浙江省杭州市2020-2021学年高三上学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2021-03-01 类型：期末考试

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一、单选题

1. 若集合 $A = {x | 1 \leq x \leq 3}$ ， $B = {x | (x - 1) (x - 2) \geq 0}$ ，则 $A \cup B =$ （）

A、 ${x | 1 \leq x \leq 2}$ B、 ${x | 2 \leq x \leq 3}$ C、 ${x | 1 \leq x \leq 3}$ D、 $R$

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2. 已知 $a \in R$ ，若 $(2 + a i) (a - 2 i) = - 4 i$ （ $i$ 为虚数单位），则 $a =$ （）

A、-1 B、0 C、1 D、2

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3. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）

A、1 B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{3}{2}$

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4. 若实数 $a$ ， $b$ 满足 $a > 0$ ， $b > 0$ ，则“ $a > b$ ”是“ $\ln a - b > + \ln b - a$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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5. 函数 $f (x) = (\frac{2}{1 + e^{x}} - 1) \cos x$ （其中 $e$ 为自然对数的底数）图象的大致形状是（）

A、 B、 C、 D、

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6. 已知随机变量满足 $P (ξ = x) = a x + b (x = - 1, 0, 1)$ ，其中 $a, b \in R$ .若 $E (ξ) = \frac{1}{3}$ ，则 $D (ξ) =$ （）

A、 $\frac{2}{9}$ B、 $\frac{5}{9}$ C、 $\frac{8}{9}$ D、 $\frac{11}{9}$

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7. 已知 $(x^{2} + 1) {(2 x - 1)}^{7} = a_{0} + a_{1} (x - 1) + a_{2} {(x - 1)}^{2} + \dots + a_{9} {(x - 1)}^{9} (x \in R)$ .则 $a_{1} =$ （）

A、-30 B、30 C、-40 D、40

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8. 已知实数 $a$ ， $b$ 满足 $| b | \leq 2 - a$ ，且 $a \geq - 1$ ，则 $2 a + b$ 的最小值为（）

A、-7 B、-5 C、-3 D、-1

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9. 设函数 $f (x) = \ln x - \frac{e}{x} - 2 m x + n$ .若不等式 $f (x) \leq 0$ 对 $x \in (0 ， + \infty)$ 恒成立，则 $\frac{n}{m}$ 的最大值为（）

A、 $\frac{e}{4}$ B、 $\frac{e}{2}$ C、 $e$ D、 $2 e$

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10. 设数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = 3$ ， $a_{2} = 6$ ， $a_{n + 2} = \frac{a_{n + 1}^{2} + 9}{a_{n}} (n \in N^{*})$ ，（）

A、存在 $n \in N^{*}$ ， $a_{n} \in Q$ B、存在 $p > 0$ ，使得 ${a_{n + 1} - p a_{n}}$ 是等差数列 C、存在 $n \in N^{*}$ ， $a_{n} = \sqrt{5}$ D、存在 $p > 0$ ，使得 ${a_{n + 1} - p a_{n}}$ 是等比数列

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二、填空题

11. 计算 $\lg 2 - \lg \frac{1}{5} =$ ； $4^{\log_{2} 3} =$ .

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12. 在△ABC中，A＝ $\frac{π}{3}$ ，b＝4，a＝2 $\sqrt{3}$ ，则B＝， △ABC的面积等于．

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13. 若 $a > 0$ ， $b > 0$ ，且 $a + b = 1$ ，则 $a^{2} + b^{2}$ 的最小值等于， $\sqrt{a} + \sqrt{b}$ 的最大值等于.

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14. 已知 $\tan α = \cos α$ ，则 $\cos^{2} α + \cos^{4} α =$ ， $\frac{1}{1 - \sin α} - \frac{1}{\sin α} =$ .

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15. 一排 $11$ 个座位，现安排 $2$ 人就座，规定中间的 $3$ 个座位不能坐，且 $2$ 人不相邻，则不同排法的种数是.

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16. 平面向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 的夹角为 $60^{\circ}$ ，且 $| \vec{a} - \vec{b} | = 1$ ，则 $\vec{a} \cdot (\vec{a} + 2 \vec{b})$ 的最大值为.

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17. 在棱长为 $\sqrt{2}$ 的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，棱 $B B_{1}$ ， $B_{1} C_{1}$ 的中点分别为 $E$ ， $F$ ，点 $P$ 在平面 $B C C_{1} B_{1}$ 内，作 $P Q ⊥$ 平面 $A C D_{1}$ ，垂足为 $Q$ ．当点 $P$ 在 $△ E F B_{1}$ 内（包含边界）运动时，点 $Q$ 的轨迹所组成的图形的面积等于．

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三、解答题

18. 已知函数 $f (x) = \sin (ω x + \frac{π}{6}) \cos (ω x + \frac{π}{3}) (ω > 0)$ 的最小正周期为 $π$ .
（Ⅰ）求函数 $f (x)$ 的单调递增区间；

（Ⅱ）在锐角 $△ A B C$ 中，若 $\sin A \sin C - \sin^{2} C = \sin^{2} A - \sin^{2} B$ ，求 $f (B)$ 的值.

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19. 已知函数 $f (x) = x^{2} - a x - | a x - 2 | (a > 0)$ .
（Ⅰ）若 $a = 2$ ，解不等式 $f (x) < 0$ ；

（Ⅱ）设 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， $x_{3}$ ， $x_{4}$ 是函数 $y = f (x) + 1$ 的四个不同的零点，且 $x_{1} < x_{2} < x_{3} < x_{4}$ .问是否存在实数 $a$ ，使得 $x_{2}$ ， $x_{3}$ ， $x_{4}$ 成等差数列？若存在，求出所有 $a$ 的值；若不存在，说明理由.

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20. 在三棱锥 $A - B C D$ 中， $△ B C D$ 为等腰直角三角形，点 $E$ ， $G$ 分别是线段 $B D$ ， $C D$ 的中点，点 $F$ 在线段 $A B$ 上，且 $B F = 2 F A$ .若 $A D = 1$ ， $A B = \sqrt{3}$ ， $C B = C D = \sqrt{2}$ .

（Ⅰ）求证： $A G / /$ 平面 $C E F$ ；

（Ⅱ）求直线 $A D$ 与平面 $C E F$ 所成的角.

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21. 在数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} = 1$ ， $a_{2 k - 1}, a_{2 k}, a_{2 k + 1} (k \in N^{*})$ 成等比数列，公比为 $q_{k} > 0$ .
（Ⅰ）若 $q_{k} = 2$ ，求 $a_{1} + a_{3} + a_{5} + \cdot \cdot \cdot + a_{2 k - 1}$ ；

（Ⅱ）若 $a_{2 k}, a_{2 k + 1}, a_{2 k + 2} (k \in N^{*})$ 成等差数列，公差为 $d_{k}$ ，设 $b_{k} = \frac{1}{q_{k} - 1}$ .

①求证： ${b_{n}}$ 为等差数列；

②若 $d_{1} = 2$ ，求数列 ${d_{k}}$ 的前 $k$ 项和 $D_{k}$ .

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22. 已知函数 $f (x) = x \ln x - \frac{1}{2} a {(x + 1)}^{2}$ ， $a \in R$ 恰好有两个极值点 $x_{1} ， x_{2} (x_{1} < x_{2})$ .
（Ⅰ）求证：存在实数 $m \in (\frac{1}{2} ， 1)$ ，使 $0 < a < m$ ；

（Ⅱ）求证： $- \frac{5}{4} < f (x_{1}) < - \frac{1}{e}$ .

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