湖北省2020-2021学年高二上学期数学元月期末快试试卷

试卷更新日期：2021-03-04 类型：期末考试

进入出卷网下载

一、单选题

1. 若直线 $l$ 的斜率是 $- \sqrt{3}$ ，是其倾斜角为（）

A、30° B、60° C、120° D、150°

查看试题解析
2. 若等差数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} + a_{3} = 4, a_{5} + a_{7} = - 4$ ，则等差数列 ${a_{n}}$ 的公差 $d =$ （）

A、2 B、1 C、0 D、-1

查看试题解析
3. 若 $a = 2^{0.3}, b = {0.3}^{2}, c = \log_{0.3} 2$ ，则（）

A、 $a < b < c$ B、 $a < c < b$ C、 $b < c < a$ D、 $c < b < a$

查看试题解析
4. 将全班50名同学排成一列，则甲在乙的前面，且丙在乙的后面的概率是（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{6}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{3}{50}$

查看试题解析
5. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若 $3 S_{n} = 2 a_{n} - 1$ ，则 $a_{1} a_{3} a_{5} =$ （）

A、8 B、-8 C、64 D、-64

查看试题解析
6. 1766年，德国有一位名叫提丢斯的中学数学老师，把数列0，3，6，12，24，48，96，……经过一定的规律变化，得到新数列：0.4，0.7，1，1.6，2.8，5.2，10，……，科学家发现，新数列的各项恰好为太阳系行星与太阳的平均距离，并据此发现了“天王星”､“谷神星”等行星，这个新数列就是著名的“提丢斯-波得定则”.根据规律，新数列的第8项为（）

A、14.8 B、19.2 C、19.6 D、20.4

查看试题解析
7. 已知抛物线 $C : x^{2} = 2 p y (p > 0)$ 的焦点是 $F$ ， $A$ 、 $B$ 、 $D$ 是抛物线 $C$ 上的点.若 $△ A B D$ 的重心是点 $(2, 3)$ ，且 $| A F | + | B F | + | D F | = 15$ ，则 $p =$ （）

A、4 B、6 C、8 D、12

查看试题解析
8. 已知圆 $M : x^{2} + y^{2} + 2 x = 0$ ，点 $P$ 是曲线 $C : y = \frac{1}{x + 1} (x > - 1)$ 上的动点，过点 $P$ 作圆 $M$ 的切线 $P A, P B$ ，切点为 $A, B$ ，当四边形 $P A M B$ 的面积最小时，线段 $A B$ 的长为（）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\sqrt{3}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、1

查看试题解析

二、多选题

9. 已知直线 $l ： x - a y + 1 = 0 (a \in R)$ ，则下列说法正确的是（）

A、直线 $l$ 过定点 $(- 1 ， 0)$ B、直线 $l$ 一定不与坐标轴垂直 C、直线 $l$ 与直线 $l^{'} ： - x + a y + m = 0 (m \in R)$ 一定平行 D、直线 $l$ 与直线 $l^{'} ： a x + y + m = 0 (m \in R)$ 一定垂直

查看试题解析
10. 已知正数 $x, y$ 满足 $x + y = 2$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $x y$ 的最大值是1 B、 $\frac{1}{x} + \frac{1}{y}$ 的最小值是2 C、 $x^{2} + y^{2}$ 的最小值是4 D、 $\frac{1}{x} + \frac{4}{y}$ 的最小值是 $\frac{9}{2}$

查看试题解析
11. 已知函数 $f (x) = | \sqrt{3} \sin (2 x - \frac{π}{6}) |$ ，则下列结论正确的是（）

A、函数 $f (x)$ 的最小正周期为 $π$ B、函数 $f (x)$ 的最大值为 $\sqrt{3}$ C、函数 $f (x)$ 的图象关于点 $(\frac{π}{12} ， 0)$ 对称 D、函数 $f (x)$ 的图象关于直线 $x = \frac{7 π}{12}$ 对称

查看试题解析
12. 设数列 ${a_{n}}, {b_{n}}$ 的前 $n$ 项和分别为 $S_{n}, T_{n}$ ， $S_{1} = 1, S_{n + 1} = \frac{n + 2}{n} S_{n}$ ，且 $b_{n} = \frac{a_{n + 1}^{2}}{a_{n} a_{n + 2}}$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $a_{2020} = 2020$ B、 $S_{n} = \frac{n (n + 1)}{2}$ C、 $b_{n} = 1 - \frac{1}{n (n + 2)}$ D、 $\frac{1}{3} \leq T_{n} - n < \frac{3}{4}$

查看试题解析

三、填空题

13. 已知向量 $\vec{a} = (1, - 1), \vec{b} = (- 2, t)$ ，若 $\vec{a} / / \vec{b}$ ，则 $\vec{a} \cdot \vec{b} =$ .

查看试题解析
14. 若方程 $x^{2} + y^{2} + 2 a x - 2 \sqrt{5} y + 12 a - 15 = 0$ 表示圆，则实数 $a$ 的取值范围是.

查看试题解析
15. 已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的离心率为 $e$ ，直线 $l : y = x$ 与双曲线 $C$ 交于 $M, N$ 两点，若 $| M N | = \sqrt{2} b$ ，则 $e$ 的值是.

查看试题解析
16. 如图，正二十面体是由20个等边三角形组成的正多面体，共有12个顶点，30条棱，20个面，是五个柏拉图多面体之一.如果把 $\sin 36^{\circ}$ 按 $\frac{3}{5}$ 计算，则棱长为6的正二十面体的外接球半径等于.

查看试题解析

四、解答题

17.
① $2 b \sin A = a \tan B$ ；② $a^{2} + c^{2} + b c - 6 b = 2 a c \cos B$ ；③ $\sin^{2} B - \sin^{2} C = \frac{\sin B + \sin C}{4}$ ，在这三个条件中任选一个，补充在下面问题中的横线上，并加以解答.

在 $△ A B C$ 中，内角 $A, B, C$ 的对边分别是 $a, b, c$ ，若 $a = 4, A = \frac{π}{6}$ ，且 ▲ ，求 $△ A B C$ 的面积.

注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答记分.

查看试题解析
18. 已知正项数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ .若 $a_{2} = 4, S_{n + 1} = S_{n} + \sqrt{a_{n + 1}} + a_{n} + \sqrt{a_{n}}$ .

(1)、求证：数列 ${\sqrt{a_{n}}}$ 是等差数列；

(2)、设 $b_{n} = \frac{2}{\sqrt{a_{n} a_{n + 1}}}$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ .

查看试题解析
19. 已知 $α \in (0, π)$ ， $\vec{a} = (- 1, \cos (\frac{π}{2} - α)), \vec{b} = (\sin (\frac{3 π}{2} + α), 1)$ ，且 $\vec{a} \cdot \vec{b} = \frac{1}{5}$ .

(1)、求 $\sin α - \cos α$ 的值；

(2)、若 $β \in (π, 2 π), \tan (α - β) = 7$ ，求 $β$ 的值.

查看试题解析
20. 已知直线 $l$ 的斜率为-2，且与两坐标轴的正半轴围成的三角形的面积等于1.圆 $C$ 的圆心在直线 $l$ 上，且被 $x$ 轴截得的弦长为4.

(1)、求直线 $l$ 的方程；

(2)、若直线 $l^{'} ： x - 2 y - 1 = 0$ 与圆 $C$ 相切，求圆 $C$ 的方程.

查看试题解析
21. 如图，在四棱锥 $S - A B C D$ 中，平面 $S A D ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $∠ A S D = ∠ A D C = ∠ B C D = 90^{\circ}$ ， $S A = S D$ 且 $B C = D C = \frac{1}{2} A D$ .

(1)、求证： $S C ⊥ B D$ ；

(2)、若点 $M$ 是线段 $S D$ 的中点，求二面角 $M - A B - D$ 的余弦值.

查看试题解析
22. 设曲线 $C : m x^{2} + n y^{2} = 1 (m > 0, n > 0)$ 过 $M (2, 3), N (2 \sqrt{2}, \sqrt{6})$ 两点，直线 $l : y = k (x - 2)$ 与曲线 $C$ 交于 $P, Q$ 两点，与直线 $x = 8$ 交于点 $R$ .

(1)、求曲线 $C$ 的方程；

(2)、记直线 $M P, M Q, M R$ 的斜率分别为 $k_{1}, k_{2}, k_{3}$ ，求证： $k_{1} + k_{2} = λ k_{3}$ ，其中 $λ$ 为定值.

查看试题解析