福建省南平市2020-2021学年高二上学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2021-03-04 类型：期末考试

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一、单选题

1. 若复数 $z$ 满足 $i z = 2 + 4 i$ （其中 $i$ 为虚数单位），在复平面内 $z$ 对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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2. 下列命题中假命题是（）

A、 $\exists x_{0} \in R, \log_{2} x_{0} = 0$ B、 $\forall x \in R, x^{2} > 0$ C、 $\exists x_{0} \in R, \cos x_{0} = 1$ D、 $\forall x \in R, 2^{x} > 0$

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3. 设函数 $f (x) = \sin x + a \cos x$ ( $a$ 为常数）则“ $a = 0$ ”是 $f (x)$ 为奇函数的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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4. 阿基米德（公元前287年—公元前212年），古希腊伟大的哲学家、数学家、物理学家、力学家.他发展的“逼近法”为近代的“微积分”的创立奠定了基础.他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.若椭圆 $C$ 的焦点在 $x$ 轴上，且椭圆 $C$ 的离心率为 $\frac{1}{2}$ ，面积为 $2 \sqrt{3} π$ ，则椭圆 $C$ 的方程为（）

A、 $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ B、 $\frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{16} = 1$ C、 $\frac{x^{2}}{3} + \frac{y^{2}}{4} = 1$ D、 $\frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{9} = 1$

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5. 已知 $x = 1$ 是函数 $f (x) = a x^{3} - 3 x^{2}$ 的极小值点，则函数 $f (x)$ 的极小值为（）

A、0 B、-1 C、2 D、4

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6. 若直线 $l$ 的方向向量 $\vec{a} = (1, 0, 1)$ ，平面 $β$ 的法向量 $\vec{n} = (1, 0, - 1)$ ，则（）

A、 $l \subset β$ B、 $l ⊥ β$ C、 $l // β$ D、 $l \subset β$ 或 $l // β$

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7. 函数 $f (x) = a x^{2} - 2 \ln x - 1$ 有两个不同零点，则 $a$ 的取值范围为（）

A、 $(- \infty ， e)$ B、 $(0 ， e)$ C、 $(0 ， 1)$ D、 $(- \infty ， 1)$

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8. 如图，已知 $F_{1}$ 为双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的左焦点，过点 $F_{1}$ 的直线与圆 $O ： x^{2} + y^{2} = \frac{1}{4} (a^{2} + b^{2})$ 于 $A ， B$ 两点（ $A$ 在 $F_{1} ， B$ 之间），与双曲线 $C$ 在第一象限的交点为 $P$ ， $O$ 为坐标原点，若 $| F_{1} A | = | B P |$ ， $∠ A O B = 120 °$ ，则双曲线的离心率为（）

A、 $\frac{2 \sqrt{14}}{7}$ B、 $\frac{2 \sqrt{15}}{7}$ C、 $\frac{2 \sqrt{14} + 2}{7}$ D、 $\frac{2 \sqrt{15} + 2}{7}$

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二、多选题

9. 下列说法正确的是（）

A、 $x > 3$ 是 $x^{2} > 4$ 的充分不必要条件 B、“ $\exists x_{0} \in R, x_{0} + \frac{1}{x_{0}} \geq 2$ ”的否定是“ $\forall x \in R, x + \frac{1}{x} > 2$ ” C、若 $\tan (π + α) = 2$ ，则 $\sin 2 α = \pm \frac{4}{5}$ D、定义在 $[a, b]$ 上的偶函数 $f (x) = x^{2} + (a + 5) x + b$ 的最大值为 $30$ .

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10. 已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{5}}{2}$ ，且双曲线C的左焦点 $F$ 在直线 $2 x + 3 y + 2 \sqrt{5} = 0$ 上， $A, B$ 分别是双曲线 $C$ 的左，右顶点，点 $P$ 是双曲线 $C$ 的右支上位于第一象限的动点，记 $P A, P B$ 的斜率分别为 $k_{1}$ ， $k_{2}$ ，则下列说法正确的是（）

A、双曲线 $C$ 的方程为 $\frac{x^{2}}{4} - y^{2} = 1$ B、双曲线 $C$ 的渐近线方程为 $y = \pm 2 x$ C、 $F$ 点到双曲线 $C$ 的渐近线距离为 $2$ D、 $k_{1} \cdot k_{2}$ 为定值 $\frac{1}{4}$

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11. 如图，已知在棱长为2的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $P$ 为 $A D_{1}$ 上的动点.则下列结论正确的有（）

A、当 $P$ 运动到 $A D_{1}$ 中点时，直线BP与平面ABCD所成角的正切值为 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ B、当 $P$ 在直线 $A D_{1}$ 上运动时，三棱锥 $A_{1} - B P C_{1}$ 的体积不变 C、当 $P$ 在直线 $A D_{1}$ 上运动到某一点时，直线 $B_{1} C$ 与平面 $B P C_{1}$ 所成角为 $\frac{π}{3}$ D、当 $P$ 在直线 $A D_{1}$ 上运动时，△ $A_{1} P B_{1}$ 的面积存在最小值 $\sqrt{2}$

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12. 已知： $f (x)$ 是奇函数，当 $x > 0$ 时， $f^{'} (x) - f (x) > 1$ ， $f (1) = 3$ ，则（）

A、 $f (4) > e f (3)$ B、 $f (- 4) > e^{2} f (- 2)$ C、 $f (4) > 4 e^{3} - 1$ D、 $f (- 4) < - 4 e^{2} - 1$

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三、填空题

13. 若复数 $z = (2 + i) (3 + a i)$ 为纯虚数（ $i$ 为虚数单位），则实数 $a =$ .

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14. 已知向量 $\vec{a} = (1, 1, 0)$ ， $\vec{b} = (- 1, 0, 2)$ ，若 $(\vec{a} + k \vec{b})$ 与 $(2 \vec{a} + \vec{b})$ 互相垂直，则实数 $k$ 的值为．

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15. 在“中国花灯之乡”——广东省兴宁市，流传600多年的兴宁花灯历史文化积淀浓厚，集艺术性、观赏性、民俗性于一体，扎花灯是中国一门传统手艺，逢年过节时常常在大街小巷看到各式各样的美丽花灯，一大批中小学生花灯爱好者积极参与制作花灯．现有一个花灯，它外围轮廓是由两个形状完全相同的抛物线绕着其对称轴旋转而来（如图），花灯的下顶点为 $A$ ，上顶点为 $B$ ， $A B = 8$ 分米，在它的内部放有一个半径为 $1$ 分米的球形灯泡，球心 $C$ 在轴 $A B$ 上，且 $A C = 2$ 分米．已知球形灯泡的球心 $C$ 到四周轮廓上的点的最短距离是在下顶点 $A$ 处取到，建立适当的坐标系可得其中一支抛物线的方程为 $y = a x^{2} (a > 0)$ ，则实数 $a$ 的取值范围是

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16. 已知： $f (x) = x - a \ln x - 1$ ，若 $f (x)$ 有最值，则 $a$ 的取值范围为；若当 $x \in (e ， e^{2})$ 时， $f (x) \geq 0$ ，则 $a$ 的取值范围为．

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四、解答题

17. 设 $p : 2 \leq x < 4$ ， $q :$ 实数 $x$ 满足 $x^{2} - 2 a x - 3 a^{2} < 0 (a > 0)$

(1)、若 $a = 1$ ，且 $p, q$ 都为真命题，求x的取值范围；

(2)、若 $p$ 是 $q$ 的充分不必要条件，求实数a的取值范围．

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18. 设抛物线 $C : y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点为 $F$ ， $M (1, 2)$ 是抛物线 $C$ 上的点.

(1)、求抛物线 $C$ 的方程；

(2)、若过点 $(2, 0)$ 的直线 $l$ 与抛物线 $C$ 交于不同的两点 $A, B$ ，且 $| A F | \cdot | B F | = 13$ ，求直线 $l$ 的方程.

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19. 某偏远贫困村积极响应国家“扶贫攻坚”政策，在对口帮扶单位的支持下建了一个工厂，已知每件产品的成本为 $a$ 元，预计当每件产品的售价为 $x$ 元 $(3 \leq x \leq 8)$ 时，年销量为 ${(9 - x)}^{2}$ 万件.若每件产品的售价定为 $6$ 元时，预计年利润为 $27$ 万元

(1)、试求每件产品的成本 $a$ 的值；

(2)、当每件产品的售价定为多少元时？年利润 $y$ （万元）最大，并求最大值．

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20. 如图①，在等腰梯形 $A B C D$ 中， $B C / / A D$ ， $A B = \sqrt{3}$ ， $B C = 1$ ， $A D = 3$ ， $B P ⊥ A D$ ，将 $△ A B P$ 沿 $B P$ 折起，使平面 $A B P ⊥$ 平面 $P B C D$ ，得到如图②所示的四棱锥 $A - B C D P$ ，其中 $M$ 为 $A D$ 的中点．

(1)、试在线段 $C D$ 上找一点 $N$ ，使得 $M N$ ∥平面 $A B C$ ，并说明理由；

(2)、求二面角 $M - P C - D$ 的余弦值．

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21. 已知离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 的椭圆 $E : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的两个焦点分别为 $F_{1}$ 、 $F_{2}$ ．过 $F_{1}$ 的直线交椭圆于 $A$ 、 $B$ 两点，且 $△ A B F_{2}$ 的周长为 $8$ ．

(1)、求椭圆 $E$ 的标准方程；

(2)、若过点 $P (m, 0) (m > 1)$ 作圆 $O : x^{2} + y^{2} = 1$ 的切线 $l$ 交椭圆 $E$ 于 $M$ 、 $N$ 两点，求 $△ M N O$ 面积的最大值．

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22. 已知，函数 $f (x) = e^{x} - a x - 1$ $(a \in R)$ ， $g (x) = x \ln x$ ．

(1)、求函数 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、若直线 $y = x - 1$ 是函数 $y = f (x)$ 图象的切线，求证：当 $x > 0$ 时， $f (x) \geq g (x)$ ．

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