初中数学苏科版九年级下册第五章二次函数单元测试卷

试卷更新日期：2021-03-04 类型：单元试卷

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一、单选题

1. 下列关系式中，属于二次函数的是（）

A、 $y = 3 x^{2} - 2 x - 1$ B、 $y = - 4 x$ C、 $y = x + 5$ D、 $y = \frac{- 1}{x}$

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2. 抛物线y＝3x²向左平移4个单位，再向下平移2个单位，所得到的抛物线是（）

A、y＝3（x﹣4）²+2 B、y＝3（x﹣4）²﹣2 C、y＝3（x+4）²﹣2 D、y＝3（x+4）²+2

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3. 抛物线y=x²–3x+5与坐标轴的交点个数为（）

A、无交点 B、1个 C、2个 D、3个

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4. 若 $A (2 ， y_{1}) ， B (- \sqrt{5} ， y_{2}) ， C (- 2 ， y_{3})$ 是抛物线 $y = 2 x^{2} - 4 x + c$ 上的三个点，则 $y_{1}$ 、 $y_{2}$ 、 $y_{3}$ 的大小关系是（）

A、 $y_{1} < y_{3} < y_{2}$ B、 $y_{3} < y_{1} < y_{2}$ C、 $y_{3} = y_{1} < y_{2}$ D、 $y_{2} < y_{3} < y_{1}$

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5. 直线y＝bx+c与抛物线y＝ax²+bx+c（a＞0）在同一坐标系中大致图象可能是（）

A、 B、 C、 D、

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6. 已知二次函数

y = a x^{2} + b x + c

中，自变量x与函数y之间的部分对应值如表：

x	$\dots$	0	1	2	3	$\dots$
y	$\dots$	$- 1$	2	3	2	$\dots$

在该函数的图象上有 $A (x_{1}, y_{1})$ 和 $B (x_{2}, y_{2})$ 两点，且 $- 1 < x_{1} < 0$ ， $3 < x_{2} < 4$ ， $y_{1}$ 与 $y_{2}$ 的大小关系正确的是（）

A、

y_{1} \geq y_{2}

B、

y_{1} > y_{2}

C、

y_{1} \leq y_{2}

D、

y_{1} < y_{2}

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7. 一位篮球运动员在距离篮圈中心水平距离4m处起跳投篮，球沿一条抛物线运动，当球运动的水平距离为2.5m时，达到最大高度3.5m，然后准确落入篮框内．已知篮圈中心距离地面高度为3.05m，在如图所示的平面直角坐标系中，下列说法正确的是（）

A、此抛物线的解析式是y=- $\frac{1}{5}$ x²+3.5 B、篮圈中心的坐标是（4，3.05） C、此抛物线的顶点坐标是（3.5，0） D、篮球出手时离地面的高度是2m

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8. 二次函数 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 图象上部分点的坐标 $(x, y)$ 对应值列表如下：

x

…

0

1

2

3

…

y

…

-2

-3

-2

…

则下列说法错误的是（）

A、抛物线开口向上． B、抛物线的对称轴为直线 $x = 1$ C、当 $x > 2$ 时， $y$ 随 $x$ 的增大而增大 D、方程 $a x^{2} + b x + c = 0$ 有一个根小于 $- 1$

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9. 如图，二次函数 $y = a x^{2} + b x + c (a > 0)$ 的图象与 $x$ 轴交于两点 $(x_{1} ， 0)$ ， $(2 ， 0)$ ，其中 $0 < x_{1} < 1$ .下列四个结论：① $a b c < 0$ ；② $2 a - c > 0$ ；③ $a + 2 b + 4 c > 0$ ；④ $\frac{4 a}{b} + \frac{b}{a} < - 4$ ，正确的个数是（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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10. 如图，在四边形 ABCD 中， AD∥BC ， ∠A=45° ， ∠C=90° ， AD=4cm ，CD=3cm 、动点M，N同时从点A出发，点M以 $\sqrt{2}$ cm/s 的速度沿 AB 向终点B运动，点N以2cm/s 的速度沿折线 AD-DC 向终点C运动.设点N的运动时间为ts ，△AMN 的面积为 Scm² ，则下列图象能大致反映S与t之间函数关系的是（）

A、 B、 C、 D、

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二、填空题

11. 抛物线y=3(x-2)²+3的顶点坐标是。

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12. 飞机着陆后滑行的距离y（单位：m）关于滑行时间t（单位：s）的函数解析式是 $y = 50 t - t^{2}$ ，则经过s后，飞机停止滑行．

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13. 如图，抛物线 $y$ ＝ $a x^{2} + b x$ 与直线 $y$ ＝ $m x + n$ 相交于点 $A (- 3 ， - 6)$ ， $B (1 ， - 2)$ ，则关于 $x$ 的方程 $a x^{2} + b x$ ＝ $m x + n$ 的解为．

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14. 已知二次函数y=(x-2a)²+(a-1)(a为常数)，当a取不同的值时，其图象构成一个“抛物线系”如图分别是当a=-1，a=0，a=1， a=2时二次函数的图象。它们的顶点在一条直线上，这条直线的解析式是。

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15. 如图，已知 $⊙ P$ 的半径为2，圆心P在抛物线 $y = \frac{1}{2} x^{2} - 2$ 上运动；当 $⊙ P$ 与x轴相切时；圆心P的坐标为.

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16. 如图，平行于x轴的直线AC分别交抛物线 y= x²（x≥0）与 $y = \frac{x^{2}}{5}$ （x≥0）于点B、C，过点C作y轴的平行线交y= x²于点D，直线DE∥AC，交 $y = \frac{x^{2}}{5}$ 于点E，则 $\frac{D E}{A B}$ =.

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17. 已知函数y＝ ${\begin{array}{l} - {(x - 1)}^{2} + 1 (x ⩽ 4) \\ - {(x - 7)}^{2} + 1 (x > 4) \end{array}$ ，且使y＝k成立的x值恰好有2个，则k的取值范是．

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18. 如图，在平面直角坐标系中，过点P(m，0)作x轴的垂线，分别交抛物线y=x²+ $\frac{3}{2}$ x+2和直线y= $- \frac{1}{2}$ x-2于点A和点C，以线段AC为对角线作正方形ABCD，则当正方形ABCD的面积最小时m的值为。

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三、解答题

19. 已知抛物线的解析式为 $y = x^{2} - 2 m x - 3 m^{2} - 1$ ，求证：无论m取何值，抛物线与x轴总有两个交点．

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20. 在平面直角坐标系中，若抛物线 $y = 2 x^{2}$ 与直线 $y = x + 1$ 交于点 $A (a ， b)$ 和点 $B (c ， d)$ ，其中 $a > c$ ，点 $O$ 为原点，求 $Δ A B O$ 的面积.

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21. 已知二次函数y₁=ax²＋bx－3的图象经过点A（2，-3），B（-1，0），与y轴交于点C，与x轴另一交点交于点D.

(1)、求二次函数的解析式；

(2)、求点C、点D的坐标；

(3)、若一条直线y₂_，经过C、D两点，请直接写出y₁＞y₂时，x的取值范围.

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22. 用一段长为28m的铁丝网与一面长为8m的墙面围成一个矩形菜园，为了使菜园面积尽可能的大，给出了甲、乙两种围法，请通过计算来说明这个菜园长、宽各为多少时，面积最大？最大面积是多少？

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23. 体育测试时，九年级一名学生，双手扔实心球．已知实心球所经过的路线是某个二次函数图象的一部分，如果球出手处 $A$ 点距离地面的高度为 $2 m$ ，当球运行的水平距离为 $4 m$ 时，达到最大高度 $4 m$ 的 $B$ 处（如图），问该学生把实心球扔出多远？（结果保留根号）

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24. 如图所示，公园要造圆形的喷水池，在水池中央垂直于水面处安装一个柱子OA，O恰在水面中心，OA=1.25m，由柱子顶端A处的喷头向外喷水，水流在各个方向沿形状相同的抛物线路线落下，为使水流形状较为漂亮，要求设计成水流在离OA距离为1m处达到距水面距离最大，高度2.25m.若不计其他因素，那么水池的半径至少要多少米才能使喷出的水流不致落到池外?

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25. 在“美丽乡村”建设中，某村施工人员想利用如图所示的直角墙角，计划再用30米长的篱笆围成一个矩形花园 $A B C D$ ，要求把位于图中点 $P$ 处的一颗景观树圈在花园内，且景观树 $P$ 与篱笆的距离不小2米．已知点 $P$ 到墙体 $D A$ 、 $D C$ 的距离分别是8米、16米，如果 $D A$ 、 $D C$ 所在两面墙体均足够长，求符合要求的矩形花园面积 $S$ 的最大值．

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26. 某商店经过市场调查，整理出某种商品在第x（1≤x≤90）天的售价与销量的相关信息如下表：

时间 x（天）

1≤x＜50

50≤x≤90

售价（元/件）

x+40

90

每天销量（件）

200﹣2x

已知该商品的进价为每件30元，设销售该商品的每天利润为y元.

(1)、求出y与x的函数关系式；

(2)、问销售该商品第几天时，当天销售利润最大，最大利润是多少？

(3)、在前50天销售过程中，为了给顾客发放福利，每售出一件商品就返还2a元给顾客，且要求售价不低于80元，但是前50天的销售中，仍可以获得最大利润5850元，求出a的值.

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27. 如图，在矩形OABC中，点O为原点，点A的坐标为(0，8)，点C的坐标为(6，0).抛物线y= $- \frac{4}{9}$ x²+bx+c经过点A、C，与AB交于点D.点P为线段BC上一个动点(不与点C重合)，点Q为线段AC上一个动点，AQ=CP，连接PQ，设CP=m，△CPQ的面积为S.

(1)、求抛物线的函数解析式.

(2)、求S关于m的函数表达式.

(3)、当S最大时，①求点Q的坐标.②若点F在抛物线y= $- \frac{4}{9}$ x²+bx+c的对称轴上，且△DFQ的外心在DQ上，求点F的坐标.

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28. 如图，抛物线 $y = a x^{2} - \frac{3}{2} x + c (a \neq 0)$ 与x轴交于点A，B，与y轴交于点 $C (0 ， - 2)$ ， $\tan ∠ A B C = \frac{1}{2}$ .直线 $x = 1$ 交 $B C$ 于点D，点P是直线 $B C$ 下方抛物线上一动点，连接PD.

(1)、求此抛物线的解析式；

(2)、如图1，连接 $P C$ ，求 $△ P C D$ 面积的最大值及此时点P的坐标；

(3)、如图2，连接 $A C$ ，过点P作 $P E ⊥ B C$ 于点E，是否存在点P使以P，D，E三点为顶点的三角形与 $△ A B C$ 相似，若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由.

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时间 x（天）	1≤x＜50	50≤x≤90
售价（元/件）	x+40	90
每天销量（件）	200﹣2x

x	…	0	1	2	3	…
y	…	-2	-3	-2		…

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一、单选题

二、填空题

三、解答题

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