湖南省长沙市望城区2020-2021学年高一上学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2021-03-01 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知集合 $M = {- 1, 0, 1}$ ， $N = {0, 1, 2}$ ，则 $M \cup N =$ （）

A、 ${- 1, 0, 1}$ B、 ${- 1, 0, 1, 2}$ C、 ${- 1, 0, 2}$ D、 ${0, 1}$

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2. 命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是（）

A、任意一个无理数，它的平方不是有理数 B、任意一个无理数，它的平方是有理数 C、存在一个无理数，它的平方是有理数 D、存在一个无理数，它的平方不是有理数

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3. 将函数 $f (x) = \sin 2 x$ 的图像向左平移 $\frac{π}{6}$ 个单位后，与函数 $g (x)$ 的图像重合，则函数 $g (x) =$ （）．

A、 $\sin (2 x - \frac{π}{6})$ B、 $\sin (2 x + \frac{π}{6})$ C、 $\sin (2 x - \frac{π}{3})$ D、 $\sin (2 x + \frac{π}{3})$

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4. 函数f（x）=lnx+3x-4的零点所在的区间为（）

A、 $(0, 1)$ B、 $(1, 2)$ C、 $(2, 3)$ D、 $(2, 4)$

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5. “ $θ \neq \frac{π}{6}$ ”是“ $\sin θ \neq \frac{1}{2}$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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6. 酒驾是严重危害交通安全的违法行为．为了保障交通安全，根据国家有关规定：100mL血液中酒精含量低于20mg的驾驶员可以驾驶汽车，酒精含量达到20～79mg的驾驶员即为酒后驾车，80mg及以上认定为醉酒驾车．假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了1mg/mL．如果在停止喝酒以后，他血液中酒精含量会以每小时30%的速度减少，那么他至少经过几个小时才能驾驶汽车？（　）（参考数据：lg0.2≈﹣0.7，1g0.3≈﹣0.5，1g0.7≈﹣0.15，1g0.8≈﹣0.1）

A、1 B、3 C、5 D、7

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7. 若 $0 < α < \frac{π}{2}, - \frac{π}{2} < β < 0, \cos (\frac{π}{4} + α) = \frac{1}{3}, \sin (\frac{π}{4} - \frac{β}{2}) = \frac{\sqrt{6}}{3}$ ，则 $\cos (α + \frac{β}{2}) =$ （）

A、 $\frac{5 \sqrt{3}}{9}$ B、 $- \frac{\sqrt{3}}{3}$ C、 $- \frac{5 \sqrt{3}}{9}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$

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8. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} \sin π x ， 0 \leq x \leq 1 \\ \log_{2020} x ， x > 1 \end{array}$ ，若 $a ， b ， c$ 互不相等，且 $f (a) = f (b) = f (c)$ ，则 $a + b + c$ 的取值范围是（）

A、 $(1 ， 2020)$ B、 $(1 ， 2021)$ C、 $(2 ， 2021)$ D、 $[2 ， 2021]$

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二、多选题

9. 已知幂函数 $f (x)$ 图像经过点 $(4 ， 2)$ ，则下列命题正确的有（）

A、函数为增函数 B、函数为偶函数 C、若 $x \geq 9$ ，则 $f (x) \geq 3$ D、若 $x_{2} > x_{1} > 0$ ，则 $\frac{f (x_{1}) + f (x_{2})}{2} > f (\frac{x_{1} + x_{2}}{2})$

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10. 下列结论正确的是（）

A、若 $a b > 0$ ，则 $\frac{b}{a} + \frac{a}{b} \geq 2$ B、若 $- 1 \leq x \leq 1$ ，则 $\sqrt{x^{2} (1 - x^{2})} \leq \frac{1}{2}$ C、若 $a > b > 0$ ，则 $\frac{b^{2}}{a} + \frac{a^{2}}{b} > a + b$ D、函数 $f (x) = 2^{- x} + 2^{x} (x > 0)$ 有最小值2

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11. 已知函数 $f (x) = \sin \frac{x}{2}$ ，则以下结论恒成立的是（）

A、 $f (- x) = - f (x)$ B、 $f (- x) = f (x)$ C、 $f (2 π - x) = f (x)$ D、 $f (π + x) = f (π - x)$

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12. 符号 $[x]$ 表示不超过 $x$ 的最大整数，如 $[3.14] = 3$ ， $[- 1.6] = - 2$ ，定义函数: $f (x) = x - [x]$ ，则下列命题正确的是（）

A、 $f (- 0.8) = 0.2$ B、当 $1 \leq x < 2$ 时， $f (x) = x - 1$ C、函数 $f (x)$ 的定义域为 $R$ ，值域为 $[0, 1)$ D、函数 $f (x)$ 是增函数､奇函数

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三、填空题

13. 已知角 $α$ 在第三象限，且 $\tan α = \frac{3}{4}$ ，则 $\cos α =$ ．

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14. 函数 $y = {(\frac{1}{2})}^{x^{2} - 1}$ 的值域为．

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15. 已知函数 $f (x) = \sqrt{{log}_{0.5} (x - 1)}$ 的定义域为．

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16. 已知函数 $y = a + \cos ω x ， x \in [- π ， π]$ （其中 $a ， ω$ 为常数，且 $ω > 0$ ）有且仅有3个零点，则 $ω$ 的最小值是．

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四、解答题

17. 近年来，我国部分地区遭遇雾霾天气，给人们的健康、交通安全等带来了严重影响．经研究发现，工业废气等污染物排放是雾霾形成和持续的重要因素，污染治理刻不容缓．为此，某工厂新购置并安装了先进的废气处理设备，使产生的废气经过过滤后排放，以降低对空气的污染．已知过滤过程中废气的污染物数量P（单位： $mg/L$ ）与过滤时间t（单位：h）间的关系为 $P (t) = P_{0} e^{- k t}$ （ $P_{0}$ ，k均为非零常数，e为自然对数的底数），其中 $P_{0}$ 为 $t = 0$ 时的污染物数量．若经过 $5h$ 过滤后还剩余 $90 %$ 的污染物．
（参考数据： $\ln 0.2 \approx - 1.61 ， \ln 0.3 \approx - 1.20 ， \ln 0.4 \approx - 0.92 ， \ln 0.5 \approx - 0.69 ， \ln 0.9 \approx - 0.11$ ）

(1)、求常数k的值；

(2)、试计算污染物减少到30%至少需要多长时间．（精确到1h）

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18. 已知函数 $y = 3 \sin (\frac{1}{2} x - \frac{π}{6})$

(1)、用“五点法”作出函数在一个周期内的简图；

(2)、写出函数的单调递减区间、对称中心坐标和对称轴方程．

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19. 已知函数 $f (x) = x^{2} - (a + \frac{2}{a}) x + 2$ ．

(1)、当 $a = 2$ 时；解不等式 $f (\ln x) \leq 0$ ；

(2)、若 $a > \sqrt{2}$ ，解关于x的不等式 $f (x) \geq 0$ ．

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20. 如图，在扇形 $O P Q$ 中，半径 $O P = 2$ ，圆心角 $∠ P O Q = \frac{π}{3}$ ，B是扇形弧上的动点，矩形 $A B C D$ 内接于扇形．记 $∠ B O C = α$ ，求当角 $α$ 取何值时，矩形 $A B C D$ 的面积最大？并求出这个最大值．

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21. 某地为了鼓励节约用电，采用分段计费的方法计算用户的电费：每月用电量不超过 $100 kw \cdot h$ ，按0.58元/ $(kw \cdot h)$ 计费；每月用电量超过 $100 kw \cdot h$ ，其中 $100 kw \cdot h$ 仍按原标准收费，超过部分按0.98元/ $(kw \cdot h)$ 计费．

(1)、设月用电 $x kw \cdot h$ ，应交电费y元，写出y关于x的函数关系式；

(2)、小王家第四季度用电 $325 kw \cdot h$ ，共交电费206.5元，其中10月份电费49.3元，若已知12月份用电超过 $100 kw \cdot h$ ，问小王家10月，11月和12月各用电多少 $kw \cdot h$ ？

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22. 已知函数 $f (x) = 1 - \frac{b}{3 a^{x} - a}$ （ $a > 0$ 且 $a \neq 1$ ）是奇函数，且 $f (1) = 2$ ．

(1)、求 $a, b$ 的值及 $f (x)$ 的定义域；

(2)、设函数 $g (x) = k f (x) - 2$ 有零点，求常数k的取值范围；

(3)、若 $f (t^{2} + 2) + f (- 3 | t |) > 0$ ，求t的取值范围．

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