福建省南平市2020-2021学年九年级上学期数学期中试卷

试卷更新日期：2021-03-02 类型：期中考试

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一、单选题

1. 下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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2. 已知 $- 2$ 是关于 $x$ 的方程 $x^{2} - m = 0$ 的一个根，则m的值为（）

A、2 B、-1 C、3 D、4

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3. 下列图案中，不能由其中一个图形通过旋转而构成的是（）

A、 B、 C、 D、

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4. 将二次函数 $y = x^{2}$ 的图象向左平移1个单位，则平移后的二次函数的解析式为（）

A、 $y = x^{2} - 1$ B、 $y = x^{2} + 1$ C、 $y = {(x - 1)}^{2}$ D、 $y = {(x + 1)}^{2}$

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5. 二次函数 $y = 2 {(x + 2)}^{2} - 1$ 的图象是（）

A、 B、 C、 D、

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6. 如图，将矩形 $A B C D$ 绕点 $A$ 顺时针旋转到矩形 $A B^{'} C^{'} D^{'}$ 的位置，旋转角为 $α$ （ $0 ° < α < 90 °$ ），若 $α = 24 °$ ，则 $∠ 1$ 的度数为（）

A、 $116 °$ B、 $114 °$ C、 $112 °$ D、 $66 °$

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7. 如图， $△ A B C$ 是 $⊙ O$ 的内接三角形， $A B$ 是 $⊙ O$ 的直径，点 $D$ 在 $⊙ O$ 上．若 $∠ B C D = 36 °$ ，则 $∠ A C D$ 的度数为（）

A、 $36 °$ B、 $44 °$ C、 $54 °$ D、 $64 °$

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8. 已知二次函数y=a（x﹣2）²+c，当x=x₁时，函数值为y₁；当x=x₂时，函数值为y₂ ，若|x₁﹣2|＞|x₂﹣2|，则下列表达式正确的是（　　）

A、y₁+y₂＞0 B、y₁﹣y₂＞0 C、a（y₁﹣y₂）＞0 D、a（y₁+y₂）＞0

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9. 如图，在平面直角坐标系中，O是菱形 $A B C D$ 对角线 $B D$ 的中点， $A D // x$ 轴且 $A D = 4$ ， $∠ A = 60 °$ ，将菱形 $A B C D$ 绕点O旋转，使点D落在x轴上，则旋转后点C的对应点的坐标是（）

A、 $(0 ， 2 \sqrt{3})$ B、 $(2 ， - 4)$ C、 $(2 \sqrt{3} ， 0)$ D、 $(0 ， 2 \sqrt{3})$ 或 $(0 ， - 2 \sqrt{3})$

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10. 如图， $A$ 是 $⊙ B$ 上任意一点，点 $C$ 在 $⊙ B$ 外，已知 $A B = 2$ ， $B C = 4$ ， $△ A C D$ 是等边三角形，则 $△ B C D$ 的面积的最大值为（）

A、 $4 \sqrt{3} + 4$ B、 $4 \sqrt{3}$ C、 $4 \sqrt{3} + 8$ D、 $6 \sqrt{3}$

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二、填空题

11. 已知点 $A (a, - 1)$ 与点 $B (4, b)$ 关于原点对称，则a+b= ．

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12. 方程 $x (x + 1) = 0$ 的解是.

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13. 如图，已知 $A B$ 是 $⊙ O$ 的直径，点 $C$ ， $D$ 在 $⊙ O$ 上， $B C = 2$ ， $∠ C D B = 30 °$ ，则 $⊙ O$ 的半径为．

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14. 已知点 $A (- 2, y_{1})$ ， $B (- 3, y_{2})$ 在二次函数 $y = - x^{2} - 2 x + c$ 的图象上，则 $y_{1}$ 与 $y_{2}$ 的大小关系为 $y_{1}$ $y_{2}$ ．（填“ $>$ ”“ $<$ ”或“ $=$ ”）

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15. 有两个直角三角板，其中 $∠ E = 45 °$ ， $∠ C = 30 °$ ，按图①的方式叠放，先将 $△ A B C$ 固定，再将 $△ A E D$ 绕顶点 $A$ 顺时针旋转，使 $B C // D E$ （如图②所示），则旋转角 $∠ B A D$ 的度数为．

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16. 已知函数y=ax²﹣（a﹣1）x﹣2a+1，当0＜x＜3时，y随x的增大而增大，则a的取值范围是.

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三、解答题

17. 解方程： $2 x^{2} + 4 x - 3 = 0$ ．

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18. 用配方法把二次函数y=﹣2x²+6x+4化为y=a（x+m）²+k的形式，再指出该函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．

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19. 已知关于 $x$ 的方程 $x^{2} - (2 k - 1) x - 2 k = 0$ ，求证：不论 $k$ 取何值，这个方程都有两个实数根．

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20. 如图是一张长10 dm，宽6 dm矩形纸板，将纸板四个角各剪去一个同样的边长为x dm的正方形，然后将四周突出部分折起，可制成一个无盖方盒.

(1)、无盖方盒盒底的长为dm，宽为dm（用含x的式子表示）

(2)、若要制作一个底面积是32dm²的一个无盖长方体纸盒，求剪去的正方形边长x.

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21. 如图，平面直角坐标系内，小正方形网格的边长为1个单位长度，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣1，3），B（﹣4，0），C（0，0）

(1)、画出将△ABC向上平移1个单位长度，再向右平移5个单位长度后得到的△A₁B₁C₁；

(2)、画出将△ABC绕原点O顺时针方向旋转90°得到△A₂B₂O；

(3)、在x轴上存在一点P，满足点P到A₁与点A₂距离之和最小，请直接写出P点的坐标．

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22. “绿水青山就是金山银山”的理念已融入人们的日常生活中，因此，越来越多的人喜欢骑自行车出行．某自行车店在销售某型号自行车时，以高出进价的50%标价．已知按标价九折销售该型号自行车8辆与将标价直降100元销售7辆获利相同．

(1)、求该型号自行车的进价和标价分别是多少元？

(2)、若该型号自行车的进价不变，按（1）中的标价出售，该店平均每月可售出51辆；若每辆自行车每降价20元，每月可多售出3辆，求该型号自行车降价多少元时，每月获利最大？最大利润是多少？

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23. 如图，已知 $⊙ O$ 的直径 $A B ⊥$ 弦 $C D$ 于点 $E$ ，且 $E$ 是 $O B$ 的中点，连接 $CO$ 并延长交 $A D$ 于点 $F$ .

(1)、求证： $C F ⊥ A D$ ；

(2)、若 $A B = 12$ ，求 $C D$ 的长．

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24. 在△ABC 中，AB=BC=2，∠ABC=120°，将△ABC 绕点 B 顺时针旋转角α（0°＜α＜90°）得△A₁BC₁ ， A₁B 交 AC 于点 E，A₁C₁ 分别交 AC、BC 于 D、F 两点．

(1)、如图 1，观察并猜想，在旋转过程中，线段 EA₁ 与 FC 有怎样的数量关系？并证明你的结论；

(2)、如图 2，当α=30°时，试判断四边形 BC₁DA 的形状，并说明理由；

(3)、在（2）的情况下，求 ED 的长．

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25. 如图，已知二次函数 $y = a x^{2} - a x - 3$ 的图象交 $x$ 轴于点 $A$ ， $B$ ，交 $y$ 轴于点 $C$ ，且 $A B = 5$ ，直线 $y = k x + b$ （ $k > 0$ ）与二次函数的图象交于点 $M$ ， $N$ （点 $M$ 在点 $N$ 的右边），交 $y$ 轴于点 $P$ ，交 $x$ 轴于点 $Q$ ．

(1)、求二次函数的解析式；

(2)、若 $b = - 5$ ， $S_{△ O P Q} = \frac{25}{4}$ ，求 $△ C M N$ 的面积；

(3)、若 $b = - 3 k$ ，直线 $A N$ 与 $y$ 轴相交于点 $H$ ，求 $\frac{C P}{C H}$ 的取值范围．

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