浙江省宁波市2020-2021学年高一上学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2021-03-01 类型：期末考试

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一、单选题

1. 集合 $U = {1, 2, 3, 4, 5}, S = {1, 4, 5}, T = {2, 3, 4}$ ，则 $S \cap (∁_{U} T) =$ （）

A、 ${1, 5}$ B、{1} C、 ${1, 4, 5}$ D、 ${1, 2, 3, 4, 5}$

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2. “ $a > 0$ ”是“关于x的函数 $y = a x + b (a \neq 0)$ 单调递增”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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3. 已知某扇形的弧长为 $\frac{2 π}{3}$ ，圆心角为 $\frac{π}{3}$ ，则该扇形的面积为（）

A、 $\frac{2 π}{3}$ B、π C、 $\frac{4 π}{3}$ D、 $\frac{8 π}{3}$

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4. 已知非零实数 $a, b$ 满足 $a > b$ ，则（）

A、 $a + \frac{1}{a} > b + \frac{1}{b}$ B、 $\frac{1}{a} < \frac{1}{b}$ C、 $2^{- a} < 2^{- b}$ D、 $\ln (| a |) > \ln (| b |)$

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5. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} x^{2}, x \leq 0 \\ \lg x, x > 0 \end{array}$ ，则 $f (f (\frac{1}{10})) =$ （）

A、-2 B、-1 C、 $\frac{1}{100}$ D、1

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6. 函数 $f (x) = \frac{\ln | x |}{e^{x} - e^{- x}}$ 的大致图象是（）

A、 B、 C、 D、

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7. 已知函数 $f (x) = 4 a x^{2} + 4 x - 1, \forall x \in (- 1, 1), f (x) < 0$ 恒成立，则实数a的取值范围是（）

A、 $a \leq - \frac{3}{4}$ B、 $a < - 1$ C、 $- 1 < a \leq \frac{3}{4}$ D、 $a \leq - 1$

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8. 已知函数 $f (x) = \log_{a} \frac{x - 1}{x + 1} (x \in (r, a + 2))$ )的值域为 $(1, + \infty)$ ，则（）

A、 $r = 2, a = 2 - \sqrt{2}$ B、 $r = 2, a = 2 + \sqrt{2}$ C、 $r = 1, a = \sqrt{2} + 1$ D、 $r = 1, a = \sqrt{2} - 1$

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9. 根据已给数据：

x

1.5

1.53125

1.5625

1.625

1.75

$3^{x}$ 的近似值

5.196

5.378

5.565

5.961

6.839

在精确度为0.1的要求下，方程 $3^{x} = x + 4$ 的一个近似解可以为（）

A、-1 B、1.5 C、1.562 D、1.7

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二、多选题

10. 下列选项不正确的是（）

A、既是奇函数又是偶函数的函数一定是 $f (x) = 0 (x \in R)$ B、函数 $y = \frac{1}{x}$ 在定义域内是减函数 C、所有的周期函数一定有最小正周期 D、函数 $f (x) = e^{\ln x}$ 和函数 $g (x) = \frac{1}{\sqrt{x}}$ 有相同的定义域与值域

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11. 如图所示的某池塘中的浮萍蔓延的面积 $y (m^{2})$ 与时间t(月)的关系为： $y = a^{t}$ .有以下几个判断，正确的是（）

A、 $a = 2$ B、浮萍从 ${5m}^{2}$ 蔓延到 $1 {5m}^{2}$ 只需要经过1.5个月 C、在第6个月，浮萍面积超过 ${30m}^{2}$ D、若浮萍蔓延到 ${2m}^{2} ， {4m}^{2} ， {8m}^{2}$ 所经过的时间分别为 $t_{1} ， t_{2} ， t_{3}$ ，则 $t_{1} + t_{2} = t_{3}$

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12. 已知 $f (x) = \sin^{2} x + \sin^{2} (x + α) + \sin^{2} (x + β)$ ，其中 $α ， β$ 为参数，若对 $\forall x \in R ， f (x)$ 恒为定值，则下列结论中正确的是（）

A、 $f (x) = \frac{3}{2}$ B、 $f (x) = 2$ C、 $α + β = π$ D、满足题意的一组 $α ， β$ 可以是 $α = \frac{π}{3} ， β = \frac{2 π}{3}$

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三、填空题

13. 已知 $\sin α = \frac{3}{5}, \cos β = - \frac{5}{13}, α \in (0, \frac{π}{2}), β \in (\frac{π}{2}, π)$ ，则 $\sin (α + β) =$ .

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14. 已知函数 $f (x) = A \sin (ω x + φ) ， x \in R$ (其中 $A > 0 ， ω > 0 ， | φ | < \frac{π}{2}$ )，其部分图象如图所示，则 $f (x) =$ .

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15. 已知 $a, b$ 都是正数，若 $a + b + a b = 3$ ，则a+b的最小值为.

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16. 已知 $1 < a < 4$ ，函数 $f (x) = x + \frac{9}{x}, \exists x_{1} \in [1, a], x_{2} \in [a, 4]$ ，使得 $f (x_{1}) f (x_{2}) \geq 80$ ，则a的取值范围.

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四、解答题

17.

(1)、求值：若 $x \log_{3} 2 = 1$ ，求 $2^{x} + 2^{- x}$ 的值；

(2)、化简： $\frac{\cos (α - 3 π) \cos (\frac{π}{2} - α)}{\sin 2 α}$ .

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18. 已知集合 $A = {x | x^{2} - 3 x - 4 < 0} ， B = {x | x^{2} + 4 m x - 5 m^{2} < 0}$ ，其中 $m \in R$ .

(1)、若 $B = {x | - 5 < x < 1}$ ，求实数m的值；

(2)、已知命题 $p : x \in A$ ，命题 $q : x \in B$ ，若p是q的充分条件，且 $m > 0$ ，求实数m的取值范围.

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19. 已知角 $α$ 的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边在射线 $y = 2 x (x \geq 0)$ 上.

(1)、求 $\cos 2 α$ 的值：

(2)、若角 $β$ 满足 $\tan (2 α - β) = 1$ ，求 $\tan (α - β)$ 的值.

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20. 已知函数 $f (x) = \sin x \cos x + \cos^{2} x$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 的最小正周期，并写出函数 $f (x)$ 的单调递增区间；

(2)、若将函数 $y = f (x)$ 的图象上各点的横坐标变为原来的 $\frac{1}{2}$ (纵坐标不变)，再把图象向右平移 $\frac{π}{8}$ 个单位长度，得到函数 $y = g (x)$ 的图象，求满足 $g (x) \geq 1$ 的实数x的集合.

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21. 为了预防某流感病毒，某学校对教室进行药熏消毒，室内每立方米空气中的含药量 $y$ （单位：毫克）随时间 $x$ （单位： $h$ ）的变化情况如下图所示，在药物释放的过程中， $y$ 与 $x$ 成正比：药物释放完毕后， $y$ 与 $x$ 的函数关系式为 $y = {(\frac{1}{16})}^{x - a}$ （ $a$ 为常数），根据图中提供的信息，回答下列问题：

(1)、写出从药物释放开始， $y$ 与 $x$ 之间的函数关系式.

(2)、据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进教室学习，那么从药物释放开始，至少需要经过多少小时后，学生才能回到教空？

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22. 已知函数 $f (x) = x^{2} + (x - 1) | x - a |$

(1)、若 $a = 1$ ，解不等式 $f (x) \leq 1$ ；

(2)、若函数 $f (x)$ 在 $[- 2 ， 2]$ 上单调递增，求实数a的取值范围；

(3)、记函数 $f (x)$ 在 $[- 2 ， 2]$ 上最大值为 $g (a)$ ，求 $g (a)$ 的最小值.

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x	1.5	1.53125	1.5625	1.625	1.75
$3^{x}$ 的近似值	5.196	5.378	5.565	5.961	6.839