高中数学人教A版（2019）必修二 6.2 平面向量的线性运算课后测试

试卷更新日期：2021-03-03 类型：同步测试

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一、单选题

1. 如图，向量 $\vec{b} - \vec{a}$ 等于（）

A、 $- 2 {\vec{e}}_{1} - 4 {\vec{e}}_{2}$ B、 $- 4 {\vec{e}}_{1} - 2 {\vec{e}}_{2}$ C、 ${\vec{e}}_{1} - 3 {\vec{e}}_{2}$ D、 $- {\vec{e}}_{1} + 3 {\vec{e}}_{2}$

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2. 已知 $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ 是三个非零向量，则下列等价推出关系成立的个数是（）.
① $\vec{a} = \vec{b} \Leftrightarrow {\vec{a}}^{2} = {\vec{b}}^{2}$ ；② $| \vec{a} | = | \vec{b} | \Leftrightarrow | \vec{a} \cdot \vec{c} | = | \vec{b} \cdot \vec{c} |$ ；

③ $\vec{a} ⊥ \vec{b} \Leftrightarrow | \vec{a} + \vec{b} | = | \vec{a} - \vec{b} |$ ；④ $| \vec{a} \cdot \vec{b} | = | \vec{a} | \cdot | \vec{b} | \Leftrightarrow \vec{a} / / \vec{b}$ .

A、1 B、2 C、3 D、4

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3. 若 $O ， E ， F$ 是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是（）

A、 $\overset{⇀}{E F} = \overset{⇀}{O F} + \overset{⇀}{O E}$ B、 $\overset{⇀}{E F} = \overset{⇀}{O F} - \overset{⇀}{O E}$ C、 $\overset{⇀}{E F} = - \overset{⇀}{O F} + \overset{⇀}{O E}$ D、 $\overset{⇀}{E F} = - \overset{⇀}{O F} - \overset{⇀}{O E}$

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4. 设 $\vec{e_{1}}, \vec{e_{2}}$ 是两个不共线的向量，且 $\vec{a} = \vec{e_{1}} + λ \vec{e_{2}}$ 与 $\vec{b} = - \frac{1}{3} \vec{e_{2}} - \vec{e_{1}}$ 共线，则实数λ＝（）

A、－1 B、3 C、 $- \frac{1}{3}$ D、 $\frac{1}{3}$

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5. 如图，在直角梯形 $A B C D$ 中， $A B = 2 A D = 2 D C$ ， $E$ 为 $B C$ 边上一点， $\vec{B C}$ $= 3 \vec{E C}$ ， $F$ 为 $A E$ 的中点，则 $\vec{B F}$ ＝（）

A、 $\frac{2}{3} \vec{A B} - \frac{1}{3} \vec{A D}$ B、 $\frac{1}{3} \vec{A B} - \frac{2}{3} \vec{A D}$ C、 $- \frac{2}{3} \vec{A B} + \frac{1}{3} \vec{A D}$ D、 $- \frac{1}{3} \vec{A B} + \frac{2}{3} \vec{A D}$

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6. 如图，在正方形 $A B C D$ 中， $N$ 是线段 $C D$ 上的一动点， $B N$ 交 $A C$ 于点 $E$ ，若 $\vec{C N} = λ \vec{C D}$ ， $\vec{A E} = μ \vec{A C}$ ，则 $μ (λ + 1) =$ （）

A、 $\frac{1}{3}$ B、1 C、 $\frac{4}{3}$ D、2

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7. 已知平行四边形 $A B C D$ 中， $\vec{E C} = 2 \vec{D E}$ ， $\vec{F C} = 2 \vec{B F}$ ， $\vec{F G} = 2 \vec{G E}$ ，则 $\vec{A G} =$ （）

A、 $\frac{2}{3} \vec{A B} + \frac{8}{9} \vec{A D}$ B、 $\frac{1}{3} \vec{A B} + \frac{3}{4} \vec{A D}$ C、 $\frac{5}{9} \vec{A B} + \frac{7}{9} \vec{A D}$ D、 $\frac{4}{9} \vec{A B} + \frac{1}{3} \vec{A D}$

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8. 如图，在平行四边形 $A B C D$ 中，对角线 $A C$ 与 $B D$ 交于点 $O$ ，且 $\vec{C E} = \frac{2}{3} \vec{C O}$ ，则 $\vec{B E} =$ （）

A、 $\frac{1}{3} \vec{A D} - \frac{2}{3} \vec{A B}$ B、 $\frac{2}{3} \vec{A D} + \frac{1}{3} \vec{A B}$ C、 $\frac{2}{3} \vec{A D} - \frac{1}{3} \vec{A B}$ D、 $\frac{1}{3} \vec{A D} + \frac{2}{3} \vec{A B}$

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二、多选题

9. 设 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 是两个非零向量，则下列描述正确的有（）

A、若 $| \vec{a} + \vec{b} | = | \vec{a} | - | \vec{b} |$ ，则 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ B、若 $| \vec{a} + \vec{b} | = | \vec{a} | - | \vec{b} |$ ，则存在实数 $λ$ ，使得 $\vec{b} = λ \vec{a}$ C、若 $| \vec{a} + \vec{b} | = | \vec{a} - \vec{b} |$ ，则 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ D、若存在实数 $λ$ ，使得 $\vec{b} = λ \vec{a}$ ，则 $| \vec{a} + \vec{b} | = | \vec{a} | - | \vec{b} |$

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10. 如图，在梯形 $A B C D$ 中， $A B / / C D$ ， $| A B | = 2 | C D |$ ， $A D$ 与 $B C$ 相交于点 $O$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $\vec{A D} - \vec{A C} = \frac{1}{2} \vec{A B}$ B、 $\vec{A B} + \vec{B C} + \vec{C D} + \vec{D A} = \vec{0}$ C、 $| \vec{O A} + 2 \vec{O D} | = 0$ D、 $\vec{O A} = \frac{2}{3} \vec{D C} + \frac{1}{3} \vec{D B}$

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11. 已知 $Δ A B C$ 是边长为2的等边三角形， $D$ 是 $A C$ 上的点， $\vec{A D} = 2 \vec{D C}$ ， $E$ 是 $A B$ 的中点， $B D$ 与 $C E$ 交于点 $O$ ，那么（）

A、 $\vec{O E} + \vec{O C} = \vec{0}$ B、 $\vec{A B} \cdot \vec{C E} = - 1$ C、 $| \vec{O A} + \vec{O B} + \vec{O C} | = \frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $| \vec{D E} | = \frac{\sqrt{13}}{3}$

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12. 如图，在四边形ABCD中，AB∥CD ， AB⊥AD ， AB=2AD=2DC ， E为BC边上一点，且 $\overset{⇀}{B C} = 3 \overset{⇀}{E C}$ ，F为AE的中点，则（）

A、 $\overset{⇀}{B C} = - \frac{1}{2} \overset{⇀}{A B} + \overset{⇀}{A D}$ B、 $\overset{⇀}{A F} = \frac{1}{3} \overset{⇀}{A B} + \frac{1}{3} \overset{⇀}{A D}$ C、 $\overset{⇀}{B F} = - \frac{2}{3} \overset{⇀}{A B} + \frac{1}{3} \overset{⇀}{A D}$ D、 $\overset{⇀}{C F} = \frac{1}{6} \overset{⇀}{A B} - \frac{2}{3} \overset{⇀}{A D}$

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三、填空题

13. 化简 $\vec{A B} - \vec{C D} - \vec{A C} + \vec{B D} =$ .

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14. 设 $\vec{e_{1}}$ ， $\vec{e_{2}}$ 是空间两个不共线的向量，已知 $\vec{A B} = \vec{e_{1}} + k \vec{e_{2}}$ ， $\vec{B C} = 5 \vec{e_{1}} + 4 \vec{e_{2}}$ ， $\vec{D C} = - \vec{e_{1}} - 2 \vec{e_{2}}$ ，且 $A$ ， $B$ ， $D$ 三点共线，实数 $k =$ ．

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15. 已知 $\vec{e_{1}}$ ， $\vec{e_{2}}$ 是两个不共线的向量， $\vec{a} = \vec{e_{1}} + 2 \vec{e_{2}}$ ， $\vec{b} = 2 \vec{e_{1}} - k \vec{e_{2}}$ .若 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 是共线向量，则实数 $k$ 的值为.

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16. 如图，已知 $Δ A B C$ 是边长为 $1$ 的等边三角形，点 $D$ 、 $E$ 分别是边 $A B$ 、 $B C$ 的中点，连结 $D E$ 并延长到点 $F$ ，使得 $D E = 2 E F$ ，则 $\overset{⇀}{A F} \cdot \overset{⇀}{B C}$ 的值为

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四、解答题

17. 如图所示，在平行四边形 $A B C D$ 中，M，N分别为 $D C$ ， $B C$ 的中点，已知 $\overset{⇀}{A M} = \vec{c} ， \overset{⇀}{A N} = \vec{d}$ ，试用 $\vec{c} ， \vec{d}$ 表示 $\overset{⇀}{A B} ， \overset{⇀}{A D}$

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18. 如图所示，已知 $\overset{⇀}{O A} = \overset{⇀}{a}$ ， $\overset{⇀}{O B} = \overset{⇀}{b}$ ， $\overset{⇀}{O C} = \overset{⇀}{c}$ ， $\overset{⇀}{O D} = \overset{⇀}{d}$ ， $\overset{⇀}{O E} = \overset{⇀}{e}$ ， $\overset{⇀}{O F} = \overset{⇀}{f}$ ，试用 $\overset{⇀}{a}$ 、 $\overset{⇀}{b}$ 、 $\overset{⇀}{c}$ 、 $\overset{⇀}{d}$ 、 $\overset{⇀}{e}$ 、 $\overset{⇀}{f}$ 表示下列各式：

(1)、 $\overset{⇀}{A D} - \overset{⇀}{A B}$ ；

(2)、 $\overset{⇀}{A B} + \overset{⇀}{C F}$ ；

(3)、 $\overset{⇀}{E F} - \overset{⇀}{C F}$ .

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19. 如图，在 $Δ O C B$ 中，点A是BC的中点，点D是靠近点B将OB分成2：1的一个内分点，DC和OA交于点E，设 $\overset{⇀}{O A} = \vec{a}$ ， $\overset{⇀}{O B} = \vec{b}$ .

(1)、用 $\vec{a} ， \vec{b}$ 表示向量 $\overset{⇀}{O C}$ ， $\overset{⇀}{D C}$ ；

(2)、若 $\overset{⇀}{O E} = λ \overset{⇀}{O A}$ ，求 $λ$ 的值.

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20. 如图，点C是点B关于点A的对称点，点D是线段 $O B$ 的一个靠近点B的三等分点，设 $\overset{⇀}{A B} = \overset{⇀}{a} ， \overset{⇀}{A O} = \overset{⇀}{b}$ .

(1)、用向量 $\overset{⇀}{a}$ 与 $\overset{⇀}{b}$ 表示向量 $\overset{⇀}{O C} ， \overset{⇀}{C D}$ ；

(2)、若 $\overset{⇀}{O E} = \frac{4}{5} \overset{⇀}{O A}$ ，求证：C，D，E三点共线.

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21. 设 $\vec{e_{1}}$ ， $\vec{e_{2}}$ 是两个不共线向量，知 $\vec{A B} = 2 \vec{e_{1}} - 8 \vec{e_{2}}$ ， $\vec{C B} = \vec{e_{1}} + 3 \vec{e_{2}}$ ， $\vec{C D} = 2 \vec{e_{1}} - \vec{e_{2}}$ ．

(1)、证明： $A$ 、 $B$ 、 $D$ 三点共线

(2)、若 $\vec{B F} = 3 \vec{e_{1}} - k \vec{e_{2}}$ ，且 $B$ 、 $D$ 、 $F$ 三点共线，求 $k$ 的值.

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22. 如图，已知 $Δ A B C$ ， $D$ ､ $E$ 分别为边 $A B$ ､ $B C$ 上的点，且 $A D ： D B = B E ： E C = 2 ： 1$ ， $A E$ 与 $C D$ 交于 $P$ ，设存在 $λ$ 和 $μ$ 使 $\overset{⇀}{A P} = λ \overset{⇀}{A E} ， \overset{⇀}{P D} = μ \overset{⇀}{C D} ， \overset{⇀}{B A} = \vec{a} ， \overset{⇀}{B C} = \vec{b}$ .

(1)、求 $λ$ 和 $μ$ 的值；

(2)、用 $\vec{a} ， \vec{b}$ 表示 $\overset{⇀}{B P}$ .

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