江苏省南京市2020-2021学年高二上学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2021-03-04 类型：期末考试

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一、单选题

1. 命题“ $\forall$ a，b>0，a＋ $\frac{1}{b}$ ≥2和b＋ $\frac{1}{a}$ ≥2至少有一个成立”的否定为（）

A、 $\forall$ a，b>0，a＋ $\frac{1}{b}$ <2和b＋ $\frac{1}{a}$ <2至少有一个成立 B、 $\forall$ a，b>0，a＋ $\frac{1}{b}$ ≥2和b＋ $\frac{1}{a}$ ≥2都不成立 C、 $\exists$ a，b>0，a＋ $\frac{1}{b}$ <2和b＋ $\frac{1}{a}$ <2至少有一个成立 D、 $\exists$ a，b>0，a＋ $\frac{1}{b}$ ≥2和b＋ $\frac{1}{a}$ ≥2都不成立

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2. 已知 $a$ ， $b \in R$ ，则“ $a + b < 0$ ”是“ $a | a | + b | b | < 0$ ”的（）

A、必要不充分条件 B、充分不必要条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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3. 自2010年以来，一、二、三线的房价均呈现不同程度的上升趋势，以房养老、以房为聘的理念深入人心，使得各地房产中介公司的交易数额日益增加．现将 $A$ 房产中介公司2010-2019年4月份的售房情况统计如图所示，根据2010-2013年，2014-2016年，2017-2019年的数据分别建立回归直线方程 $\hat{y} = {\hat{b}}_{1} x + {\hat{a}}_{1}$ 、 $\hat{y} = {\hat{b}}_{2} x + {\hat{a}}_{2}$ 、 $\hat{y} = {\hat{b}}_{3} x + {\hat{a}}_{3}$ ，则（）

A、 ${\hat{b}}_{1} > {\hat{b}}_{2} > {\hat{b}}_{3}$ ， ${\hat{a}}_{3} > {\hat{a}}_{2} > {\hat{a}}_{1}$ B、 ${\hat{b}}_{2} > {\hat{b}}_{1} > {\hat{b}}_{3}$ ， ${\hat{a}}_{3} > {\hat{a}}_{2} > {\hat{a}}_{1}$ C、 ${\hat{b}}_{1} > {\hat{b}}_{2} > {\hat{b}}_{3}$ ， ${\hat{a}}_{3} > {\hat{a}}_{1} > {\hat{a}}_{2}$ D、 ${\hat{b}}_{2} > {\hat{b}}_{1} > {\hat{b}}_{3}$ ， ${\hat{a}}_{3} > {\hat{a}}_{1} > {\hat{a}}_{2}$

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4. 在空间四边形 $A B C D$ 各边 $A B$ 、 $B C$ 、 $C D$ 、 $D A$ 上分别取点 $E$ 、 $F$ 、 $G$ 、 $H$ ，若直线 $E F$ 、 $G H$ 相交于点 $P$ ，则（）

A、点 $P$ 必在直线 $A C$ 上 B、点 $P$ 必在直线 $B D$ 上 C、点 $P$ 必在平面 $A B D$ 内 D、点 $P$ 必在平面 $B C D$ 内

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5. 某校高一年级研究性学习小组利用激光多普勒测速仪实地测量复兴号高铁在某时刻的速度，其工作原理是：激光器发出的光平均分成两束射出，在被测物体表面汇聚，探测器接收反射光，当被测物体横向速度为零时，反射光与探测光频率相同，当横向速度不为零时，反射光相对探测光会发生频移 $f_{p} = \frac{2 ν \sin φ}{λ}$ ，其中 $v$ 为测速仪测得被测物体的横向速度， $λ$ 为激光波长， $φ$ 为两束探测光线夹角的一半，如图，若激光测速仪安装在距离高铁 $1 m$ 处，发出的激光波长为 $1500 nm$ （ $1 nm = 10^{- 9} m$ ），某次检验中可测频移范围为 $9.500 \times 10^{9}$ （ $1 / h$ ）至 $10.000 \times 10^{9}$ （ $1 / h$ ），该高铁以运行速度（ $337.5 km / h$ 至 $375 km / h$ ）经过时，可测量的概率为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、 $\frac{5}{6}$

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6. 已知 $A, B$ 分别为双曲线 $Γ : x^{2} - \frac{y^{2}}{3} = 1$ 实轴的左右两个端点，过双曲线 $Γ$ 的左焦点 $F$ 作直线 $P Q$ 交双曲线于 $P, Q$ 两点（点 $P, Q$ 异于 $A, B$ ），则直线 $A P, B Q$ 的斜率之比 $k_{A P} : k_{B Q} =$ （）

A、 $- \frac{1}{3}$ B、-3 C、 $- \frac{2}{3}$ D、 $- \frac{3}{2}$

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7. 将边长为1的正方形ABCD沿对角线BD翻折，使得二面角 $A - B D - C$ 的平面角的大小为 $\frac{π}{3}$ ，若点E，F分别是线段AC和BD上的动点，则 $\vec{B E} \cdot \vec{C F}$ 的取值范围为（）

A、 $[- 1 ， 0]$ B、 $[- 1 ， \frac{1}{4}]$ C、 $[- \frac{1}{2} ， 0]$ D、 $[- \frac{1}{2} ， \frac{1}{4}]$

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8. 在矩形 $A B C D$ 中， $A B = 4$ ， $B C = 4 \sqrt{3}$ ，点 $G$ ， $H$ 分别为直线 $B C$ ， $C D$ 上的动点， $A H$ 交 $D G$ 于点 $P$ .若 $\vec{D H} = 2 λ \vec{D C} ， \vec{C G} = \frac{1}{2} λ \vec{C B}$ （ $0 < λ < 1$ ），则点 $P$ 的轨迹是（）

A、直线 B、抛物线 C、椭圆 D、双曲线

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二、多选题

9. 对下列命题的否定说法正确是（）

A、 $p : \forall x \in R ， x > 0 ； \neg p : \exists x \in R ， x ⩽ 0$ B、 $p ： \exists x \in R ， x^{2} ⩽ - 1 ； \neg p ： \exists x \in R ， x^{2} > - 1$ C、 $p$ ：如果 $x < 2$ ，那么 $x < 1 ； \neg p ：$ 如果 $x < 2$ ，那么 $x ⩾ 1$ D、 $p : \forall x \in R$ ，使 $x^{2} + 1 \neq 0 ； \neg p : \exists x \in R ， x^{2} + 1 = 0$

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10. 设同时抛掷两个质地均匀的四面分别标有1，2，3，4的正四面体一次.记事件A={第一个四面体向下的一面出现偶数}；事件B={第二个四面体向下的一面出现奇数}；C={两个四面体向下的一面或者同时出现奇数或者同时出现偶数}.给出下列说法：
其中正确的是（）

A、 $P (A) = P (B) = P (C)$ B、 $P (A B) = P (A C) = P (B C)$ C、 $P (A B C) = \frac{1}{8}$ D、 $P (A) P (B) P (C) = \frac{1}{8}$

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11. 正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为3，点 $E ， F$ 分别在棱 $C C_{1} ， D_{1} C_{1}$ 上，且 $C_{1} E = 2 E C ， D_{1} F = 2 F C_{1}$ ，下列命题：
其中所有真命题为（）

A、异面直线 $B E ， C F$ 所成角的余弦值为 $\frac{3}{10}$ B、过点 $B ， E ， F$ 的平面截正方体，截面为等腰梯形 C、三棱锥 $B_{1} - B E F$ 的体积为 $\frac{3}{2}$ D、过 $B_{1}$ 作平面 $α$ ，使得 $A E ⊥ α$ ，则平面 $α$ 截正方体所得截面面积为 $\frac{5 \sqrt{19}}{2}$

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12. 已知椭圆 $M ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，若椭圆 $M$ 与坐标轴分别交于 $A$ ， $B$ ， $C$ ， $D$ 四点，且从 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ， $A$ ， $B$ ， $C$ ， $D$ 这六点中，可以找到三点构成一个直角三角形，则椭圆 $M$ 的离心率的可能取值为（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{3} - 1}{2}$

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三、填空题

13. 已知命题p：∀x∈[1，2]，x²－a≥0，命题q：∃x∈R，x²＋2ax＋2－a＝0，若命题p且q是真命题，则实数a的取值范围是.

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14. 假设要考察某公司生产的500克袋装牛奶的三聚青氨是否超标，现从800袋牛奶中抽取60袋进行检验，利用随机数表抽取样本时，先将800袋牛奶按000，001，…，799进行编号，如果从随机数表第7行第8列的数开始向右读，请你依次写出最先检测的3袋牛奶的编号.
（下面摘取了随机数表第7行至第9行）

84 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06 76

63 01 63 78 59 16 95 56 67 19 98 10 50 71 75 12 86 73 58 07 44 39 52 38 79

33 21 12 34 29 78 64 56 07 82 52 42 0744 38 15 51 00 13 42 99 66 02 79 54.

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15. 如图，一种电影放映灯的反射镜面是旋转椭圆面（椭圆绕其对称轴旋转一周形成的曲面）的一部分，过对称轴的截口 $B A C$ 是椭圆的一部分，灯丝位于椭圆的一个焦点 $F_{1}$ 上，片门位于另一个焦点 $F_{2}$ 上.由椭圆一个焦点 $F_{1}$ 发出的光线，经过旋转椭圆面反射后集中到另一个焦点 $F_{2}$ .已知 $B C ⊥ F_{1} F_{2}$ ， $| F_{1} B | = \frac{16}{3}$ ， $| F_{1} F_{2} | = 4$ ，则截口 $B A C$ 所在椭圆的离心率为.

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16. 如图，在 $Δ A B C$ 中， $A B = 1$ ， $B C = 2 \sqrt{2}$ ， $B = \frac{π}{4}$ ，将 $Δ A B C$ 绕边 $A B$ 翻转至 $Δ A B P$ ，使面 $A B P ⊥$ 面 $A B C$ ， $D$ 是 $B C$ 的中点，设 $Q$ 是线段 $P A$ 上的动点，则当 $P C$ 与 $D Q$ 所成角取得最小值时，线段 $A Q$ 的长度为.

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四、解答题

17. 已知命题p：方程 $x^{2} - 2 \sqrt{2} x + m = 0$ 有两个不相等的实数根；命题q： $2^{m + 1} < 4$ ．

(1)、若p为真命题，求实数m的取值范围；

(2)、若 $p \lor q$ 为真命题， $p \land q$ 为假命题，求实数m的取值范围．

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18. 有编号为1，2，3的三只小球，和编号为1，2，3，4的四个盒子，将三个小球逐个随机的放入四个盒子中、每只球的放置相互独立.

(1)、求三只小球恰在两个盒子中的概率；

(2)、求三只小球在三个不同的盒子，且至少有两个球的编号与所在盒子编号不同的概率.

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19. 已知抛物线 $E$ ： $y^{2} = 2 p x$ （ $p > 0$ ）的焦点为 $F$ ，直线 $l$ ： $y = 2 x - 2$ ，直线 $l$ 与 $E$ 的交点为 $A$ ， $B$ ，同时 $| A F | + | B F | = 8$ ，直线 $m // l$ .直线 $m$ 与 $E$ 的交点为 $C$ ， $D$ ，与 $y$ 轴交于点 $P$ ．
（Ⅰ）求抛物线 $E$ 的方程；

（Ⅱ）若 $\vec{C P} = 4 \vec{D P}$ ，求 $| C D |$ 的长.

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20. “工资条里显红利，个税新政人民心”，随着2021年新年钟声的敲响，我国自1980年以来，力度最大的一次个人所得税（简称个税）改革至2019年实施以来发挥巨大作用.个税新政主要内容包括：

⑴个税起征点为5000元；

⑵每月应纳税所得额（含税） $=$ 收入-个税起征点-专项附加扣除；

⑶专项附加扣除包括住房､子女教育和赡养老人等.新旧个税政策下每月应纳税所得额（含税）计算方法及其对应的税率表如表：

	旧个税税率表（税起征点3500元）		新个税税率表（个税起征点5000元）
缴税级数	每月应纳税所得额（含税） $=$ 收入-个税起征点	税率（%）	每月应纳税所得额（含税）=收入-个税起征点 $-$ 专项附加扣除	税率（%）
1	不超过1500元部分	3	不超过3000元部分	3
2	超过1500元至4500元部分	10	超过3000元至12000元部分	10
3	超过4500元至9000元的部分	20	超过12000元至25000元的部分	20
4	超过9000元至35000元的部分	25	超过25000元至35000元的部分	25
5	超过35000元至55000元部分	30	超过35000元至55000元部分	30
$\dots$	$\dots$	$\dots$	$\dots$	$\dots$

随机抽取某市1000名同一收入层级的IT从业者的相关资料，经统计分析，预估他们2021年的人均月收入24000元.统计资料还表明，他们均符合住房专项扣除；同时，他们每人至多只有一个符合子女教育扣除的孩子，并且他们之中既不符合子女教育扣除又不符合赡养老人扣除、只符合子女教育扣除但不符合赡养老人扣除、只符合赡养老人扣除但不符合子女教育扣除、即符合子女教育扣除又符合赡养老人扣除的人数之比是 $2 : 1 : 1 : 1$ ；此外，他们均不符合其他专项附加扣除.新个税政策下该市的专项附加扣除标准为：住房1000元/月，子女教育每孩1000元/月，赡养老人2000元/月等.假设该市该收入层级的IT从业者都独自享受专项附加扣除，将预估的该市该收入层级的IT从业者的人均月收入视为其个人月收入.根据样本估计总体的思想，解决如下问题：

(1)、求该市该收入层级的IT从业者2021年月缴个税的所有可能及其概率.

(2)、根据新旧个税方案，估计从2021年1月开始，经过多少个月，该市该收入层级的

I T

从业者各月少缴交的个税之和就超过2019年的月收入？

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21. 如图，四棱锥 $P - A B C D$ 中，侧棱 $P A$ 垂直于底面 $A B C D$ ， $A B = A C = A D = 3$ ， $2 A M = M D$ ， $N$ 为 $P B$ 的中点， $A D$ 平行于 $B C$ ， $M N$ 平行于面 $P C D$ ， $P A = 2$ .

(1)、求 $B C$ 的长；

(2)、求二面角 $N - P M - D$ 的余弦值.

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22. 已知椭圆 $C_{1}$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $a > b > 0$ ）的右顶点与抛物线 $C_{2}$ ： $y^{2} = 2 p x$ （ $p > 0$ ）的焦点重合，椭圆 $C_{1}$ 的离心率为 $\frac{1}{2}$ ，过椭圆 $C_{1}$ 的右焦点 $F$ 且垂直于 $x$ 轴的直线截抛物线所得的弦长为 $4 \sqrt{2}$ .

(1)、求椭圆 $C_{1}$ 和抛物线 $C_{2}$ 的方程；

(2)、过点 $A (- 4, 0)$ 的直线 $l$ 与椭圆 $C_{1}$ 交于 $M$ ， $N$ 两点，点 $M$ 关于 $x$ 轴的对称点为 $E$ .当直线 $l$ 绕点 $A$ 旋转时，直线 $E N$ 是否经过一定点？请判断并证明你的结论.

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