湖北省部分重点中学2020-2021学年高三上学期数学期末联考试卷

试卷更新日期：2021-03-04 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x \in R | y = x + 1}$ ， $B = {y | y = x^{2} + 1, x \in R}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 ${0, 1}$ B、 ${(0, 0), (1, 2)}$ C、 $\emptyset$ D、 $[1, + \infty)$

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2. 若 $m 、 n \in R$ 且 $\frac{4 + 3 i}{3 - 4 i} = m + n i$ （其中 $i$ 为虚数单位），则 $m - n =$ （）

A、 $- \frac{1}{25}$ B、-1 C、1 D、0

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3. 抛物线 $y = 2 x^{2}$ 的焦点坐标为（）

A、 $(0, \frac{1}{2})$ B、 $(0, \frac{1}{4})$ C、 $(0, \frac{1}{8})$ D、 $(0, 1)$

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4. 已知a，b都是实数，那么“ $a > 2$ ”是“方程 $x^{2} + y^{2} - 2 x - a = 0$ 表示圆”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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5. 已知 $α 、 β \in (0, π)$ ， $\tan α$ 与 $\tan β$ 是方程 $x^{2} + 3 \sqrt{3} x + 4 = 0$ 的两个根，则 $α + β =$ （）

A、 $\frac{π}{3}$ B、 $\frac{2}{3} π$ C、 $\frac{4}{3} π$ D、 $\frac{π}{3}$ 或 $\frac{4}{3} π$

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6. 贴春联、挂红灯笼是我国春节的传统习俗.现准备在大门的两侧各挂四盏一样的红灯笼，从上往下挂，可以一侧挂好后再挂另一侧，也可以两侧交叉着挂，则挂红灯笼的不同方法数为（）

A、8 B、1680 C、140 D、70

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7. 设等比数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，首项 $a_{1} = 1$ ，且 $2 S_{2} + S_{4} = 3 S_{3}$ ，已知 $m, n \in N_{+}$ ，若存在正整数 $i, j (1 < i < j)$ ，使得 $m a_{i}$ 、 $m n$ 、 $n a_{j}$ 成等差数列，则 $m n$ 的最小值为（）

A、16 B、12 C、8 D、6

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8. 设 $f (x)$ 是定义在R上的偶函数，且当 $x \geq 0$ 时， $f (x) = a^{x}$ $(a > 1)$ .若对任意的 $x \in [0, b + 1]$ ，均有 $f (x + b) \geq f^{2} (x)$ ，则实数 $b$ 的最大值是（）

A、 $- \frac{2}{3}$ B、 $- \frac{3}{4}$ C、0 D、 $1$

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二、多选题

9. 关于双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{5} = 1$ ，下列说法正确的是（）

A、该双曲线与双曲线 $\frac{y^{2}}{5} - \frac{x^{2}}{4} = 1$ 有相同的渐近线 B、过点 $F (3 ， 0)$ 作直线 $l$ 与双曲线 $C$ 交于 $A 、 B$ ，若 $| A B | = 5$ ，则满足条件的直线只有一条 C、若直线 $l$ 与双曲线 $C$ 的两支各有一个交点，则直线 $l$ 的斜率 $k \in (- \frac{\sqrt{5}}{2} ， \frac{\sqrt{5}}{2})$ D、过点 $P (1 ， 2)$ 能作4条直线与双曲线 $C$ 仅有一个交点

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10. 如图所示，在长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A B = 3$ ， $A D = 4$ ， $A A_{1} = 6$ ， $P$ 是 $A A_{1}$ 中点，点 $M$ 在侧面 $A A_{1} B_{1} B$ （含边界）上运动，则（）

A、直线 $C P$ 与 $B B_{1}$ 所成角余弦值为 $\frac{3 \sqrt{34}}{34}$ B、存在点 $M$ （异于点 $P$ ），使得 $P 、 M 、 C 、 D_{1}$ 四点共面. C、存在点 $M$ 使得 $M C ⊥ B D$ D、若点 $M$ 到平面 $A B C D$ 距离与到点 $A_{1}$ 的距离相等，则点 $M$ 的轨迹是抛物线的一部分

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11. 对于给定的 $△ A B C$ ，其外心为 $O$ ，重心为 $G$ ，垂心为 $H$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $\vec{A O} \cdot \vec{A B} = \frac{1}{2} {\vec{A B}}^{2}$ B、 $\vec{O A} \cdot \vec{O B} = \vec{O A} \cdot \vec{O C} = \vec{O B} \cdot \vec{O C}$ C、过点 $G$ 的直线 $l$ 交 $A B 、 A C$ 于 $E 、 F$ ，若 $\vec{A E} = λ \vec{A B}$ ， $\vec{A F} = μ \vec{A C}$ ，则 $\frac{1}{λ} + \frac{1}{μ} = 3$ D、 $\vec{A H}$ 与 $\frac{\vec{A B}}{| \vec{A B} | \cos B} + \frac{\vec{A C}}{| \vec{A C} | \cos C}$ 共线

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12. 当 $x \in [0, \frac{5 \sqrt{2}}{2}]$ 时，函数 $y = \sin (ω x + φ)$ 与 $y = \cos (ω x + φ)$ $(ω > 0, | φ | < \frac{π}{2})$ 的图象恰有三个交点 $P 、 M 、 N$ ，且 $△ P M N$ 是直角三角形，则（）

A、 $△ P M N$ 的面积 $S = 1$ B、 $ω = \frac{\sqrt{2}}{2} π$ C、两函数的图象必在 $x = \frac{\frac{13}{4} π - φ}{ω}$ 处有交点 D、 $φ \in [- \frac{π}{4}, \frac{π}{4}]$

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三、填空题

13. 在二项式 ${(\sqrt{x} + \frac{3}{x})}^{n}$ 的展开式中，各项系数之和为 $A$ ，各项二项式系数之和为 $B$ ，且 $A + B = 72$ ，则展开式中常数项为．

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14. 若一个圆台的侧面展开图是半圆面所在的扇环，且扇环的面积为 $2 π$ ，圆台上、下底面圆的半径分别为 $r_{1}, r_{2} (r_{1} < r_{2})$ ，则 $r_{2}^{2} - r_{1}^{2} =$ .

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15. 已知△ABC的顶点坐标分别为 $A (3, 4), B (6, 0), C (- 5, - 2)$ ，则内角 $A$ 的角平分线所在直线方程为.

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16. 若 $\forall x > 0$ ，不等式 $\ln x + 2 + \frac{a}{x} \geq b (a > 0)$ 恒成立，则 $\frac{b}{a}$ 的最大值为.

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四、解答题

17. 已知函数 $f (x) = \sin (π - x) \cos x - \cos^{2} (x + \frac{π}{4})$ .

(1)、求 $f (x)$ 的单调递增区间；

(2)、若对 $\forall x \in {\frac{A}{2} + \frac{π}{4}, \frac{B}{2} + \frac{π}{4}, \frac{C}{2} + \frac{π}{4}}$ ，恒有 $f (x) + \frac{1}{2} > 0$ 成立，且 ▲ ，求△ABC面积的最大值.
在下列四个条件中，任选2个补充到上面问题中，并完成求解.其中 $a, b, c$ 为△ABC的三个内角 $A, B, C$ 所对的边.①△ABC的外接圆直径为4；② $a$ 是直线 $\sqrt{2} x + y + 3 = 0$ 截圆O： $x^{2} + y^{2} = 4$ 所得的弦长；③ $a \sin A + b \sin B = c \sin C$ ；④ $\sqrt{3} \sin A + \cos A = \sqrt{3}$ .

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18. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = 3$ ，且 $a_{n + 1} = 2 a_{n} - n + 1$ .

(1)、证明：数列 ${a_{n} - n}$ 为等比数列；

(2)、记 $b_{n} = \frac{2^{n} + 1}{a_{n} \cdot a_{n + 1}}$ ， $S_{n}$ 是数列 ${b_{n}}$ 前 $n$ 项的和，求证： $S_{n} < \frac{1}{3}$ .

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19. 如图，在直角梯形 $A B C D$ 中， $A D // B C$ ， $∠ B A D = 90^{\circ}$ ，且 $A B = B C = \frac{1}{2} A D$ ， $E$ 是 $A D$ 的中点，将 $△ A B E$ 沿 $B E$ 折起到 $△ S B E$ 的位置，使平面 $S B E$ $⊥$ 平面 $B C D E$ .

(1)、求二面角 $B - S C - D$ 的正弦值；

(2)、在直线 $S B$ 上是否存在点 $P$ ，使 $P D ⊥$ 平面 $S B C$ ？若存在，请求出点 $P$ 所在的位置；若不存在，请说明理由.

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20. 有治疗某种疾病的

A 、 B

两种药物，为了分析药物的康复效果进行了如下随机抽样调查：

A 、 B

两种药物各有100位病人服用，他们服用药物后的康复时间（单位：天数）及人数记录如下：

服用 $A$ 药物：

康复时间	10	11	12	13	14	15	16
人数	9	14	16	15	16	18	12

服用 $B$ 药物：

康复时间	12	13	14	15	16	17	$a$
人数	11	15	14	16	18	16	10

假设所有病人的康复时间相互独立，所有病人服用药物后均康复.

(1)、若康复时间低于15天（不含15天），记该种药物对某病人为“速效药物”.当

a > 17

时，请完成下列

2 \times 2

列联表，并判断是否有99%的把握认为病人服用药物

A

比服用药物

B

更速效？

	速效人数	非速效人数	合计
服用A药物
服用B药物
合计

(2)、分别从服用

A 、 B

药物康复时间不同的人中，每种康复时间中各取一人，记服用

A

药物的7人为Ⅰ组，服用

B

药物的7人为Ⅱ组.现从Ⅰ、Ⅱ两组中随机各选一人，分别记为甲、乙.

① $a$ 为何值时，Ⅰ、Ⅱ两组人康复时间的方差相等（不用说明理由）；

②在①成立且 $a > 12$ 的条件下，求甲的康复时间比乙的康复时间长的概率.

参考数据：

P(K²≥k₀)	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005
k₀	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879

参考公式： $K^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + b) (a + c) (b + d)}$ ，其中n＝a＋b＋c＋d.

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21. 已知在平面直角坐标系中，圆 $A$ ： $x^{2} + y^{2} + 2 \sqrt{7} x - 57 = 0$ 的圆心为 $A$ ，过点 $B (\sqrt{7}, 0)$ 任作直线 $l$ 交圆 $A$ 于点 $C 、 D$ ，过点 $B$ 作与 $A D$ 平行的直线交 $A C$ 于点 $E$ .

(1)、求动点 $E$ 的轨迹方程；

(2)、设动点 $E$ 的轨迹与 $y$ 轴正半轴交于点 $P$ ，过点 $P$ 且斜率为 $k_{1,} k_{2}$ 的两直线交动点 $E$ 的轨迹于 $M 、 N$ 两点（异于点 $P$ ），若 $k_{1} + k_{2} = 6$ ，证明：直线 $M N$ 过定点.

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22. 已知函数 $f (x) = 3 x - x^{3} ，$ 若关于 $x$ 的方程 $f (x) = a$ 有两个正实数根 $x_{1} ， x_{2}$ 且 $x_{1} < x_{2}$ .

(1)、求实数 $a$ 的取值范围；

(2)、求证： $x_{2} - x_{1} < 2 - \frac{a}{2}$ .

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