福建省漳州市2020-2021学年高二上学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2021-03-04 类型：期末考试

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一、单选题

1. 命题“ $\exists x \in R$ ， $x^{2} - 2 x + 3 < 0$ ”的否定是（）

A、 $\exists x \in R$ ， $x^{2} - 2 x + 3 \geq 0$ B、 $\forall x \in R$ ， $x^{2} - 2 x + 3 \geq 0$ C、 $\exists x \notin R$ ， $x^{2} - 2 x + 3 \geq 0$ D、 $\forall x \notin R$ ， $x^{2} - 2 x + 3 \geq 0$

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2. 直线 $x + y + 2 = 0$ 的倾斜角是（）

A、 $\frac{3 π}{4}$ B、 $\frac{π}{2}$ C、 $\frac{π}{4}$ D、 $- \frac{π}{4}$

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3. 已知椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的长轴长为 $4$ ，焦距为 $2$ ，则（）

A、 $a = 4$ B、 $a = 1$ C、 $b = 2 \sqrt{3}$ D、 $b = \sqrt{3}$

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4. 圆心在y轴上，半径长为 $\sqrt{2}$ ，且过点 $(1, - 2)$ 的圆的方程为（）

A、 $x^{2} + {(y + 1)}^{2} = 2$ B、 $x^{2} + {(y - 3)}^{2} = 2$ C、 $x^{2} + {(y + 1)}^{2} = 2$ 或 $x^{2} + {(y + 3)}^{2} = 2$ D、 $x^{2} + {(y - 1)}^{2} = 2$ 或 $x^{2} + {(y - 3)}^{2} = 2$

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5. 已知三棱锥 $O - A B C$ 中，点 $M$ 为棱 $O A$ 的中点，点 $G$ 为 $△ A B C$ 的重心，设 $\vec{O A} = \vec{a}$ ， $\vec{O B} = \vec{b}$ ， $\vec{O C} = \vec{c}$ ，则向量 $\vec{M G} =$ （）

A、 $- \frac{1}{6} \vec{a} + \frac{1}{3} \vec{b} + \frac{1}{3} \vec{c}$ B、 $\frac{1}{6} \vec{a} - \frac{1}{3} \vec{b} - \frac{1}{3} \vec{c}$ C、 $\frac{1}{6} \vec{a} - \frac{1}{3} \vec{b} + \frac{1}{3} \vec{c}$ D、 $- \frac{1}{6} \vec{a} + \frac{1}{3} \vec{b} - \frac{1}{3} \vec{c}$

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6. 继刘徽之后，祖冲之为求得更精确的圆周率而作了艰苦卓绝的努力.据《惰书》记载，他已算得 $3.1415926 < π < 3.1415927$ .他还得到圆周率的两个近似分数值 $\frac{355}{113}$ 和 $\frac{22}{7}$ ，并称 $\frac{355}{113}$ 为密率， $\frac{22}{7}$ 为约率，他的圆周率小数值则被后世称为祖率.现用随机模拟的方法得到圆周率，从区间 $[0 ， 1]$ 随机抽取2000个数，构成1000个数对 $(x ， y)$ ，其中两数的平方和小于1的数对 $(x ， y)$ 共有785个，则用随机模拟的方法得到的 $π$ 的近似值为（）

A、 $\frac{3141}{1000}$ B、 $\frac{355}{113}$ C、 $\frac{157}{50}$ D、 $\frac{22}{7}$

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7. 已知双曲线 $E : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左焦点为 $F_{1}$ ，左顶点为A，设B为E右支上一点，O为坐标原点，直线 $O B$ 与E交于另一点C.若直线 $A B$ 平分线段 $F_{1} C$ ，则E的离心率为（）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\sqrt{3}$ C、2 D、3

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8. 已知正三棱锥 $P - A B C$ 的侧面 $P A B$ 上动点Q的轨迹是以P为焦点， $A B$ 为准线的抛物线，若点Q到底面 $A B C$ 的距离为d，且 $| P Q | = 2 d$ ，点H为棱 $P C$ 的中点，则直线 $B H$ 与 $A C$ 所成角的余弦值为（）

A、 $\frac{\sqrt{85}}{85}$ B、 $\frac{\sqrt{21}}{14}$ C、 $\frac{3 \sqrt{85}}{85}$ D、 $\frac{3 \sqrt{21}}{14}$

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二、多选题

9. 下列说法正确的是（）

A、命题“若 $x \neq 1$ ，则 $x^{2} \neq 1$ ”的否命题是“若 $x \neq 1$ ，则 $x^{2} = 1$ ” B、若 $p \lor q$ 为真命题， $p \land q$ 为假命题，则p，q一真一假 C、“ $m > 1$ ”是“ $m > 2$ ”的必要不充分条件 D、 $y = \sqrt{1 - {(x - 1)}^{2}}$ 的图象与坐标轴围成的面积为 $π$

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10. 同时抛掷两枚质地均匀的骰子，则下列说法正确的是（）

A、一共有36种不同的结果 B、两枚骰子向上的点数相同的概率是 $\frac{1}{6}$ C、两枚骰子向上的点数之和为5的概率是 $\frac{5}{36}$ D、两枚骰子向上的点数之差的绝对值小于4的概率为 $\frac{5}{6}$

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11. 已知圆 $O ： x^{2} + y^{2} = 4$ 和圆 $M ： x^{2} + y^{2} - 4 x - 2 y + 4 = 0$ 交于P，Q两点，则（）

A、两圆有两条公切线 B、 $P Q$ 垂直平分线段 $O M$ C、直线 $P Q$ 的方程为 $2 x + y - 4 = 0$ D、线段 $P Q$ 的长为 $\frac{4 \sqrt{5}}{5}$

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12. 已知正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为 $1$ ， $H$ 为棱 $A A_{1}$ 上的动点，下列说法正确的是（）

A、 $C H ⊥ B D$ B、二面角 $D_{1} - A B_{1} - C$ 的大小为 $\frac{2 π}{3}$ C、三棱锥 $H - B C C_{1}$ 的体积为定值 D、若 $C H ⊥$ 平面 $β$ ，则直线 $C D$ 与平面 $β$ 所成角的正弦值的取值范围为 $[\frac{2}{3} ， \frac{\sqrt{2}}{2}]$

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三、填空题

13. 若某中学7个班参加“庆国庆”歌咏比赛的得分如茎叶图所示，则这组数据的中位数是.

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14. 某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表：

广告费用x/万元

1

2

3

4

销售额y/万元

2

3

m

n

现已知 $\bar{y} = 5$ ，且回归方程 $\hat{y} = b x + a$ 中的 $b = 4$ ，据此模型预测广告费用为10万元时，销售额为万元.

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15. 在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $∠ B A C = 90 °$ ， $A A_{1} = A B = A C = 4$ ，点E为棱 $C C_{1}$ 上一点，且异面直线 $A_{1} B$ 与 $A E$ 所成角的余弦值为 $\frac{\sqrt{130}}{130}$ ，则 $C E$ 的长为.

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16. 已知双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的右顶点为 $A$ ，左右焦点分别为 $F_{1}$ 、 $F_{2}$ . $M$ 、 $N$ 是 $C$ 的一条渐近线上两点， $△ A M N$ 是边长为 $b$ 的等边三角形.

(1)、则 $C$ 的渐近线方程为；

(2)、若 $b = 2$ ，且点 $M$ 的横坐标小于点 $N$ 的横坐标，则 $| F_{1} N | =$ .

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四、解答题

17. 已知圆C方程为 $x^{2} + y^{2} - 2 x + 4 y + 1 = 0$ .

(1)、求圆C的圆心坐标及半径；

(2)、求直线 $l : x + y - 1 = 0$ 被圆C截得的弦长.

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18. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 是正方形， $P A ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $P A = A B$ ，M是 $P D$ 的中点.

(1)、证明： $P B //$ 平面 $A C M$ ；

(2)、求直线 $C D$ 与平面 $A C M$ 所成角的正弦值.

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19. 已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ 、 $F_{2}$ ，若 $C$ 过点 $A (1, \frac{3}{2})$ ，且 $| A F_{1} | + | A F_{2} | = 4$ .

(1)、求 $C$ 的方程；

(2)、过点 $F_{2}$ 且斜率为 $1$ 的直线与 $C$ 交于点 $M$ 、 $N$ ，求 $△ O M N$ 的面积.

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20. 2020年是全面建成小康社会目标实现之年，是全面打赢脱贫攻坚战收官之年.为帮助某村巩固扶贫成果，该村的结对帮扶共建企业在该村建立了一座精米加工厂，并对粮食原料进行深加工，研发出一种新产品，已知该产品的质量以某项指标值 $k (60 \leq k < 100)$ 为衡量标准，质量指标的等级划分如表：

质量指标值 $k$

$90 \leq k < 100$

$80 \leq k < 90$

$70 \leq k < 80$

$60 \leq k < 70$

产品等级

$A$

$B$

$C$

$D$

为了解该产品的生产效益，该企业先进行试生产，从中随机抽取了1000件产品，测量了每件产品的指标值，得到如下的产品质量指标值的频率分布直方图；设 $\frac{频率}{组距} = M$ ，当 $k \in [10 n ， 10 n + 10) (6 \leq n \leq 8 ， n \in N)$ 时，满足 $M = \frac{2^{n - 5}}{200}$ .

(1)、试估计样本质量指标值 $k$ 的中位数 $m$ ；

(2)、从样本质量指标值不小于80的产品中采用分层抽样的方法抽取7件产品，然后从这 $7$ 件产品中任取2件产品，求至少有 $1$ 件 $A$ 级品的概率.

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21. 如图，矩形 $A B C D$ 中， $A B = \sqrt{6}$ ， $A D = \sqrt{3}$ ，E为 $C D$ 的中点，将 $△ D A E$ 沿 $A E$ 翻折，得到四棱锥 $D_{1} - A B C E$ .

(1)、证明： $D_{1} B ⊥ A E$ ；

(2)、在①直线 $D_{1} B$ 与平面 $A B C E$ 所成角为 $\frac{π}{6}$ ，②若 $A E$ 交 $B D$ 于O， $△ D_{1} O B$ 的面积为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，③ $D_{1}$ 到平面 $A B C E$ 的距离为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解决该问题：已知 ▲ ，求锐二面角 $O - D_{1} B - E$ 的余弦值.

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22. 已知抛物线 $C ： y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点为 $F$ ，点 $T (1 ， \sqrt{2 p})$ 到 $F$ 的距离为 $\frac{3}{2}$ .

(1)、求抛物线 $C$ 的方程；

(2)、过焦点 $F$ 的直线 $l$ 与 $C$ 交于 $A$ 、 $B$ 两点，以 $E (\frac{5}{2} ， 0)$ 为圆心的圆与直线 $A B$ 相切于点 $M$ ，点 $M$ 为线段 $A B$ 中点.点 $D (m ， n) (- 1 < n < 1)$ 在 $C$ 的准线上运动.
①若 $n = 0$ ，且点 $A$ 、 $B$ 关于 $x$ 轴对称，求四边形 $D A E B$ 的面积；

②求四边形 $D A E B$ 面积的取值范围.

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质量指标值 $k$	$90 \leq k < 100$	$80 \leq k < 90$	$70 \leq k < 80$	$60 \leq k < 70$
产品等级	$A$	$B$	$C$	$D$

广告费用x/万元	1	2	3	4
销售额y/万元	2	3	m	n