山东省菏泽市2020-2021学年高三上学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2021-03-04 类型：期末考试

进入出卷网下载

一、单选题

1. 已知集合 $M = {y \in R | y = \lg x ， x \geq 1}$ ， $N = {x \in R | y = \sqrt{4 - x^{2}}}$ ，则 $M \cap N =$ （）

A、 ${(- 1 ， 1) ， (1 ， 1)}$ B、 $[0 ， 2]$ C、 $[0 ， 1]$ D、{1}

查看试题解析
2. $i$ 是虚数单位，若 $\frac{1 - 7 i}{2 + i} = a + b i (a, b \in R)$ ，则 $a b$ 的值是（）

A、-15 B、-3 C、3 D、15

查看试题解析
3. 若 $\vec{a}$ 、 $\vec{b}$ 是两个单位向量，其夹角是 $θ$ ，则“ $\frac{π}{3} < θ < \frac{π}{2}$ ”是“ $| \vec{a} - \vec{b} | > 1$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

查看试题解析
4. 2020是全面实现小康社会目标的一年，也是全面打赢脱贫攻坚战的一年.复旦大学团委发起了“跟着驻村第一书记去扶贫”的实践活动，其中学生小明与另外3名学生一起分配到某乡镇甲、乙、丙3个贫困村参与扶贫工作，若每个村至少分配1名学生，则小明恰好分配到甲村的方法数是（）

A、3 B、8 C、12 D、6

查看试题解析
5. 明朝早期，郑和在七下西洋的过程中，将中国古代天体测量方面所取得的成就创造性应用于航海，形成了一套自成体系且行之有效的先进航海技术——“过洋牵星术”.简单地说，就是通过观测不同季节、时辰的日月星辰在天空运行的位置和测量星辰在海面以上的高度来判断方位，其采用的主要工具为牵星板，由12块正方形木板组成，最小的一块边长约为2厘米（称一指）.观测时，将木板立起，一手拿着木板，手臂垂直，眼睛到木板的距离大约为72厘米，使牵星板与海平面垂直，让板的下边缘与海平面重合，上边缘对着所观测的星辰，与其相切，依高低不同替换、调整木板，木板上边缘与被观测星辰重合时所用的是几指板，观测的星辰离海平面的高度就是几指，然后就可以推算出船在海中的地理纬度.如图所示，若在一次观测中，所用的牵星板为九指板，则 $\sin 2 α =$ （）

A、 $\frac{12}{35}$ B、 $\frac{\sqrt{17}}{17}$ C、 $\frac{8}{17}$ D、 $\frac{8}{15}$

查看试题解析
6. 函数 $f (x) = \frac{cos (π x)}{x^{2} - 2 x + 2}$ 的部分图像可能是（）

A、 B、 C、 D、

查看试题解析
7. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和是 $S_{n}$ ，且 $S_{n} = 2 a_{n} - 1$ ，若 $a_{n} \in (0, 2021)$ ，则称项 $a_{n}$ 为“和谐项”，则数列 ${a_{n}}$ 的所有“和谐项”的和为（）

A、1022 B、1023 C、2046 D、2047

查看试题解析
8. 已知 $F_{1}$ 、 $F_{2}$ 分别是双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的左右焦点，点 $P$ 在双曲线右支上且不与顶点重合，过 $F_{2}$ 作 $∠ F_{1} P F_{2}$ 的角平分线的垂线，垂足为 $A$ ， $O$ 为坐标原点，若 $| O A | = \sqrt{3} b$ ，则该双曲线的离心率为（）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ C、2 D、 $\frac{\sqrt{5}}{2}$

查看试题解析

二、多选题

9. 2020年突如其来的新冠肺炎疫情对房地产市场造成明显的冲击，如图为某市2020年国庆节7天假期的楼房认购量与成交量的折线图，某同学根据折线图对这7天的认购量（单位：套）与成交量（单位：套）作出如下判断，则判断正确的是（）

A、日成交量的中位数是16 B、日成交量超过平均成交量的只有1天 C、10月7日认购量量的增长率大于10月7日成交量的增长率 D、日认购量的方差大于日成交量的方差

查看试题解析
10. 已知抛物线 $C : y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点 $F$ 到准线的距离是2，过点 $F$ 的直线 $l$ 与抛物线交于 $A$ 、 $B$ 两点， $M$ 为线段 $A B$ 的中点， $O$ 为坐标原点，则下列结论正确的是（）

A、 $C$ 的准线方程为 $x = - 1$ B、线段 $A B$ 的长度的最小值为4 C、 $M$ 的坐标可能是（4，2） D、存在直线 $l$ ，使得 $O A$ 与 $O B$ 垂直

查看试题解析
11. 已知函数 $f (x) = 2 (| \sin x | + \sin x) \cos x$ ，关于函数 $f (x)$ 下列说法正确的是（）

A、 $f (x)$ 为奇函数 B、 $π$ 为 $f (x)$ 的周期 C、 $f (x)$ 的值域为 $[- 2, 2]$ D、 $f (x)$ 在上 $[\frac{π}{4}, \frac{3 π}{4}]$ 单调递减

查看试题解析
12. 设函数 $f (x) = \ln x$ ，且 $x_{0}$ 、 $x_{1}$ 、 $x_{2} \in (0 ， + \infty)$ ，下列命题正确的是（）

A、若 $x_{1} < x_{2}$ ，则 $\frac{1}{x_{2}} > \frac{f (x_{1}) - f (x_{2})}{x_{1} - x_{2}}$ B、存在 $x_{0} \in (x_{1} ， x_{2})$ ， $(x_{1} < x_{2})$ 使得 $\frac{1}{x_{0}} = \frac{f (x_{1}) - f (x_{2})}{x_{1} - x_{2}}$ C、若 $x_{1} > x_{2} > 1$ ，则 $\frac{f (x_{1}) - f (x_{2})}{x_{1} - x_{2}} < 1$ D、对任意 $x_{1} < x_{2}$ ，总有 $x_{0} \in (x_{1} ， x_{2})$ ，使得 $f (x_{0}) \leq \frac{f (x_{1}) - f (x_{2})}{x_{1} - x_{2}}$

查看试题解析

三、填空题

13. 如图所示，角 $α$ 的终边与单位圆（圆心在原点，半径为1的圆）交于第四象限的点 $A (\frac{4}{5} ， \sin α)$ ，则 $\sin α + \cos α =$ ．

查看试题解析
14. 已知 ${(2 x + \frac{1}{\sqrt{x}})}^{n}$ 的展开式中二项式系数之和为128，则展开式中 $x$ 的系数为．（用数字作答）

查看试题解析
15. 已知函数 $f (x)$ 对任意的 $x \in R$ 都有 $f (x + 6) - f (x) = 3 f (3)$ ，若 $y = f (x + 1)$ 的图象关于直线 $x = - 1$ 对称，且 $f (1) = 3$ ，则 $f (2021) =$ ．

查看试题解析
16. 古希腊数学家阿波罗尼斯发现：平面上到两定点 $A$ 、 $B$ 距离之比 $λ (λ > 0 ， λ \neq 1)$ 是常数的点的轨迹是一个圆心在直线 $A B$ 上的圆，该圆简称为阿氏圆.根据以上信息，解决下面的问题：在棱长为2的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，点 $P$ 是正方体的表面 $A D D_{1} A_{1}$ (包括边界)上的动点，若动点 $P$ 满足 $P A = 2 P D$ ，则点 $P$ 所形成的阿氏圆的半径为；若 $E$ 是 $C D$ 的中点，且满足 $∠ A P B = ∠ E P D$ ，则三棱锥 $P - A C D$ 体积的最大值是.

阿波罗尼奥斯

查看试题解析

四、解答题

17. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和是 $S_{n} = n^{2}$ .

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、记 $b_{n} = \frac{2}{a_{n} a_{n + 1}}$ ，设 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和是 $T_{n}$ ，求使得 $T_{n} > \frac{2020}{2021}$ 的最小正整数 $n$ ．

查看试题解析
18. 在① $(a^{2} + b^{2} - c^{2}) \sin B = \frac{\sqrt{3}}{2} a c$ ，且 $B > \frac{π}{4}$ ；② $\frac{b \sin A}{1 - \cos B} = \sqrt{3} a$ ；③ $\frac{\sin B + \sin C}{\sin A - \sin C} = \frac{a}{b - c}$ 这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答问题.问题：在 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，且______

(1)、求角 $B$ 的大小；

(2)、若△ABC为锐角三角形，且c=2，求a的取值范围（如果选择多个条件分别解答，按照第一个解答计分）

查看试题解析
19. 如图所示，矩形 $A B C D$ 和梯形 $B E F C$ 所在平面互相垂直， $B E // C F$ ， $∠ B C F = ∠ C E F =$ 90°， $A D = \sqrt{2}$ ， $E F = \sqrt{3}$ .

(1)、求证： $E F ⊥$ 平面 $D C E$

(2)、当 $A B$ 的长为何值时，二面角 $A - E F - C$ 的大小为60°．

查看试题解析
20. 中国提出共建“一带一路”，旨在促进更多的经济增长和更大的互联互通，随着“一带一路”的发展，中亚面粉、波兰苹果、法国红酒走上了国人的餐桌，中国制造的汽车、电子元件、农产品丰富着海外市场.为拓展海外市场，某电子公司新开发一款电子产品，该电子产品的一个系统 $G$ 有3个电子元件组成，各个电子元件能正常工作的概率为 $\frac{2}{3}$ ，且每个电子元件能否正常工作相互独立，若系统 $G$ 中有超过一半的电子元件正常工作，则 $G$ 可以正常工作，否则就需要维修，且维修所需费用为900元.

(1)、求系统需要维修的概率；

(2)、该电子产品共由3个系统 $G$ 组成，设 $ξ$ 为电子产品所需要维修的费用，求 $ξ$ 的期望；

(3)、为提高系统 $G$ 正常工作的概率，在系统内增加两个功能完全一样的其他品牌的电子元件，每个新元件正常工作的概率为 $p$ ，且新增元件后有超过一半的电子元件正常工作，则 $G$ 可以正常工作.问： $p$ 满足什么条件时可以提高整个系统 $G$ 的正常工作概率？

查看试题解析
21. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左右焦点分别为 $F_{1}$ 、 $F_{2}$ ，点 $M$ 为短轴的一个端点，离心率为 $\frac{1}{2}$ ， $△ M F_{1} F_{2}$ 的面积 $S = \sqrt{3}$ .

(1)、求椭圆 $C$ 的方程；

(2)、设 $A$ 是椭圆上的一点， $B$ 是点 $A$ 关于 $x$ 轴的对称点， $P$ 是椭圆 $C$ 上异于 $A$ 、 $B$ 的任意一点，且直线 $P A$ 、 $P B$ 分别于 $x$ 轴交于不同的点 $C$ 、 $D$ ， $O$ 为坐标原点，求 $S_{△}_{P O C} \cdot S_{△ P O D}$ 的最大值，并求出此时 $P$ 点的坐标

查看试题解析
22. 已知函数 $f (x) = x e^{x}$ .

(1)、求曲线 $f (x)$ 在点 $(1 ， f (1))$ 的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；

(2)、若 $g (x) = - a x^{2} - 2 a x + 1 (a > - 1)$ ，设 $h (x) = f (x) - g (x)$ ，讨论 $h (x)$ 零点的个数.

查看试题解析