浙江省温州市2020-2021学年高三上学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2021-03-01 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知全集 $U = R$ ， $A = {x | x^{2} - 2 x - 3 > 0}$ ， $B = {x | 0 \leq x \leq 4}$ ，则 $(∁_{U} A) \cup B =$ （）

A、 ${x | 0 \leq x \leq 3}$ B、 ${x | - 3 \leq x \leq 4}$ C、 ${x | - 1 \leq x \leq 3}$ D、 ${x | - 1 \leq x \leq 4}$

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2. 如图是一个几何体的三视图（单位： $cm$ ），若它的体积是 $2 {cm}^{3}$ ，则a=（）

A、1 B、 $\sqrt{2}$ C、 $\sqrt{3}$ D、2

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3. 已知正数 $a$ 、 $b$ 满足 $a + b = 1$ ，则 $\frac{4 a}{1 - a} + \frac{b}{1 - b}$ 的最小值是（）

A、1 B、2 C、4 D、8

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4. 在平面直角坐标系中，点A，B分别是圆 ${(x - 2)}^{2} + y^{2} = 1$ 与直线 $y = x + t (t > 0)$ 上的动点，若 $| A B |$ 的最小值为 $2 \sqrt{2} - 1$ ，则t的值为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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5. 三个平面将空间分成n个部分，则n不可能是（）

A、5 B、6 C、7 D、8

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6. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $a_{2} \geq 3$ ， $S_{5} \leq 30$ ，则 $a_{1}$ 的最小值是（）

A、-1 B、0 C、1 D、2

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7. 已知 $α$ ， $β \in R$ ，则“ $α + β < 0$ ”是“ $α + β < \sin α + \sin β$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、既不充分也不必要条件 D、充分必要条件

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8. 设抛物线 $C : y^{2} = 4 x$ 的焦点为 $F$ ， $M$ 为抛物线上异于顶点的一点，且 $M$ 在直线 $x = - 1$ 上的射影为 $N$ ，若 $△ M N F$ 的垂心在抛物线 $C$ 上，则 $△ M N F$ 的面积为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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9. 在编号分别为 $i (i = 0, 1, 2, \cdot \cdot \cdot, n - 1)$ 的n名同学中挑选一人参加某项活动，挑选方法如下：抛掷两枚骰子，将两枚骰子的点数之和除以n所得的余数如果恰好为i，则选编号为i的同学．下列哪种情况是不公平的挑选方法（）

A、 $n = 2$ B、 $n = 3$ C、 $n = 4$ D、 $n = 6$

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10. 已知函数 $f (x) = x^{3} + (a + 2) x^{2} + b x + c (a, b, c \in R)$ ，若存在异于a的实数m， $n (m \neq n)$ ，使得 $f (m) = f (n) = f (a)$ ，则b的取值范围为（）

A、 $(- \infty, 1)$ B、 $(- \infty, 1]$ C、 $(\frac{4}{5}, + \infty)$ D、 $(\frac{4}{5}, 1)$

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二、填空题

11. 已知复数z满足 $z \cdot (1 + 2 i) = 5$ ，则z的虚部是， $| z | =$ ．

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12. 二项式 ${(\frac{1}{x} - 2 \sqrt{x})}^{6}$ 的展开式中的常数项为，各个二项式系数的和为．

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13. 已知定义在 $R$ 上的函数 $f (x)$ 满足 $f (x + 1) = f (x - 1)$ ，且当 $x \in [- 1, 1]$ 时， $f (x) = {\begin{array}{l} a x + 1, - 1 \leq x \leq 0 \\ \log_{b} x, 0 < x \leq 1 \end{array}$ ，其中 $a \in R$ ， $b > 0$ 且 $b \neq 1$ ．若 $f (\frac{1}{2}) + f (\frac{3}{2}) = 1$ ，则 $a =$ ， $b =$ ．

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14. 已知点 $F_{1}$ 、 $F_{2}$ 分别为双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - y^{2} = 1 (a > 0)$ 的左、右焦点，点P是双曲线与以 $F_{1} F_{2}$ 为直径的圆在第一象限内的交点，直线 $F_{1} P$ 与直线 $x + a y = 0$ 交于点H，且点H是线段 $F_{1} P$ 的中点，则 $| F_{1} H | =$ ，双曲线的离心率为．

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15. 近年来，各地着力打造“美丽乡村”，彩色田野成为美丽乡村的特色风景，某乡村设计一块类似于赵爽弦图的巨型创意农田（如图所示），计划从黄、白、紫、黑、绿五种颜色的农作物选种几种种在图中区域，并且每个区域种且只种一种颜色的农作物，相邻区域所种的农作物颜色不同，则共有种不同的种法．（用数字作答）

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16. 已知平面单位向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $| \vec{a} - \vec{b} | \leq 1$ ．设向量 $2 \vec{a} + \vec{b}$ 与向量 $\vec{a} - 2 \vec{b}$ 的夹角为 $θ$ ，则 $\cos θ$ 的最大值为．

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17. 已知正数数列 ${a_{n}}$ 满足 $(n + 1) a_{n + 1} = n a_{n} + \frac{1}{a_{n}}$ ，且对任意 $n \in N^{*}$ ，都有 $a_{n} \leq 2$ ，则 $a_{1}$ 的取值范围为．

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三、解答题

18. 已知a，b，c分别是 $△ A B C$ 三个内角A，B，C的对边，且 $\sqrt{3} a \sin C = c \cos A + c$ ．
（Ⅰ）求A；

（Ⅱ）在① $△ A B C$ 的周长为 $6 + 2 \sqrt{3}$ ，② $△ A B C$ 的面积为 $\sqrt{3}$ ，③ $\frac{c - 1}{\cos B} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ ，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求B的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．

问题：已知 $b = 2$ ， ▲ ?

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．

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19. 如图，已知在三棱锥 $P - A B C$ 中， $△ A B C$ 是边长为2的正三角形， $△ P A C$ 是以 $A C$ 为斜边的等腰直角三角形，若直线 $P B$ 与平面 $A B C$ 所成的角为 $\frac{π}{6}$ ．

（Ⅰ）若 $P B > P C$ ，求证：平面 $P A C ⊥$ 平面 $A B C$ ；

（Ⅱ）若 $P B < P C$ ，求直线 $A B$ 与平面 $P A C$ 所成角的正弦值．

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20. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，满足 $a_{1} = 2$ ， $S_{n} + S_{n + 1} = n^{2} + 2 (n \in N^{*})$ ．
（Ⅰ）求 ${a_{n}}$ 的通项公式；

（Ⅱ）设 $T_{n}$ 为数列 ${\frac{1}{a_{n}^{2}}}$ 的前n项和，求证：对任意 $n \in N^{*}$ ，都有 $T_{n} < 3$ ．

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21. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{2} = 1$ 的左、右焦点分别是 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，动直线l与椭圆C有且只有一个公共点P（点P在第一象限），且与x，y轴分别交于G，E两点，过点P做直线l的垂线分别交x，y轴于M，H，过点 $F_{1}$ ，H的直线交椭圆C于A，B两点．记 $△ A B F_{2}$ ， $△ M O H$ ， $△ E O G$ 的面积分别为 $S_{1}$ ， $S_{2}$ ， $S_{3}$ ．

（Ⅰ）求证： $S_{2} \cdot S_{3}$ 为定值；

（Ⅱ）是否存在点P，使得 $S_{1} = 4 \sqrt{3} S_{2}$ ? 如果存在，写出一个点P的坐标即可；如果不存在，请说明理由．

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22. 已知函数 $f (x) = \frac{1}{2} x^{2} - 2 a x + 2 a \ln x (a \in R)$ ．

(1)、若函数 $f (x)$ 在 $(0 ， + \infty)$ 内是单调函数，求实数 $a$ 的取值范围；

(2)、已知 $x_{1}$ 、 $x_{2}$ 是函数 $f (x)$ 的两个极值点，当 $x_{2} > e x_{1}$ 时，均有 $f (x_{1}) - \frac{λ}{2} x_{1}^{2} > f (x_{2}) - \frac{λ}{2} x_{2}^{2}$ 成立，求实数 $λ$ 的取值范围（ $e$ 为自然对数的底数）

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