高中数学人教A版（2019）必修二 6.3 平面向量基本定理及坐标表示课后测试

试卷更新日期：2021-03-03 类型：同步测试

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一、单选题

1. 已知向量 $\vec{a} = (- 2, 1), \vec{b} = (3, 5)$ ，则 $\vec{a} - 2 \vec{b} =$ （）

A、 $(- 8, - 9)$ B、 $(- 4, - 9)$ C、 $(- 5, - 6)$ D、 $(8, 11)$

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2. 已知向量 $\vec{a} = (t, 3), \vec{b} = (2, - 2)$ ，若 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则实数 $t$ 的值为（）

A、2 B、-2 C、3 D、-3

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3. 已知 $\vec{e_{1}}, \vec{e_{2}}$ 是单位向量， $\vec{e_{1}} \cdot \vec{e_{2}} = - \frac{2}{3}$ ，若平面向量 $\vec{a}$ 满足 $\vec{a} \cdot \vec{e_{1}} = 1$ ， $\vec{a} \cdot \vec{e_{2}} = 2$ 且 $\vec{a} = x \vec{e_{1}} + y \vec{e_{2}}$ ，则 $x + y =$ （）

A、9 B、8 C、7 D、6

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4. 已知平面向量 $\vec{A B} = (1 ， 2)$ ， $\vec{A C} = (3 ， 4)$ ，则向量 $\vec{C B}$ 的模是 $($ $)$

A、 B、 $\sqrt{5}$ C、 D、5

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5. 已知 $\vec{A B} = (1, 3)$ ， $\vec{A C} = (2, t)$ ， $| \vec{B C} | = 1$ ，则 $\vec{A B} \cdot \vec{A C} =$ （）

A、5 B、7 C、9 D、11

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6. 向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足| $\vec{a}$ |=1，| $\vec{b}$ |=2， $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为60°，则|2 $\vec{a} - \vec{b}$ |=（）

A、2 $\sqrt{3}$ B、2 $\sqrt{2}$ C、4 D、2

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7. 已知向量 $\vec{a} = (x, 2), \vec{b} = (3, x^{2})$ ，若 $\vec{a} ⊥ (\vec{a} - \vec{b})$ ，则 $x =$ （）

A、1或4 B、1或-4 C、-1或4 D、-1或-4

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8. 已知 $\vec{e_{1}}$ ， $\vec{e_{2}}$ 是夹角为 $60^{\circ}$ 的两个单位向量，则 $\vec{a} = \vec{e_{1}} + \vec{e_{2}}$ 与 $\vec{b} = \vec{e_{1}} - 2 \vec{e_{2}}$ 的夹角是（）

A、60° B、120° C、30° D、90°

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二、多选题

9. 设向量 $\vec{a} = (2, 0)$ ， $\vec{b} = (1, 1)$ ，则（）

A、 $| \vec{a} | = | \vec{b} |$ B、 $(\vec{a} - \vec{b}) // \vec{b}$ C、 $(\vec{a} - \vec{b}) ⊥ \vec{b}$ D、 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为 $\frac{π}{4}$

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10. 已知向量 $\vec{a} + \vec{b} = (1, 1)$ ， $\vec{a} - \vec{b} = (- 3, 1)$ ， $\vec{c} = (1, 1)$ ，设 $\vec{a}$ , $\vec{b}$ 的夹角为 $θ$ ，则（）.

A、 $| \vec{a} | = | \vec{b} |$ B、 $\vec{a} ⊥ \vec{c}$ C、 $\vec{b} ∥ \vec{c}$ D、 $θ = 135 °$

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11. 已知平面向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ， $\vec{c}$ 满足 $| \vec{a} | = | \vec{b} | = | \vec{c} | = 1$ .若 $\vec{a} \cdot \vec{b} = \frac{1}{2}$ ，则 $(\vec{a} - \vec{b}) \cdot (2 \vec{b} - \vec{c})$ 的值可能为（）

A、 $3 - \sqrt{3}$ B、-2 C、0 D、 $- \sqrt{2}$

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12. 已知向量 $\vec{e_{1}} = (- 1, 2)$ ， $\vec{e_{2}} = (2, 1)$ ，若向量 $\vec{a} = λ_{1} \vec{e_{1}} + λ_{2} \vec{e_{2}}$ ，则可使 $λ_{1}, λ_{2} < 0$ 成立的 $\vec{a}$ 可能是（）

A、(1,0) B、(0,1) C、(−1,0) D、(0,−1)

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三、填空题

13. 已知向量 $\vec{a} = (1, m), \vec{b} = (2, - 2)$ ，且 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则 $m =$ ．

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14. 已知平面向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $| \vec{a} | = 1$ ， $2 \vec{a} - \vec{b}$ 与 $2 \vec{b} - \vec{a}$ 的夹角为120°，则 ${| \vec{b} |}^{2}$ 的最大值是.

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15. 若 $\vec{a} = (1, 2)$ 与 $\vec{b} = (2, m)$ 平行，则实数m=.

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四、解答题

16. 已知向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 满足： $| \vec{a} | = 2, | \vec{b} | = 4, \vec{a} \cdot (\vec{b} - \vec{a}) = - 8$ ．

(1)、求 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角；

(2)、求 $| \vec{a} - 2 \vec{b} |$ ．

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17. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，设向量 $\overset{⇀}{a} = (\cos α ， \sin α)$ ， $\overset{⇀}{b} = (- \sin β ， \cos β)$ ， $\overset{⇀}{c} = (- \frac{1}{2} ， \frac{\sqrt{3}}{2})$ ．

(1)、若 $| \overset{⇀}{a} + \overset{⇀}{b} | = | \overset{⇀}{c} |$ ，求 $\sin (α - β)$ 的值；

(2)、设 $α = \frac{5 π}{6}$ ， $0 < β < π$ ，且 $\overset{⇀}{a} / / (\overset{⇀}{b} + \overset{⇀}{c})$ ，求 $β$ 的值．

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18. 已知向量 $\vec{a} = (1, 2), \vec{b} = (- 2, 1)$ ，k､t为正实数， $\vec{x} = \vec{a} + (t^{2} + 1) \vec{b}, \vec{y} = - \frac{1}{k} \vec{a} + \frac{1}{t} \vec{b}$ .

(1)、若 $\vec{x} ⊥ \vec{y},$ 求k的最大值；

(2)、是否存在k､t使得 $\vec{x} / / \vec{y}$ ？若存在，求出k的取值范围，若不存在，请说明理由.

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19. 如图所示， $A$ 、 $B$ 分别是单位圆与 $x$ 轴、 $y$ 轴正半轴的交点，点 $P$ 在单位圆上， $∠ A O P = θ (0 < θ < π)$ ，点 $C$ 坐标为 $(- 2 ， 0)$ ，平行四边形 $O A Q P$ 的面积为 $S$ .

(1)、求 $t = \vec{O A} \cdot \vec{O Q} + S$ 的最大值；

(2)、若 $\vec{C B} // \vec{O P}$ ，求 $\sin (2 θ - \frac{π}{3})$ .

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20. 在 $Δ A B C$ 中， $A C = 2$ ， $B C = 6$ ， $∠ A C B = 60 °$ ，点O为 $Δ A B C$ 所在平面上一点，满足 $\overset{⇀}{O C} = m \overset{⇀}{O A} + n \overset{⇀}{O B}$ （ $m, n \in R$ 且 $m + n \neq 1$ ）．

(1)、证明： $\overset{⇀}{C O} = \frac{m}{m + n - 1} \overset{⇀}{C A} + \frac{n}{m + n - 1} \overset{⇀}{C B}$ ；

(2)、若点O为 $Δ A B C$ 的重心，求m、n的值；

(3)、若点O为 $Δ A B C$ 的外心，求m、n的值．

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21. 如图，平行四边形ABCD中， $\vec{A B} = \vec{a}$ ， $\vec{A D} = \vec{b}$ ， $H$ ， $M$ 分别是 $A D$ ， $D C$ 的中点， $F$ 为 $B C$ 上一点，且 $B F = \frac{1}{3} B C$ ．

(1)、以 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 为基底表示向量 $\vec{A M}$ 与 $\vec{H F}$ ；

(2)、若 $| \vec{a} | = 3$ ， $| \vec{b} | = 4$ ， $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为 $120 °$ ，求 $\vec{A M} \cdot \vec{H F}$ ．

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二、多选题

三、填空题

四、解答题

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