江西省赣州市2021届高三上学期理数期末考试试卷

试卷更新日期：2021-03-04 类型：期末考试

进入出卷网下载

一、单选题

1. 复数 $z = \frac{1 - 2 i}{1 + i^{3}}$ 的虚部为（）

A、 $- \frac{1}{2} i$ B、 $\frac{1}{2} i$ C、 $- \frac{1}{2}$ D、 $\frac{1}{2}$

查看试题解析
2. 已知函数 $f (x) = x^{2} - 2 x - 3$ ，集合 $M = {x | f (x) \leq 0}$ ， $N = {x | f^{'} (x) > 0}$ （其中 $f^{'} (x)$ 是 $f (x)$ 的导数），则 $M \cap N =$ （）

A、 $[- 1 ， 1)$ B、 $[- 1 ， 1]$ C、 $(1 ， 3]$ D、 $[1 ， 3]$

查看试题解析
3. 已知函数 $f (x) = {\begin{matrix} f (x - 3), x \geq 0 \\ \log_{2} (- x) + 1, x < 0 \end{matrix}$ ，则 $f (2021) =$ （）

A、1 B、2 C、 $\log_{2} 6$ D、3

查看试题解析
4. 某产品在某零售摊位上的零售价 $x$ （元）与每天的销售量 $y$ （个）统计如下表：

$x$

16

17

18

19

$y$

50

$m$

34

31

据上表可得回归直线方程为 $\hat{y} = - 6.4 x + 151$ ，则上表中的 $m$ 的值为（）

A、38 B、39 C、40 D、41

查看试题解析
5. 已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a} - \frac{y^{2}}{2 - a^{2}} = 1$ 的离心率为 $\sqrt{2}$ ，则实数a的值为（）

A、1 B、±1 C、-2 D、1或-2

查看试题解析
6. 有以下四种变换方式：
①向左平移 $\frac{π}{12}$ 个单位长度，再将每个点的横坐标伸长为原来的2倍；②向左平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度，再将每个点的横坐标伸长为原来的2倍；③再将每个点的横坐标伸长为原来的2倍，再向左平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度；④再将每个点的横坐标伸长为原来的2倍，再向右平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度；

其中能将函数 $y = \sin (2 x - \frac{π}{6})$ 的图象变为函数 $y = \sin x$ 图象的是（）

A、①③ B、②③ C、①④ D、②④

查看试题解析
7. 实数 $x$ ， $y$ 满足约束条件 ${\begin{matrix} x + y - 4 \leq 0 \\ x - 2 y + 5 \leq 0 \\ 2 x - y + 7 \geq 0 \end{matrix}$ ，则 $z = \frac{2 x + y - 4}{x - 2}$ 的最大值为（）

A、 $- \frac{5}{3}$ B、 $- \frac{1}{5}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{9}{5}$

查看试题解析
8. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的各条棱中，最长的棱的长度为（）

A、5 B、 $4 \sqrt{2}$ C、 $\sqrt{34}$ D、 $\sqrt{41}$

查看试题解析
9. 我们学过用角度制与弧度制度量角，最近，有学者提出用“面度制”度量角，因为在半径不同的同心圆中，同样的圆心角所对扇形的面积与半径平方之比是常数，从而称这个常数为该角的面度数，这种用面度作为单位来度量角的单位制，叫做面度制.在面度制下，角 $θ$ 的面度数为 $\frac{π}{3}$ ，则角 $θ$ 的余弦值为（）

A、 $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ B、 $- \frac{1}{2}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

查看试题解析
10. 若 $a = 3^{e}$ ， $b = e^{3}$ ， $c = π^{3}$ ，其中 $e$ 为自然对数的底数，则（）

A、 $a < b < c$ B、 $b < a < c$ C、 $a < c < b$ D、 $b < c < a$

查看试题解析
11. 已知梯形 $A B C D$ 的上底 $A B$ 长为1，下底 $C D$ 长为4，对角线 $A C$ 长为 $\sqrt{13}$ ， $B D$ 长为 $2 \sqrt{2}$ ，则 $△ A B D$ 的面积为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

查看试题解析
12. 过抛物线 $y^{2} = 4 x$ 的焦点作两条相互垂直的弦 $A B$ ， $C D$ ，且 $| A B | + | C D | = λ | A B | \cdot | C D |$ ，则 $λ$ 的值为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{4}$ C、 $\frac{1}{8}$ D、 $\frac{1}{16}$

查看试题解析

二、填空题

13. 已知向量 $\vec{a} = (1, 3)$ ， $\vec{b} = (4, k)$ ，若 $\vec{a} ⊥ (\vec{a} - \vec{b})$ ，则 $k =$ .

查看试题解析
14. 在 ${(x - 1)}^{3} {(x + 1)}^{4}$ 的展开式中， $x^{5}$ 的系数为（用数字作答）.

查看试题解析
15. 正方形 $A B C D$ 的边长为2，以 $A$ 为起点作射线交边 $B C$ 于点 $E$ ，则 $B E < \frac{2 \sqrt{3}}{3}$ 的概率为.

查看试题解析
16. 在边长为1的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，球 $O_{1}$ 同时与以 $B$ 为公共顶点的三个面相切，球 $O_{2}$ 同时与以 $D_{1}$ 为公共顶点的三个面相切，且两球相切于点 $E$ ，若球 $O_{1}$ ， $O_{2}$ 半径分别为 $r_{1}$ ， $r_{2}$ ，则 $\frac{1}{r_{1}} + \frac{4}{r_{2}}$ 的最小值为.

查看试题解析

三、解答题

17. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，满足 $S_{3} = 2 a_{3}$ ， $a_{8} = 2 a_{5} - 2$ .

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、记 $b_{n} = \frac{1}{a_{n} \cdot a_{n + 1} \cdot a_{n + 2}}$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ .

查看试题解析
18. 在如图所示的几何体中， $△ A B C$ ， $△ A C E$ ， $△ B C D$ 均为等边三角形，且平面 $A C E ⊥$ 平面 $A B C$ ，平面 $B C D ⊥$ 平面 $A B C$ .

(1)、证明： $D E / / A B$ ；

(2)、若 $A B = 4$ ，求二面角 $B - C E - D$ 的余弦值.

查看试题解析
19. 一黑色袋里装有除颜色不同外其余均相同的8个小球，其中白色球与黄色球各3个，红色球与绿色球各1个.现甲、乙两人进行摸球得分比赛，摸到白球每个记1分、黄球每个记2分、红球每个记3分、绿球每个记4分，以得分高获胜.比赛规则如下：①只能一个人摸球；②摸出的球不放回；③摸球的人先从袋中摸出1球；若摸出的是绿色球，则再从袋子里摸出2个球；若摸出的不是绿色球，则再从袋子里摸出3个球，他的得分为两次摸出的球的记分之和；④剩下的球归对方，得分为剩下的球的记分之和.

(1)、若甲第一次摸出了绿色球，求甲的得分不低于乙的得分的概率；

(2)、如果乙先摸出了红色球，求乙得分 $ξ$ 的分布列和数学期望 $E (ξ)$ .

查看试题解析
20. 过平面上点 $P$ 作直线 $l_{1} : y = \frac{1}{2} x$ ， $l_{2} : y = - \frac{1}{2} x$ 的平行线分别交 $y$ 轴于点 $M$ ， $N$ 且 ${| O M |}^{2} + {| O N |}^{2} = 8$ .

(1)、求点 $P$ 的轨迹 $C$ 方程；

(2)、若过点 $Q (0, 1)$ 的直线 $l$ 与轨迹 $C$ 交于 $A$ ， $B$ 两点，若 $S_{△ A O B} = \sqrt{7}$ ，求直线 $l$ 的方程.

查看试题解析
21. 已知函数 $f (x) = x e^{x}$ （其中 $e$ 为自然对数的底数）.

(1)、求函数 $f (x)$ 的最小值；

(2)、求证： $f (x) > e^{x} + \ln x - \frac{1}{2}$ .

查看试题解析
22. 在直角坐标系 $x O y$ 中，已知过点 $P (m, 0)$ 的直线 $l$ 的参数方程是 ${\begin{matrix} x = m + \frac{\sqrt{2}}{2} t \\ y = \frac{\sqrt{2}}{2} t \end{matrix}$ （ $t$ 为参数），以坐标原点为极点， $x$ 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 $C$ 的极坐标方程为 $ρ = 2 \cos θ$ .

(1)、求直线 $l$ 的普通方程和曲线 $C$ 的直角坐标方程；

(2)、若直线 $l$ 和曲线 $C$ 交于 $A$ ， $B$ 两点，且 $| P A | \cdot | P B | = 1$ ，求实数 $m$ 的值.

查看试题解析
23. 设函数 $f (x) = | 2 x + 1 | + | 2 x - a |$ ， $g (x) = | x + \frac{1}{x} | + 2$ .

(1)、若 $a = 1$ ，解不等式 $f (x) \geq 4$ ；

(2)、如果任意 $x_{1} \in R$ ，都存在 $x_{2} \in R$ ，使得 $f (x_{1}) = g (x_{2})$ ，求实数 $a$ 的取值范围.

查看试题解析

$x$	16	17	18	19
$y$	50	$m$	34	31