初中数学苏科版九年级下册6.2 黄金分割同步训练

试卷更新日期：2021-03-04 类型：同步测试

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一、单选题

1. 已知点P是线段AB的黄金分割点，且AP＞PB，则有（）

A、AB²=AP•PB B、AP²=BP•AB C、BP²=AP•AB D、AP•AB=PB•AP

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2. 已知如图，点 $C$ 是线段 $A B$ 的黄金分割点（ $A C > B C$ ），则下列结论中正确的是（）

A、 $A B^{2} = A C^{2} + B C^{2}$ B、 $B C^{2} = A C \cdot B A$ C、 $\frac{B C}{A C} = \frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ D、 $\frac{A B}{B C} = \frac{A C}{C B}$

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3. 已知点C是线段AB的黄金分割点，且AC＞BC，如果AB长为20，则AC为（）

A、10 $\sqrt{5}$ ﹣10 B、10﹣10 $\sqrt{5}$ C、30﹣10 $\sqrt{5}$ D、20﹣10 $\sqrt{5}$

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4. 生活中到处可见黄金分割的美．如图，点C将线段AB分成AC、CB两部分，且AC＞BC，如果 $\frac{AB}{AC} = \frac{AC}{CB}$ ，那么称点C为线段AB的黄金分割点．若C是线段AB的黄金分割点，AB＝2，则分割后较短线段长为（）

A、 $\sqrt{5} - 1$ B、 $3 - \sqrt{5}$ C、 $2 \sqrt{5} - 3$ D、 $\sqrt{5} - 2$

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5. 如图， $P$ 是线段 $A B$ 的黄金分割点，且 $P A > P B$ ，若 $S_{1}$ 表示以 $P A$ 为一边的正方形的面积， $S_{2}$ 表示长为 $A B$ ，宽为 $P B$ 的矩形的面积，则 $S_{1}$ 与 $S_{2}$ 的大小关系是（）

A、 $S_{1} > S_{2}$ B、 $S_{1} = S_{2}$ C、 $S_{1} < S_{2}$ D、无法确定

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6. 如图，已知点 $E$ 是正方形 $A B C D$ 的边 $A B$ 边上的黄金分割点，且 $A E > E B ，$ 若 $S_{1}$ 表示 $A E$ 为边长的正方形面积， $S_{2}$ 表示以 $B C$ 为长， $B E$ 为宽的矩形面积， $S_{3}$ 表示正方形 $A B C D$ 除去 $S_{1}$ 和 $S_{2}$ 剩余的面积，则 $S_{3} ： S_{2}$ 的值为（）

A、 $\frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{5} + 1}{2}$ C、 $\frac{3 - \sqrt{5}}{2}$ D、 $\frac{3 + \sqrt{5}}{2}$

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7. 有以下命题：
①如果线段 $d$ 是线段 $a$ ， $b$ ， $c$ 的第四比例项，则有 $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ ；②如果点 $C$ 是线段 $A B$ 的中点，那么 $A C$ 是 $A B$ 、 $B C$ 的比例中项；③如果点 $C$ 是线段 $A B$ 的黄金分割点，且 $A C > B C$ ，那么 $A C$ 是 $A B$ 与 $B C$ 的比例中项；④如果点 $C$ 是线段 $A B$ 的黄金分割点， $A C > B C$ ，且 $A B = 2$ ，则 $A C = \sqrt{5} - 1$ ．

其中正确的判断有（）

A、②④ B、①②③④ C、①③④ D、②③④

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8. 生活中到处可见黄金分割的美，如图，在设计人体雕像时，使雕像的腰部以下a与全身 $b$ 的高度比值接近0.618，可以增加视觉美感，若图中 $b$ 为2米，则a约为（）

A、1.24米 B、1.38米 C、1.42米 D、1.62米

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9. 宽与长的比是 $\frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ （约0.618）的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形蕴藏着丰富的美学价值，给我们以协调和匀称美感.我们可以用这样的方法画出黄金矩形：作正方形 $A B C D$ ，分别取 $A D ， B C$ 的中点 $E ， F$ ，连接 $E F$ ，以点F为圆心，以 $F D$ 为半径画弧，交 $B C$ 的延长线于点G；作 $G H ⊥ A D$ ，交 $A D$ 的延长线于点H，则图中下列矩形是黄金矩形的是（）

A、矩形ABEF B、矩形EFCD C、矩形EFGH D、矩形ABGH

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10. 古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：点G将一线段 $M N$ 分为两线段 $M G$ ， $G N$ ，使得其中较长的一段 $M G$ 是全长 $M N$ 与较短的段 $G N$ 的比例中项，即满足 $\frac{M G}{M N} = \frac{G N}{M G} = \frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ ，后人把 $\frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ 这个数称为“黄金分割”数，把点G称为线段 $M N$ 的“黄金分割”点．如图，在 $△ A B C$ 中，已知 $A B = A C = 3$ ， $B C = 4$ ，若D ， E是边 $B C$ 的两个“黄金分割”点，则 $△ A D E$ 的面积为（）

A、 $10 - 4 \sqrt{5}$ B、 $3 \sqrt{5} - 5$ C、 $\frac{5 - 2 \sqrt{5}}{2}$ D、 $20 - 8 \sqrt{5}$

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二、填空题

11. 已知线段AB=6cm，点C为AB的黄金分割点，且AC＞BC，则AC=.

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12. 已知点D是线段AB的黄金分割点，且线段AD的长为2厘米，则最短线段BD的长是厘米.

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13. 如图，已知点C、D是线段AB的两个黄金分割点，若线段AB的长10厘米，则线段CD长厘米．

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14. 如图，若 $A B$ 是已知线段，经过点 $B$ 作 $B D ⊥ A B$ ，使 $B D = \frac{1}{2} A B$ ；连接 $D A$ ，在 $D A$ 上截取 $D E = D B$ ；在 $A B$ 上截取 $A C = A E$ ，则 $\frac{A C}{A B} =$ .

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15. 大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”，如图，P为AB的黄金分割点（AP＞PB），如果AB的长度为10cm，那么AP的长度为cm．

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16. 古希腊时期，人们认为最美人体的肚脐至脚底的长度与身高长度之比是 $\frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ （ $\frac{\sqrt{5} - 1}{2} \approx$ 0.618，称之为黄金分割比例），著名的“断臂维纳斯”便是如此，若某位女性身高为165cm ，肚脐到头顶高度为65cm ，则其应穿鞋跟为cm的高跟鞋才能使人体近似满足黄金分割比例．（精确到1cm）

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17. 电视节目主持人在主持节目时，站在舞台的黄金分割点处最自然得体．如图：若舞台AB长为20m，试计算主持人应走到离A点至少m处．（结果精确到0.1m）

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18. 如图，在矩形 $A B C D$ 中， $A D > A B$ ， $A D = 4$ ， $E$ 是 $A D$ 的黄金分割点（ $A E > D E$ ）， $G$ 是 $C D$ 上一点，将 $Δ A B E$ 沿直线 $B E$ 折叠，点 $A$ 落在 $B C$ 边上的点 $F$ 处，再将 $Δ D E G$ 沿直线 $E G$ 折叠，点 $D$ 落在 $E F$ 上的点 $H$ 处，则 $F H$ 的长为．

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三、解答题

19.
已知线段AB=a，用直尺和圆规求作这条线段的黄金分割点C．

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20. 如图，已知线段AB，P₁是AB的黄金分割点（AP₁＞BP₁），点O是AB的中点，P₂是P₁关于点O的对称点．求证：P₁B是P₂B和P₁P₂的比例中项．

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21.
如图，乐器上的一根弦AB=80cm，两个端点A、B固定在乐器板面上，支撑点C是靠近点B的黄金分割点，支撑点D是靠近点A的黄金分割点，求C、D之间的距离．

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22. 人的肚脐是人的身高的黄金分割点，一般来讲，当肚脐到脚底的长度与身高的比为0.618时，是比较好看的黄金身段．一个身高1.70m的人，他的肚脐到脚底的长度为多少时才是黄金身段（保留两位小数）？

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23. 如果一个矩形ABCD（AB＜BC）中， $\frac{A B}{B C} = \frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ ≈0.618，那么这个矩形称为黄金矩形，黄金矩形给人以美感．在黄金矩形ABCD内作正方形CDEF，得到一个小矩形ABFE（如图），请问矩形ABFE是否是黄金矩形？请说明你的结论的正确性．

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24.
定义：如图1，点C在线段AB上，若满足AC²=BC•AB，则称点C为线段AB的黄金分割点．如图2，△ABC中，AB=AC=1，∠A=36°，BD平分∠ABC交AC于点D．
（1）求证：点D是线段AC的黄金分割点；
（2）求出线段AD的长．

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25. 若矩形的一个短边与长边的比值为 $\frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ ，（黄金分割数），我们把这样的矩形叫做黄金矩形

(1)、操作：请你在如图所示的黄金矩形ABCD（AB＞AD）中，以短边AD为一边作正方形AEFD．

(2)、探究：在（1）中的四边形EBCF是不是黄金矩形？若是，请予以证明；若不是，请说明理由．

(3)、归纳：通过上述操作及探究，请概括出具体有一般性的结论（不需证明）

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26. 如图①，我们已经学过：点C将线段AB分成两部分（AC>BC），如果 $\frac{A C}{A B} = \frac{B C}{A C}$ ，那么称点C为线段AB的黄金分割点，某班在进行知识拓展时，张老师由黄金分割点拓展到“黄金分割线”，类似地给出“黄金分割线”的定义：直线l将一个面积为S的图形分成两部分，这两部分的面积分别为S₁ ， S₂（S₁>S₂），如果 $\frac{S_{1}}{S} = \frac{S_{2}}{S_{1}}$ ，那么称直线l为该图形的黄金分割线，如图②，在△ABC中，∠A=36º，AB=AC，∠ACB的平分线交AB于点D

(1)、求证：点D是AB边上的黄金分割点；

(2)、求证：直线CD是△ABC的黄金分割点

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27. 定义：如图1，点P为线段AB上一点，如果 $\frac{P B}{P A} = \frac{P A}{A B}$ =k，那么我们称点P是线段AB的黄金分割点， $k = \frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ 叫做黄金分割数.

(1)、理解：利用图1，运用一元二次方程的知识，求证：黄金分割数 $k = \frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ ；

(2)、应用：如图2，抛物线y＝x²+nx＋2n（n<0）的图象与x轴交于A、B两点（OA<OB），若原点O是线段AB的黄金分割点，①求线段AB的长；②直接写出点A和点B的坐标.

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一、单选题

二、填空题

三、解答题

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