + 45 t + 4$ ，其中h的单位为m，t的单位为s，则第 $2 s$ 末的瞬时速度为 $m/s$ .

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15. 如图，等腰直角三角形 $A B C$ （C为直角顶点）所在的平面与半圆弧 $\overset{⌢}{A B}$ 所在的平面垂直，P为 $\overset{⌢}{A B}$ 上异于A，B的动点，且在 $A B$ 上射影为点H， $A B = 2$ ，则当三棱锥 $P - A C H$ 的体积最大时，二面角 $P - B C - A$ 的正切值为.

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16. 任取一个正整数m，若m是奇数，就将该数乘3再加上1；若m是偶数，就将该数除以2.反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈1→4→2→1，这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”等），若 $m = 5$ ，则经过次步骤后变成1；若第5次步骤后变成1，则m的可能值之和为.

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四、解答题

17. 在① $△ A B C$ 的外接圆的半径为1，② $△ A B C$ 的面积为 $\frac{3 \sqrt{3}}{4}$ ，③ $A B$ 边上的高为1.这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答.
问题：已知 $△ A B C$ ，它的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 $\sin C = \sqrt{3} \sin A$ ， $c^{2} = 3 a b$ ， ▲ ，求c的值.

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

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18. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 和等比数列 ${b_{n}}$ 的首项均为1， ${b_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，且 $a_{2} = S_{2}$ ， $a_{4} = S_{3}$ .

(1)、求数列 ${a_{n}}$ ， ${b_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设 $c_{n} = a_{n} \cdot b_{n}$ ， $n \in N^{*}$ ，求数列 ${c_{n}}$ 的前n项和 $T_{n}$ .

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19. 已知抛物线 $C$ ： $y^{2} = 2 p x$ （ $p > 0$ ）的焦点为 $F$ ，过点 $F$ 的直线 $l$ 与抛物线 $C$ 交于 $A$ ， $B$ 两点，当 $l ⊥ x$ 轴时， $A B = 4$ ，

(1)、求 $p$ 的值：

(2)、若 $A F = 2 B F$ ，求直线l的方程.

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20. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，已知底面 $A B C D$ 为等腰梯形， $A B // C D$ ， $D A = A B = B C = a$ ， $C D = 2 a$ ， $P D ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $P D = 2 a$ .

(1)、求 $P C$ 与 $D B$ 所成角的余弦值；

(2)、设l是过点P且与 $A B$ 平行的一条直线，点Q在直线l上，当 $P C$ 与平面 $B Q D$ 所成角的正弦值最大时，求线段 $P Q$ 的长.

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21. 已知函数 $f (x) = a \ln x - \sqrt{x} + 1$ ， $a \in R$ .

(1)、若函数 $f (x)$ 在 $(1 ， + \infty)$ 上单调递减，求a的取值范围；

(2)、若函数 $f (x)$ 存在最大值，且最大值不大于0，求a的值.

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22. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知椭圆 $E ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，且经过点 $(1 ， \frac{\sqrt{2}}{2})$ .

(1)、求椭圆 $E$ 的方程；

(2)、设 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 、 $D$ 是椭圆 $E$ 上互异的四点（点 $A$ 在第一象限），其中 $A$ 、 $B$ 关于原点对称， $A$ 、 $C$ 关于 $x$ 轴对称，且 $A B // C D$ ，求四边形 $A B C D$ 面积的最大值.

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