湖北省宜昌市2020-2021学年高三上学期数学2月联考试卷

试卷更新日期：2021-03-04 类型：期末考试

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一、单选题

1. 设全集 $U = R$ ，集合 $M = {x ∣ x \leq 0}$ ，集合 $N = {x ∣ x^{2} \leq 1}$ ，则 $(∁_{U} M) \cup N =$ （）

A、 $(0 ， 1]$ B、 $[- 1 ， 0]$ C、 $[- 1 ， + \infty)$ D、 $(- \infty ， - 1]$

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2. 某校一次高三年级数学检测，经抽样分析，成绩 $ξ$ 占近似服从正态分布 $N (95 ， σ^{2})$ ，且 $P (91 < ξ \leq 95) = 0.25$ ．若该校有700人参加此次检测，估计该校此次检测数学成绩不低于99分的人数为（）

A、100 B、125 C、150 D、175

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3. 已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的一条渐近线过点 $(3 ， 4)$ ，则该双曲线的离心率为（）

A、 $\frac{5}{4}$ B、 $\frac{5}{3}$ C、 $\frac{4}{3}$ D、 $\frac{3}{5}$

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4. 若两个非零向量 $\vec{a}$ 、 $\vec{b}$ 满足 $| \vec{a} + \vec{b} | = | \vec{a} - \vec{b} | = 2 | \vec{a} |$ ，则 $\vec{a} - \vec{b}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{2 π}{3}$ D、 $\frac{5 π}{6}$

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5. 已知 $a = \log_{2} \frac{3}{2}$ ， $b = {(\frac{6}{7})}^{- \frac{1}{4}}$ ， $c = \sin 1468 °$ ，则（）

A、 $b > a > c$ B、 $a > b > c$ C、 $b > c > a$ D、 $a > c > b$

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6. 攒尖是古代中国建筑中屋顶的一种结构形式．宋代称为撮尖，清代称攒尖通常有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、八角攒尖．也有单檐和重檐之分．多见于亭阁式建筑，园林建筑以四角攒尖为例，它的主要部分的轮廓可近似看作一个正四棱锥．若此正四棱锥的侧面等腰三角形的底角为 $α$ ，则侧棱长与底面外接圆的半径的比为（）

A、 $\frac{1}{\sin α}$ B、 $\frac{1}{\cos α}$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{2 \sin α}$ D、 $\frac{\sqrt{2}}{2 \cos α}$

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7. 已知 $a > - 2$ ， $b > 0$ ，直线 $l_{1} ： x - (a - 2) y + 1 = 0$ ， $l_{2} ： 2 b x - y - 2 = 0$ ，且 $l_{1} ⊥ l_{2}$ ，则 $\frac{1}{a + 2} + \frac{1}{2 b}$ 的最小值为（）

A、1 B、2 C、 $\frac{1}{4}$ D、 $\frac{9}{8}$

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8. 正多面体各个面都是全等的正多边形，其中，面数最少的是正四面体，面数最多的是正二十面体，它们被称为柏拉图多面体（Platonic solids）．某些病毒，如疱疹病毒就拥有正二十面体的外壳．正二十面体是由20个等边三角形所组成的正多面体．已知多面体满足：顶点数 $-$ 棱数+面数=2，则正二十面体的顶点的个数为（）

A、30 B、20 C、12 D、10

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二、多选题

9. 下列命题中，正确的命题有（）

A、函数 $f (x) = x$ 与 $g (x) = \sqrt{x^{2}}$ 是同一个函数 B、命题“ $\exists x_{0} \in [0 ， 1]$ ， $x_{0}^{2} + x_{0} \geq 1$ ”的否定为“ $\forall x \in [0 ， 1]$ ， $x^{2} + x < 1$ ” C、已知 $x \in R$ ，则“ $x > 0$ ”是“ $| x - 1 | < 1$ ”的充分不必要条件 D、若函数 $f (x) = {\begin{array}{l} 2 x + 1 ， & x < 0 \\ 2^{x} ， & x \geq 0 \end{array}$ ，则 $f (1) + f (- 1) = 1$

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10. 已知函数 $f (x) = {(\sin x + \cos x)}^{2} + 2 \cos^{2} x$ ，则（）

A、 $f (x)$ 的最小正周期是 $π$ B、 $f (x)$ 的图像可由函数 $g (x) = \sqrt{2} \sin 2 x + 2$ 的图像向左平移 $\frac{π}{8}$ 个单位而得到 C、 $x = \frac{π}{4}$ 是 $f (x)$ 的一条对称轴 D、 $f (x)$ 的一个对称中心是 $(- \frac{π}{8} ， 0)$

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11. 已知 ${(x - 2)}^{10} = a_{0} + a_{1} (x - 1) + a_{2} {(x - 1)}^{2} + \cdot \cdot \cdot + a_{10} {(x - 1)}^{10}$ ，则下列结论正确的有（）

A、 $a_{0} = 1$ B、 $a_{6} = - 210$ C、 $\frac{a_{1}}{2} + \frac{a_{2}}{2^{2}} + \frac{a_{3}}{2^{3}} + \cdot \cdot \cdot + \frac{a_{10}}{2^{10}} = - \frac{1023}{1024}$ D、 $a_{0} + a_{2} + a_{4} + a_{6} + a_{8} + a_{10} = 512$

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12. 如图，在边长为2的正方形ABCD中，点E、F分别在边AB、BC上（不含端点），且 $B E = B F$ ．将 $△ A E D$ 、 $△ D C F$ 分别沿DE．DF折起，使A、C两点重合于点 $A^{'}$ ，则下列结论正确的有（）

A、 $A^{'} D ⊥ E F$ B、当 $B E = B F = 1$ 时，三棱锥 $A^{'} - D E F$ 的外接球的表面积为 $6 π$ C、当 $B E = B F = \frac{1}{2}$ 时，三棱锥 $A^{'} - D E F$ 的体积为 $\frac{\sqrt{17}}{12}$ D、当 $B E = B F = \frac{1}{2}$ 时，点 $A^{'}$ 到平面DEF的距离为 $\frac{6 \sqrt{17}}{7}$

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三、填空题

13. 已知 $i$ 是虚数单位，则 $| \frac{1 + i}{1 - i} | =$ ．

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14. 若函数 $y = \log_{a} (x - 1) + 8 (a > 0 ， a \neq 1)$ 的图像过定点P，且点P在幂函数 $f (x) = x^{α} (α \in R)$ 的图像上，则 $f (\frac{1}{2}) =$ ．

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15. 某同学向王老师请教一题：若不等式 $x^{- 4} e^{x} - a \ln x \geq x + 1$ 对任意 $x \in (1 ， + \infty)$ 恒成立，求实数 $a$ 的取值范围．王老师告诉该同学：“ $e^{x} \geq x + 1$ 恒成立，当且仅当 $x = 0$ 时取等号，且 $g (x) = x - 4 \ln x$ 在 $(1 ， + \infty)$ 有零点”．根据王老师的提示，可求得该问题中 $a$ 的取值范围是．

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四、双空题

16. 若一个圆的圆心是抛物线 $x^{2} = 8 y$ 的焦点，且该圆与直线 $\sqrt{3} x - y - 2 = 0$ 相切，则该圆的标准方程为．过点 $P (- 2 ， - 2)$ 作该圆的两条切线 $P A ， P B$ ，切点分别为 $A ， B$ ，则直线 $A B$ 的方程为．

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五、解答题

17. 设数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，且 $a_{2} = 3$ ， $S_{5} = 25$ ， $2 a_{n} = a_{n - 1} + a_{n + 1} (n \geq 2)$ ．

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式 $a_{n}$ ；

(2)、若 $b_{n} = \frac{1}{a_{n} a_{n + 1}} (n \in N^{*})$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前n项和 $T_{n}$ ．

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18. 在 $△ A B C$ 中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，且 $a = \sqrt{41}$ ， $2 b \sin \frac{B + C}{2} = \sqrt{5} a \sin B$ ．

(1)、求 $\sin A$ ；

(2)、如图，M为边AC上一点，且 $M C = 2 M B$ ， $∠ A B M = \frac{π}{2}$ ，求 $△ A B C$ 的面积．

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19. 在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P A ⊥$ 平面ABCD，底面ABCD是直角梯形，其中 $A D / / B C$ ， $A D ⊥ C D$ ， $P A = B C = 2 A D = 2 C D = 4$ ，E为BC的中点，设Q为PC上一点．

(1)、求证： $D E ⊥ P C$ ；

(2)、若直线EQ与平面PAC所成的角的正切值为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，求二面角 $E - A Q - C$ 的余弦值．

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20. 某校高一年级组织“知识竞答”活动．每位参赛者第一关需回答三个问题，第一个问题回答正确得10分，回答错误得0分；第二个问题回答正确得20分，回答错误得 $- 10$ 分；第三个问题回答正确得30分，回答错误得-20分．规定，每位参赛者回答这三个问题的总得分不低于30分就算闯关成功．若某位参赛者回答前两个问题正确的概率都是 $\frac{2}{3}$ ，回答第三个问题正确的概率是 $\frac{1}{2}$ ，且各题回答正确与否相互之间没有影响．

(1)、求这位参赛者仅回答正确两个问题的概率；

(2)、求这位参赛者回答这三个问题的总得分 $ξ$ 的分布列和期望；

(3)、求这位参赛者闯关成功的概率．

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21. 已知点A、B坐标分别是 $(- 2 \sqrt{2} ， 0)$ ， $(2 \sqrt{2} ， 0)$ ，直线AP、BP相交于点P，且它们斜率之积是 $- \frac{1}{2}$ ．

(1)、试求点P的轨迹 $Γ$ 的方程；

(2)、已知直线 $l ： x = - 4$ ，过点 $F (- 2 ， 0)$ 的直线（不与x轴重合）与轨迹 $Γ$ 相交于M．N两点，过点M作 $M D ⊥ l$ 于点D．求证：直线ND过定点，并求出定点的坐标．

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22. 已知函数 $f (x) = 1 + \ln x + a x - a^{2} x^{2}$ ．

(1)、当 $a = 1$ 时，求 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、若 $a = 0$ ，且 $x \in (0 ， 1)$ ，求证： $\frac{f (x) - 2 \ln x}{e^{x}} + 2 x^{2} - \frac{1}{x} < 2$ ．

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