山东省德州市2020-2021学年高三上学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2021-03-04 类型：期末考试

进入出卷网下载

一、单选题

1. 设集合 $A = {x | - x^{2} + 5 x + 6 ⩾ 0}, B = {x | x - 2 < 0}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $[- 1, 2)$ B、 $[- 3, 2)$ C、 $[- 2, 2)$ D、 $(2, 6]$

查看试题解析
2. 若复数 $z$ 满足 $2 z - \bar{z} = 1 + 3 i$ ，则 $z =$ （）

A、 $1 + i$ B、 $1 - i$ C、 $- 1 + i$ D、 $- 1 - i$

查看试题解析
3. 已知 $a > 0$ ， $b > 0$ ，且 $\frac{1}{a} + \frac{2}{b} = 4$ ，则 $4 a + 6 b$ 的最小值是（）

A、 $4 + \sqrt{3}$ B、 $4 + 2 \sqrt{3}$ C、 $8 + 2 \sqrt{3}$ D、 $4 + \frac{\sqrt{3}}{3}$

查看试题解析
4. 函数 $f (x) = \frac{2 \sin x + 3 x}{\cos x + x^{2}}$ 在 $[- π ， π]$ 的图像大致为（）

A、 B、 C、 D、

查看试题解析
5. 已知直线 $l : a x + y - 2 = 0$ 与 $⊙ C : {(x - 1)}^{2} + {(y - a)}^{2} = 4$ 相交于 $A$ 、 $B$ 两点，则 $△ A B C$ 为钝角三角形的充要条件是（）

A、 $a \in (1, 3)$ B、 $a \in (2 - \sqrt{3}, 2 + \sqrt{3})$ C、 $a \in (2 - \sqrt{3}, 1) \cup (1, 2 + \sqrt{3})$ D、 $a \in (- \infty, 2 - \sqrt{3}) \cup (2 + \sqrt{3}, + \infty)$

查看试题解析
6. “微信红包”自2015年以来异常火爆，在某个微信群某次进行的抢红包活动中，若所发红包的金额为10元，被随机分配成1.36元，1.59元，2.31元，3.22元，1.52元，供甲乙丙丁戊5人抢，每人只能抢一次，则甲乙二人抢到的金额之和不低于4.5元的概率是（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{2}{5}$ C、 $\frac{3}{5}$ D、 $\frac{4}{5}$

查看试题解析
7. 阿基米德是伟大的古希腊数学家，他和高斯、牛顿并列为世界三大数学家，他一生最为满意的一个数学发现就是“圆柱容球”定理，即圆柱容器里放了一个球，该球顶天立地，四周碰边（即球与圆柱形容器的底面和侧面都相切），球的体积是圆柱体积的三分之二，球的表面积也是圆柱表面积的三分之二．今有一“圆柱容球”模型，其圆柱表面积为 $12 π$ ，则该模型中球的体积为（）

A、 $8 π$ B、4π C、 $\frac{8}{3} π$ D、 $\frac{8 \sqrt{2}}{3} π$

查看试题解析
8. 设双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左焦点为F，直线 $x - 2 y + \sqrt{5} = 0$ 过点F且与双曲线C在第一象限的交点为P，O为坐标原点， $| O P | = | O F |$ ，则双曲线的离心率为（）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\sqrt{3}$ C、2 D、 $\sqrt{5}$

查看试题解析

二、多选题

9. 已知向量 $\vec{a} = (2, 1), \vec{b} = (- 3, 1)$ ，则（）

A、 $(\vec{a} + \vec{b}) ⊥ \vec{a}$ B、 $| \vec{a} + 2 \vec{b} | = 5$ C、向量 $\vec{a}$ 在向量 $\vec{b}$ 上的投影是 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ D、向量 $\vec{a}$ 的单位向量是 $(\frac{2 \sqrt{5}}{5}, \frac{\sqrt{5}}{5})$

查看试题解析
10. 为了了解某外贸企业职工对“一带一路”的认知程度，随机抽取了100名职工组织了“一带一路”知识竞赛，满分为100分（80分及以上为认知程度较高），并将所得成绩分组得到了如图所示的频率分布折线图．从频率分布折线图中得到的这100名职工成绩的以下信息正确的是（）

A、成绩是50分或100分的职工人数是0 B、对“一带一路”认知程度较高的人数是35人 C、中位数是74.5 D、平均分是75.5

查看试题解析
11. 若 ${(1 - 2 x)}^{2021} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + a_{3} x^{3} + \cdot \cdot \cdot + a_{2021} x^{2021} (x \in R)$ ，则（）

A、 $a_{0} = 1$ B、 $a_{1} + a_{3} + a_{5} + \cdot \cdot \cdot + a_{2021} = \frac{3^{2021} + 1}{2}$ C、 $a_{0} + a_{2} + a_{4} + \cdot \cdot \cdot + a_{2020} = \frac{3^{2021} - 1}{2}$ D、 $\frac{a_{1}}{2} + \frac{a_{2}}{2^{2}} + \frac{a_{3}}{2^{3}} + \cdot \cdot \cdot + \frac{a_{2021}}{2^{2021}} = - 1$

查看试题解析
12. 关于函数 $f (x) = \sqrt{3} | \sin x | - | \cos x |$ 有下述四个结论正确的有（）

A、 $f (x)$ 的最小正周期为π B、 $f (x)$ 在 $(- \frac{π}{2} ， \frac{π}{2})$ 上单调递增 C、 $f (x)$ 在 $[- π ， π]$ 上有四个零点 D、 $f (x)$ 的值域为 $[- 1 ， 2]$

查看试题解析

三、填空题

13. 已知直线 $y = 2 x + b$ 是曲线 $y = \ln x + 3$ 的一条切线，则 $b =$ ．

查看试题解析
14. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 为菱形， $P D ⊥$ 底面 $A B C D$ ，O为对角线 $A C$ 与 $B D$ 的交点，若 $P D = 2$ ， $∠ A P D = ∠ B A D = \frac{π}{3}$ ，则三棱锥 $P - A O D$ 的外接球表面积为．

查看试题解析
15. 《数书九章》是中国南宋时期杰出数学家秦九韶的著作，全书十八卷共八十一个问题，分为九类，每类九个问题《数书九章》中记录了秦九解的许多创造性成就，其中在卷五“三斜求积”中提出了已知三角形三边a，b，c求面积的公式，这与古希腊的海伦公式完全等价，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实，一为从隅，开平方得积”若把以上这段文字写成公式，即 $S = \sqrt{\frac{1}{4} [c^{2} a^{2} - {(\frac{c^{2} + a^{2} - b^{2}}{2})}^{2}]}$ S为三角形的面积，a，b，c为三角形的三边长，现有 $△ A B C$ 满足 $\sin A : \sin B : \sin C = 3 : 2 \sqrt{2} : \sqrt{5}$ 且 $S_{△ A B C} = 12$ ，则 $△ A B C$ 的外接圆的半径为．

查看试题解析
16. F为抛物线 $C : y^{2} = 4 x$ 的焦点，过F且斜率为k的直线l与抛物线交于P、Q两点，线段 $P Q$ 的垂直平分线交x轴于点M，且 $| P Q | = 6$ ，则 $| M F | =$ ．

查看试题解析

四、解答题

17. 在① $a_{2} + a_{4} = 6$ ， $S_{9} = 45$ ② $S_{n} = \frac{n^{2}}{2} + \frac{n}{2}$ ③ $\frac{a_{n}}{a_{n - 1}} = \frac{n}{n - 1} (n \geq 2)$ ， $a_{1} = 1$ 这三个条件中任选一个补充在下面的问题中，并加以解答．
设等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ， ▲ ，数列 ${b_{n}}$ 为等比数列， $b_{1} = 2 a_{1}$ ， $b_{2} = 2^{a_{2}}$ ，求数列 ${a_{n} b_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ ．

查看试题解析
18. 在 $△ A B C$ 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知 $\frac{\cos B}{b} + \frac{\cos C}{c} = \frac{1}{a}$ ，且 $a = 4, b > a > c$ ．

(1)、求 $b c$ 的值；

(2)、若 $△ A B C$ 的面积 $S = 2 \sqrt{7}$ ，求 $\cos B$ ．

查看试题解析
19. 某研究院为了调查学生的身体发育情况，从某校随机抽频率组距测120名学生检测他们的身高（单位：米），按数据分成 $[1.2 ， 1.3] ， (1.3 ， 1.4] ， \dots ， (1.7 ， 1.8]$ 这6组，得到如图所示的频率分布直方图，其中身高大于或等于1.59米的学生有20人，其身高分别为1.59，1.59，1.61，1.61，1.62，1.63，1.63，1.64，1.65，1.65，1.65，1.65，1.66，1.67，1.68，1.69，1.69，1.71，1.72，1.74，以这120名学生身高在各组的身高的频率估计整个学校的学生在各组身高的概率．

(1)、求该校学生身高大于1.60米的频率，并求频率分布直方图中m、n、t的值；

(2)、若从该校中随机选取3名学生（学生数量足够大），记X为抽取学生的身高在 $(1.4 ， 1.6]$ 的人数求X的分布列和数学期望．

查看试题解析
20. 在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $△ P A B$ 为直角三角形， $∠ A P B = 90 °$ 且 $P A = \frac{1}{2} A B = C D$ ，四边形 $A B C D$ 为直角梯形， $A B // C D$ 且 $∠ D A B$ 为直角，E为 $A B$ 的中点，F为 $P E$ 的四等分点且 $E F = \frac{1}{4} E P$ ，M为 $A C$ 中点且 $M F ⊥ P E$ ．

(1)、证明： $A D ⊥$ 平面 $A B P$ ；

(2)、设二面角 $A - P C - E$ 的大小为 $α$ ，求 $α$ 的取值范围．

查看试题解析
21. 已知点 $F_{1}$ 、 $F_{2}$ 分别是椭圆C的左、右焦点，离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，点P是以坐标原点O为圆心的单位圆上的一点，且 $\vec{P F_{1}} \cdot \vec{P F_{2}} = 0$ ．

(1)、求椭圆C的标准方程；

(2)、设斜率为k的直线l（不过焦点）交椭圆于M，N两点，若x轴上任意一点到直线 $M F_{1}$ 与 $N F_{1}$ 的距离均相等，求证：直线l恒过定点，并求出该定点的坐标．

查看试题解析
22. 已知函数 $f (x) = a \ln x + x + \frac{2}{x} + 2 a (a \in R)$ ．

(1)、讨论函数 $f (x)$ 的单调性；

(2)、若 $0 < a < \frac{e}{4}$ ，求证： $f (x) < x + \frac{e^{x} + 2}{x}$ ．

查看试题解析