江西省景德镇市2021届高三上学期理数期末考试试卷

试卷更新日期：2021-03-04 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | x^{2} - 4 x + 3 < 0, x \in R}$ ， $B = {x | | x | > 2, x \in R}$ ，则 $∁_{R} (A \cup B) =$ （）

A、 $[- 2, 1)$ B、 $[- 2, 1]$ C、 $[- 2, 3]$ D、 $(1, 2]$

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2. 已知复数 $z = (1 - i) - m (1 + i)$ 是纯虚数，则实数 $m =$ （）

A、-2 B、-1 C、0 D、1

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3. 某市为弘扬我国优秀的传统文化，组织全市10万中小学生参加网络古诗词知识答题比赛，总分100分，经过分析比赛成绩，发现成绩 $X$ 服从正态分布 $N (82, 16)$ ，请估计比赛成绩不小于90分的学生人数约为（）
〖参考数据〗： $P (μ - σ < X \leq μ + σ) = 0.683$ ， $P (μ - 2 σ < X \leq μ + 2 σ) = 0.954$ ， $P (μ - 3 σ < X \leq μ + 3 σ) = 0.997$

A、2300 B、3170 C、3415 D、460

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4. 已知函数 $f (x) = 2 \sin (ω x + φ) (ω > 0 ， φ \in (0 ， π))$ 的部分图像如图所示，将 $y = f (x)$ 图像上所有点的横坐标缩小到原来的 $\frac{1}{2}$ （纵坐标不变），所得图像对应的函数 $g (x)$ 解析式为（）

A、 $g (x) = 2 \sin (4 x + \frac{π}{6})$ B、 $g (x) = 2 \sin (4 x + \frac{π}{3})$ C、 $g (x) = 2 \sin (2 x + \frac{π}{3})$ D、 $g (x) = 2 \sin (x + \frac{π}{3})$

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5. 若实数 $x$ ， $y$ 满足约束条件 ${\begin{array}{l} x + 2 y - 2 \geq 0 \\ x - y - 1 \geq 0 \\ x + y \leq 3 \end{array}$ ，则 $x^{2} + {(y - 2)}^{2}$ 的最小值为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{4}{5}$ C、 $\frac{9}{2}$ D、 $\frac{41}{9}$

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6. 如图，在矩形 $A B C D$ 中， $A B = 1$ ， $B C = \sqrt{3}$ ，沿 $B D$ 将矩形 $A B C D$ 折叠，连接 $A C$ ，所得三棱锥 $A - B C D$ 正视图和俯视图如图，则三棱锥 $A - B C D$ 中 $A C$ 长为（）

A、 $\frac{3}{2}$ B、 $\sqrt{3}$ C、 $\frac{\sqrt{10}}{2}$ D、2

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7. 已知函数 $f (x) = \ln (| x | - 1) + e^{x} + e^{- x}$ ，则使不等式 $f (x + 1) < f (2 x)$ 成立的 $x$ 的取值范围是（）

A、 $(- \infty ， - 1) \cup (1 ， + \infty)$ B、 $(- 2 ， - 1)$ C、 $(- \infty ， - \frac{1}{3}) \cup (1 ， + \infty)$ D、 $(- \infty ， - 2) \cup (1 ， + \infty)$

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8. 受新冠肺炎疫情影响，某学校按上级文件指示，要求错峰放学，错峰有序吃饭.高三年级一层楼有甲、乙、丙、丁、戊、己六个班排队吃饭，甲班不能排在第一位，且丙班、丁班必须排在一起，则这六个班排队吃饭的不同安排方案共有（）

A、120种 B、156种 C、192种 D、240种

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9. 已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，实轴长为4，点 $P$ 为其右支上一点，点 $Q$ 在以 $(0, 4)$ 为圆心、半径为1的圆上，若 $| P F_{1} | + | P Q |$ 的最小值为8，则双曲线的渐近线方程为（）

A、 $y = \pm \frac{1}{2} x$ B、 $y = \pm x$ C、 $y = \pm \frac{\sqrt{3}}{2} x$ D、 $y = \pm \frac{\sqrt{5}}{2} x$

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10. 已知正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为2， $E$ 为棱 $A A_{1}$ 的中点，截面 $C D_{1} E$ 交棱 $A B$ 于点 $F$ ，则四面体 $C D F D_{1}$ 的外接球表面积为（）

A、 $\frac{39 π}{4}$ B、 $\frac{41 π}{4}$ C、12π D、 $\frac{43 π}{4}$

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11. 已知 $F$ 是抛物线 $E : y^{2} = 4 x$ 的焦点，若直线 $l$ 过点 $F$ ，且与抛物线 $E$ 交于 $B$ ， $C$ 两点，以 $B C$ 为直径作圆，圆心为 $A$ ，设圆 $A$ 与 $y$ 轴交于点 $M$ ， $N$ ，则 $∠ M A N$ 的取值范围是（）

A、 $(0, \frac{2 π}{3})$ B、 $(0, \frac{2 π}{3}]$ C、 $(\frac{π}{3}, \frac{2 π}{3}]$ D、 $[\frac{π}{3}, \frac{2 π}{3}]$

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12. 已知定义域为 $(0 ， 6)$ 的函数 $y = f (x)$ 的图象关于 $x = 3$ 对称，当 $x \in (0 ， 3]$ 时， $f (x) = | \ln x |$ ，若方程 $f (x) = t$ 有四个不等实根 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， $x_{3}$ ， $x_{4} (x_{1} < x_{2} < x_{3} < x_{4})$ 时，都有 $k (x_{3} x_{4} - 1) + x_{1}^{2} + x_{2}^{2} - 9 \geq 0$ 成立，则实数 $k$ 的最小值为（）

A、 $\frac{7}{24}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{11}{3}$

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二、填空题

13. 过点 $P (- 1, 1)$ 作圆 $x^{2} + y^{2} - a x - 2 y + a^{2} - 2 = 0$ 的切线有两条，则 $a$ 的取值范围是

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14. 在 $△ A B C$ 中， $A = \frac{π}{3}$ ， $A C = 4$ ， $A B = 6$ ， $D$ 在 $C B$ 边上，若 $\vec{C D} = λ \vec{C B}$ ， $\vec{A D} \cdot \vec{B C} = - 17$ ，则实数 $λ$ 的值为

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15. 已知 $a$ ， $b$ ， $c$ 分别为 $△ A B C$ 的三个内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边， $a = c = 5$ ，且 $a^{2} - b^{2} + b c \cos A = - \frac{7}{25} a c$ ， $G$ 为 $△ A B C$ 的重心，则 $| G A | =$

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16. 已知函数 $f (x) = \frac{1 + \ln x}{x} (x > 1)$ ，若对任意两个不同的 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，都有 $| f (x_{1}) - f (x_{2}) | \leq k | \ln x_{1} - \ln x_{2} |$ 成立，则实数 $k$ 的取值范围是

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三、解答题

17. 已知公差不为零的等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ， $S_{5} = 25$ ， $a_{1}$ ， $a_{2}$ ， $a_{5}$ 成等比数列.

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、若等差数列 ${\log_{2} b_{n}}$ 的首项为1，公差为1，求数列 ${a_{n} b_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ .

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18. 如图， $E D ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $A D ⊥ C D$ ， $A B // C D$ ， $E F // C D$ ， $A D = C D = 2 E F = 2 A B = 2$ ，点 $G$ 为 $B F$ 的中点.

(1)、求证： $A D //$ 平面 $E G C$ ；

(2)、若二面角 $E - G C - F$ 大小为 $\frac{π}{6}$ ，求直线 $C E$ 与平面 $F G C$ 所成的角的正弦值.

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19. 为了解某市2021届高三学生备考情况，教研所计划在2020年11月、2021年1月和2021年4月分别进行三次质量检测考试，第一次质量检测考试（一检）结束后，教研所分析数据，将其中所有参加考试的理科生成绩数据绘制成了扇形统计图，分数在 $[400 ， 540)$ 之间的理科学生成绩绘制成频率分布直方图，已知参加考试的理科生有12000人.

(1)、如果按照上届高三理科生60%的二本率来估计一检的模拟二本线，请问一检考试的模拟二本线应该是多少；

(2)、若甲同学每次质量检测考试，物理、化学、生物及格的概率分别为 $\frac{3}{4}$ ， $\frac{1}{2}$ ， $\frac{1}{2}$ ，请问甲同学参加三次质量检测考试，物理、化学、生物三科中至少2科及格的次数 $X$ 分布列及期望.

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20. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ ， $A$ ， $B$ 为椭圆的左、右顶点，点 $N (0 ， - 2)$ ，连接 $B N$ 交椭圆 $C$ 于点 $Q$ ， $A B N$ 为直角三角形，且 $| N Q | ： | Q B | = 3 ： 2$

(1)、求椭圆的方程；

(2)、过 $A$ 点的直线 $l$ 与椭圆相交于另一点 $M$ ，线段 $A M$ 的垂直平分线与 $y$ 轴的交点 $P$ 满足 $\vec{P A} \cdot \vec{P M} = \frac{15}{4}$ ，求点 $P$ 的坐标.

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21. 已知函数 $f (x) = e^{x} - 2 a x$ ， $g (x) = \cos x + a x^{2} - (2 a - 1) x$ .

(1)、讨论函数 $f (x)$ 的单调性；

(2)、设 $h (x) = f (x) - g (x)$ ，若 $x = 0$ 为 $h (x)$ 的极大值点，求实数 $a$ 的取值范围.

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22. 在直角坐标系 $x O y$ 中，曲线 $C_{1}$ 的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = \frac{2 (1 - t^{2})}{1 + t^{2}} \\ y = \frac{4 t}{1 + t^{2}} \end{array}$ （ $t$ 为参数）.在以平面直角坐标系的原点为极点、 $x$ 轴的正半轴为极轴，且与平面直角坐标系 $x O y$ 取相同单位长度的极坐标系中，曲线 $C_{2} ： \sqrt{2} ρ$ $\sin (\frac{π}{4} + θ) - \sqrt{2} = 0$ .

(1)、求曲线 $C_{1}$ 的普通方程以及曲线 $C_{2}$ 的平面直角坐标方程；

(2)、若曲线 $C_{1}$ 上恰好存在三个不同的点到曲线 $C_{2}$ 的距离相等，请在极角范围是 $[0 ， 2 π)$ 的条件下写出这三个点的极坐标.

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23. 已知不等式 $| 2 x + 1 | - | x | < \frac{1}{3} (x + 5)$ 的解集为 $(m, n)$

(1)、求 $m$ ， $n$ 的值；

(2)、若 $a > b > 0$ ， $a b + m = 0$ ，求 $\frac{a^{2} + b^{2}}{a - b}$ 的最小值.

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