浙江省宁波市九校2020-2021学年高一上学期数学期末联考试卷

试卷更新日期：2021-03-01 类型：期末考试

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一、单选题

1. 设全集 $U = {0, 1, 2, 3, 4}$ ，集合 $A = {x \in U ‖ x - 2 ∣ \geq 1}$ 则 $∁_{U} A =$ （）

A、 ${x ∣ 1 < x < 3}$ B、 ${x ∣ 1 \leq x \leq 3}$ C、{2} D、 ${1, - 2, 3}$

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2. 已知 $a = {(\frac{1}{3})}^{\frac{2}{5}}$ ， $b = {(\frac{2}{5})}^{\frac{2}{5}}$ ， $c = \log_{\frac{2}{5}} \frac{1}{3}$ ，则（）

A、 $a < b < c$ B、 $b < a < c$ C、 $b < c < a$ D、 $c < a < b$

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3. 将函数 $f (x)$ 的图象沿 $x$ 轴向右平移一个单位后，所得图象对应的解析式为 $y = x^{\frac{1}{2}}$ ，若 $f (x_{0}) = 2$ ，则 $x_{0} =$ （）

A、2 B、3 C、4 D、5

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4. 已知 $α \in [0, 2 π]$ ，点 $P (1, \tan 2)$ 是角 $α$ 终边上一点，则 $α =$ （）

A、2 B、 $2 + π$ C、 $π - 2$ D、 $2 + π$ 或2

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5. 某药厂为提高医药水平，计划逐年增加研发资金投入，若该公司2020年全年投入研发资金250万元，之后每年投入的研发资金比上一年增长13%，则该公司全年投入的研发资金超过800万元的第一年是（）(参考数据： $\lg 2 \approx 0.3$ ， $\lg 1.13 \approx 0.053$ )

A、2027年 B、2028年 C、2029年 D、2030年

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6. 函数 $f (x) = \frac{2^{x}}{4^{x} - a}$ (其中 $a$ 为实数)的图象不可能是（）

A、 B、 C、 D、

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7. $\frac{1}{\sin 20 °} - \tan 50 ° =$ （）

A、 $\sqrt{3}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{4}$ C、 $\sqrt{2}$ D、3

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8. 已知定义在 $(- 1, 1)$ 上的函数 $f (x)$ 满足：当 $x > 0$ 时， $f (x) > 0$ ，且对任意的 $x, y \in (- 1, 1)$ ，均有 $f (x + y) [1 - f (x) f (y)] = f (x) + f (y)$ .若 $f (\ln x) < f (\frac{1}{2})$ ，则 $x$ 的取值范围是（）( $e$ 是自然对数的底数)

A、 $(\frac{1}{\sqrt{e}}, \sqrt{e})$ B、 $(\frac{1}{e}, \sqrt{e})$ C、 $(\sqrt{e}, e)$ D、 $(\frac{1}{e}, \frac{1}{\sqrt{e}}) \cup (\sqrt{e}, e)$

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二、多选题

9. 已知 $a$ 、 $b$ 均为实数，则“ $a > b$ ”成立的必要条件可以是（）

A、 $| a | > b$ B、 $- a < 1 - b$ C、 $a^{3} > b^{3}$ D、 $\frac{1}{a} < \frac{1}{b}$

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10. 已知函数 $f (x) = 4 \sin (ω x + φ) - 1 (ω > 0 ， | φ | \leq π)$ 为偶函数，点 $A (x_{1} ， - 1)$ 、 $B (x_{2} ， - 1)$ 是 $f (x)$ 图象上的两点，若 $| x_{1} - x_{2} |$ 的最小值为 $2$ ，则下列说法正确的有（）

A、 $ω = \frac{π}{2}$ B、 $φ = \frac{π}{2}$ C、 $f (1) = - 1$ D、 $f (x)$ 在区间 $[x_{1} - 1 ， x_{1} + 1]$ 上单调递增

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11. 关于函数 $f (x) = {\begin{array}{l} 2 \cos π x ， 0 \leq x \leq 2 \\ - \log_{2} x + 2 ， x > 2 \end{array}$ ，下列说法正确的有（）

A、函数 $f (x)$ 是周期为2的周期函数 B、 $f (2) = 2$ C、不等式 $f (x) > 1$ 的解集是 $[0 ， \frac{1}{3}) \cup (\frac{5}{3} ， 2]$ D、若存在实数 $a ， b ， c (a < b < c)$ 满足 $f (a) = f (b) = f (c)$ ，则 $a + b + c + \frac{16}{c}$ 的取值范围是 $[10 ， 19)$

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12. 已知奇函数 $f (x)$ 的定义域为 $R$ ，且满足：对任意的 $x \in R$ ，都有 $f (x) = - f (x + 1)$ .设 $g (x) = x + f (x)$ ，且当 $0 \leq x \leq 1$ 时， $g (x)$ 的值域为 $[0, 1]$ ，则下列说法正确的有（）

A、 $f (x)$ 的图象关于直线 $x = - \frac{3}{2}$ 轴对称 B、 $f (x)$ 在 $[0, 2]$ 内至少有 $5$ 个零点 C、 $f (x)$ 的图象关于点 $(1, 0)$ 中心对称 D、 $g (x)$ 在 $[0, 3]$ 上的值域为 $[0, 3]$

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三、填空题

13. 计算 $2^{1 + \log_{2} 3} =$ .

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14. 已知 $\sin (\frac{π}{4} + α) = \frac{3}{5}$ ， $0 < α < π$ ，则 $\cos α =$ .

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15. 已知 $a$ ， $b$ ， $c$ 均为正实数，满足 $a c + 2 b c = a b$ ，则 $\frac{a + b}{c}$ 的最小值是.

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16. 对于实数 $m$ ，若两函数 $f (x)$ ， $g (x)$ 满足：① $\forall x \in [m, + \infty)$ ， $f (x) < 0$ 或 $g (x) < 0$ ；② $\exists x \in (- \infty, m]$ ， $f (x) g (x) < 0$ ，则称函数 $f (x)$ 和 $g (x)$ 互为“ $m$ 相异”函数.若 $f (x) = a x^{2} + a x - 1$ 和 $g (x) = x - 1$ 互为“ $1$ 相异”函数，则实数 $a$ 的取值范围是.

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四、解答题

17. 已知全集 $U = R$ ，集合 $A = {x | 1 < 2^{x} < 4}$ ，集合 $B = {y | y = \frac{a}{x}, x \in (\frac{1}{a}, + \infty)}$ .

(1)、当 $a = 1$ 时，求 $A \cap (∁_{U} B)$ ；

(2)、若 $A \cap B = A$ ，且 $A \cup (∁_{U} B) = U$ ，求实数 $a$ 的值.

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18. 已知函数 $f (x) = 2 \sin x \cos (x - \frac{π}{6}) + \cos 2 x$ ， $x \in [0 ， \frac{π}{2}]$ .

(1)、求 $f (x)$ 的单调递增区间和最值；

(2)、若函数 $g (x) = f (x) - a$ 有且仅有一个零点，求实数 $a$ 的取值范围.

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19. 已知关于 $x$ 的不等式 $(k x - k^{2} - 4) (x - 4) > 0 (k \in R)$ 的解集为 $A$ .

(1)、写出集合 $A$ ；

(2)、若集合 $A$ 中恰有9个整数，求实数 $k$ 的取值范围.

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20. 如图所示，摩天轮的半径为 $50 m$ ，最高点距离地面高度为 $110 m$ ，摩天轮的圆周上均匀地安装着24个座舱，并且运行时按逆时针匀速旋转，转一周大约需要 $12 \min$ .甲，乙两游客分别坐在 $P$ ， $Q$ 两个座舱里，且他们之间间隔2个座舱(本题中将座舱视为圆周上的点).

(1)、求劣弧 $P Q$ 的弧长 $l$ (单位： $m$ )；

(2)、设游客丙从最低点 $M$ 处进舱，开始转动 $t \min$ 后距离地面的高度为 $H m$ ，求在转动一周的过程中， $H$ 关于时间 $t$ 的函数解析式；

(3)、若游客在距离地面至少 $85 m$ 的高度能够获得最佳视觉效果，请问摩天轮转动一周能有多长时间使甲，乙两位游客都有最佳视觉效果.

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21. 已知函数 $f (x) = \ln \frac{2 - x}{x}$ ， $g (x) = 4^{x} + 2^{x + 1} m - \frac{m}{2} + 1$ .

(1)、根据定义证明函数 $f (x)$ 是减函数；

(2)、若存在两不相等的实数 $a$ ， $b$ ，使 $f (a + 1) + f (b + 1) = 0$ ，且 $g (a) + g (b) = 0$ ，求实数 $m$ 的取值范围.

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22. 设函数 $f (x) = a x^{2} - | x - a |$ ， $a \in R$ .

(1)、判断 $f (x)$ 的奇偶性，并说明理由；

(2)、当 $- 1 \leq a \leq 2$ 时，若对任意的 $x \in [1, 3]$ ，均有 $f (x) + b x \leq 0$ 成立，求 $a^{2} + b$ 的最大值.

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