江西省赣州市2021届高三上学期文数期末考试试卷

试卷更新日期：2021-03-04 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知R为实数集，集合 $A = {x | y = \lg (x + 3)}$ ， $B = {x | x \geq 2}$ ，则 $∁_{R} (A \cup B) =$ （）

A、 ${x | x < - 3}$ B、 ${x | x > - 3}$ C、 ${x | x \leq - 3}$ D、 ${x | - 3 < x \leq 2}$

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2. 已知复数 $z = \frac{a + i}{1 + i} (a \in R)$ 是纯虚数，则 $| z |$ 的值为（）

A、1 B、2 C、 $\frac{1}{2}$ D、-1

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3. 对具有线性相关关系的变量x，y，有一组观测数据 $(x_{i}, y_{i}) (i = 1, 2, \cdot \cdot \cdot, 8)$ ，其回归直线方程是 $y = - 4 x + a$ ，且 $x_{1} + x_{2} + \cdot \cdot \cdot + x_{8} = 2$ ， $y_{1} + y_{2} + \cdot \cdot \cdot + y_{8} = - 32$ ，则实数a的值为（）

A、-5 B、-24 C、5 D、-3

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4. 如图，正方形的边长为 $a$ ，以 $A ， C$ 为圆心，正方形边长为半径分别作圆，在正方形内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是（）

A、 $2 - \frac{π}{2}$ B、 $2 - \frac{π}{3}$ C、 $\frac{π}{3} - 1$ D、 $\frac{π}{2} - 1$

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5. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若 $2 a_{4} - a_{2} = 3$ ，则 $S_{11} =$ （）

A、30 B、33 C、36 D、66

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6. 已知函数 $f (x)$ 的图像向左平移 $\frac{π}{6}$ 个单位后，得到函数 $g (x) = \cos 2 x$ 的图像，则函数 $f (x)$ 的单调递增区间为（）

A、 $[k π - \frac{5 π}{12} ， k π + \frac{π}{12}]$ ， $k \in Z$ B、 $[k π + \frac{π}{6} ， k π + \frac{2 π}{3}]$ ， $k \in Z$ C、 $[k π - \frac{π}{3} ， k π + \frac{π}{6}]$ ， $k \in Z$ D、 $[k π - \frac{2 π}{3} ， k π - \frac{π}{6}]$ ， $k \in Z$

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7. 已知函数 $y = \log_{a} (x - 1) + 2 (a > 0, a \neq 1)$ 恒过定点A，则过点 $B (1, 1)$ 且以A点为圆心的圆的方程为（）

A、 ${(x - 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} = 1$ B、 ${(x - 2)}^{2} + {(y - 2)}^{2} = 2$ C、 ${(x + 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} = 5$ D、 ${(x - 2)}^{2} + {(y + 2)}^{2} = 10$

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8. 已知 $a = 2^{\sin \frac{π}{6}}$ ， $b = {(\tan \frac{7 π}{6})}^{2}$ ， $c = \log_{3} (\cos \frac{11 π}{6})$ ，则a，b，c的大小为（）

A、 $a > b > c$ B、 $a > c > b$ C、 $b > a > c$ D、 $b > c > a$

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9. 设定义域为R的奇函数 $f (x)$ 在 $(0, + \infty)$ 上为增函数，且 $f (- 4) = 0$ ，则不等式 $\frac{f (- x) - f (x)}{x} > 0$ 的解集是（）

A、 $(- 4, 0) \cup (4, + \infty)$ B、 $(- \infty, - 4) \cup (0, 4)$ C、 $(- 4, 0) \cup (0, 4)$ D、 $(- \infty, - 4) \cup (4, + \infty)$

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10. 我们学过用角度制与弧度制度量角，最近，有学者提出用“面度制”度量角，因为在半径不同的同心圆中，同样的圆心角所对扇形的面积与半径平方之比是常数，从而称这个常数为该角的面度数，这种用面度作为单位来度量角的单位制，叫做面度制.在面度制下，角 $θ$ 的面度数为 $\frac{π}{3}$ ，则角 $θ$ 的余弦值为（）

A、 $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ B、 $- \frac{1}{2}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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11. 如图是某四面体 $A B C D$ 水平放置时的三视图，图中网格纸的小正方形的边长为1，则四面体 $A B C D$ 外接球的体积为（）

A、 $\frac{500 π}{3}$ B、 $\frac{100 π}{3}$ C、 $\frac{125 π}{6}$ D、20π

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12. 若 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 是双曲线 $\frac{y^{2}}{a^{2}} - \frac{x^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 与椭圆 $\frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{25} = 1$ 的共同焦点，点P是两曲线的一个交点，且 $△ P F_{1} F_{2}$ 为等腰三角形，则该双曲线的渐近线方程是（）

A、 $y = \pm 2 \sqrt{2} x$ B、 $y = \pm \frac{\sqrt{2}}{4} x$ C、 $y = \pm \frac{\sqrt{7}}{3} x$ D、 $y = \pm \frac{3 \sqrt{7}}{7} x$

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二、填空题

13. 已知向量 $\vec{a} = (m, - 1)$ ， $\vec{b} = (- 2, - m + 1)$ ，若 $\vec{a} ⊥ (\vec{a} + \vec{b})$ ，则m=.

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14. 若曲线 $y = x \ln x + 1$ 在 $x = 1$ 处的切线与直线 $2 a x - (a - 1) y + 3 = 0$ 垂直，则a=.

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15. 已知不等式 ${\begin{array}{l} x - y \leq 0 \\ 3 x - y - 2 \geq 0 \\ x + y - 6 \leq 0 \end{array}$ 表示的平面区域为D，若存在 $(x ， y) \in D$ ，使得不等式 $x - 2 y - t \geq 0$ 成立，则实数t的最大值为.

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16. 已知数列 ${a_{n}}$ 的首项 $a_{1} = 2$ ，前n项和为 $S_{n}$ ，且 $S_{n} + S_{n + 1} = 2^{n + 1} - 1 (n \in N^{*})$ ，则 $S_{11} =$ .

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三、解答题

17. 在 $△ A B C$ 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且 $a \cos B = (2 c - b) \cos A$ .

(1)、求A；

(2)、已知 $b = 3$ ，若 $\vec{A B} + \vec{A C} = 2 \vec{A M}$ 且 $| \vec{A M} | = \frac{\sqrt{13}}{2}$ ，求 $△ A B C$ 的面积.

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18. 如图，一简单组合体的一个面 $A B C$ 内接于圆O， $A B$ 是圆O的直径，矩形 $B C D E$ 所在的平面垂直于圆O所在的平面.

(1)、证明：平面 $A D E ⊥$ 平面 $A D C$ ；

(2)、若 $A B = 2$ ， $A C = 1$ ， $∠ E A B = 45 °$ ，试求该简单组合体的体积.

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19. 2021届高考体检工作即将开展，为了了解高三学生的视力情况，某校医务室提前对本校的高三学生视力情况进行调查，在高三年级1000名学生中随机抽取了100名学生的体检数据，并得到如下图的频率分布直方图.

年级名次

是否近视

$1 ~ 100$

$101 ~ 1000$

近视

40

30

不近视

10

20

(1)、若直方图中前四组的频数依次成等比数列，试估计全年级高三学生视力的中位数（精确到0.01）；

(2)、该校医务室发现，学习成绩突出的学生，近视的比较多，为了研究学生的视力与学习成绩是否有关系，对抽取的100名学生名次在 $1 ~ 100$ 名和 $101 ~ 1000$ 名的学生的体检数据进行了统计，得到表中数据，根据表中的数据，能否在犯错的概率不超过0.05的前提下认为视力与学习成绩有关系?

(3)、在（2）中调查的不近视的学生中按照分层抽样抽取了6人，进一步调查他们良好的护眼习惯，求在这6人中任取2人，至少有1人的年级名次在 $1 ~ 100$ 名的概率.

$P (K^{2} \geq k)$

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

$k$

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

$K^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中 $n = a + b + c + d$ .

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20. 已知函数 $f (x) = \frac{e^{x}}{x} - k (\frac{1}{x} + \ln x)$ ，其中k为常数， $e = 2.71828$ …为自然对数的底数.

(1)、若 $k = e^{2}$ ，求函数 $f (x)$ 的极值；

(2)、若函数 $f (x)$ 在区间 $(1 ， 2)$ 上单调，求k的取值范围.

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21. 如图，已知抛物线 $M ： x^{2} = 2 p y (p > 0)$ 的焦点为 $F (0 ， 1)$ ，过焦点F作直线交抛物线于A，B两点，在A，B两点处的切线相交于N，再分别过A，B两点作准线的垂线，垂足分别为C，D.

(1)、求证：点N在定直线上；

(2)、是否存在点N，使得 $△ B D N$ 的面积是 $△ A C N$ 的面积和 $△ A B N$ 的面积的等差中项，若存在，请求出点N的坐标，若不存在，请说明理由.

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22. 在直角坐标系 $x O y$ 中，已知过点 $P (m, 0)$ 的直线 $l$ 的参数方程是 ${\begin{matrix} x = m + \frac{\sqrt{2}}{2} t \\ y = \frac{\sqrt{2}}{2} t \end{matrix}$ （ $t$ 为参数），以坐标原点为极点， $x$ 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 $C$ 的极坐标方程为 $ρ = 2 \cos θ$ .

(1)、求直线 $l$ 的普通方程和曲线 $C$ 的直角坐标方程；

(2)、若直线 $l$ 和曲线 $C$ 交于 $A$ ， $B$ 两点，且 $| P A | \cdot | P B | = 1$ ，求实数 $m$ 的值.

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23. 设函数 $f (x) = | 2 x + 1 | + | 2 x - a |$ ， $g (x) = | x + \frac{1}{x} | + 2$ .

(1)、若 $a = 1$ ，解不等式 $f (x) \geq 4$ ；

(2)、如果任意 $x_{1} \in R$ ，都存在 $x_{2} \in R$ ，使得 $f (x_{1}) = g (x_{2})$ ，求实数 $a$ 的取值范围.

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$P (K^{2} \geq k)$	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005
$k$	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879