湖南省张家界市2020-2021学年高一上学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2021-03-01 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知全集 $U = {1, 2, 3, 4, 5, 6}$ ， $A = {2, 3, 5}$ ， $B = {1, 3, 6}$ ，则 $∁_{U} (A \cap B) =$ （）

A、{4} B、 $\emptyset$ C、 ${1, 2, 4, 5, 6}$ D、 ${1, 2, 3, 5, 6}$

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2. 命题“ $\exists x_{0} \in ∁_{R} Q$ ， $x_{0}^{3} \in Q$ ”的否定是（）．

A、 $\forall x \in ∁_{R} Q$ ， $x^{3} \notin Q$ B、 $\exists x_{0} \in ∁_{R} Q$ ， $x_{0}^{3} \notin Q$ C、 $\forall x \notin ∁_{R} Q$ ， $x^{3} \in Q$ D、 $\exists x_{0} \notin ∁_{R} Q$ ， $x_{0}^{3} \in Q$

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3. $\sin \frac{8 π}{3} =$ （）

A、 $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ B、 $- \frac{1}{2}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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4. “ $x y > 1$ ”是“ $x > 1, y > 1$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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5. 下列大小关系正确的是（）

A、 ${0.4}^{2} < 3^{0.4} < \log_{4} 0.3$ B、 ${0.4}^{2} < \log_{4} 0.3 < 3^{0.4}$ C、 $\log_{4} 0.3 < {0.4}^{2} < 3^{0.4}$ D、 $\log_{4} 0.3 < 3^{0.4} < {0.4}^{2}$

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6. 已知 $\tan α = 2$ ，则 $\frac{2 \sin^{2} α + \cos^{2} α}{\sin^{2} α - 3 \cos^{2} α}$ 的值为（）

A、9 B、6 C、-2 D、-3

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7. 有一块半径为2，圆心角为45°的扇形钢板，从这个扇形中切割下一个矩形（矩形的各个顶点都在扇形的半径或弧上，且矩形的一边在扇形的半径上），则这个内接矩形的面积最大值为（）

A、 $2 + \sqrt{2}$ B、 $2 - \sqrt{2}$ C、 $2 \sqrt{2} - 2$ D、 $2 \sqrt{2} + 2$

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8. 设函数 $f (x) = 1 - \sqrt{x + 1}, g (x) = \ln (a x^{2} - 3 x + 1)$ ，若对任意 $x_{1} \in [0, + \infty)$ ，都存在 $x_{2} \in R$ ，使得 $f (x_{1}) = g (x_{2})$ ，则实数 $a$ 的最大值为（）

A、 $\frac{9}{4}$ B、2 C、 $\frac{9}{2}$ D、4

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二、多选题

9. 下列判断正确的有（）

A、 $\sqrt{{(π - 4)}^{2}} = π - 4$ B、 $0 \in {- 1 ， 0 ， 2}$ C、 $\cos 1^{\circ} > \sin \frac{π}{6}$ D、 $y = {(\sqrt{x})}^{2}$ 与 $y = x$ 是同一个函数

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10. 下列命题为真命题的有（）

A、若 $a > b$ ， $c > d$ ，则 $a + c > b + d$ B、若 $a > b$ ，则 $a c^{2} > b c^{2}$ C、若 $a > b > 0$ ，则 $a^{2} > b^{2}$ D、若 $a > b > 0$ ，则 $\frac{1}{a} > \frac{1}{b}$

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11. 基本再生数 $R_{0}$ 与世代间隔 $T$ 是新冠肺炎的流行学基本参数，基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指间隔相邻两代间传染所需的平均时间，在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型： $I (t) = e^{r t}$ 描述累计感染病例数 $I (t)$ 随时间 $t$ (单位：天)的规律，指数增长率 $r$ 与 $R_{0}$ ， $T$ 近似满足 $R_{0} = 1 + r T$ ，有学者基于已有数据估计出 $R_{0} = 3.28$ ， $T = 6$ ，据此，在新冠肺炎疫情初始阶段累计感染病例数增加 $1$ 倍需要的时间，判断错误的有（）（参考数据：ln2≈0.69）

A、约1.8天 B、约2.6天 C、约3.5天 D、约6.9天

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12. 定义一种运算： $a \otimes b = {\begin{array}{l} a ， a \geq b \\ b ， a < b \end{array}$ ，设 $f (x) = (5 + 2 x - x^{2}) \otimes | x - 1 |$ ，则下面结论中正确的有（）

A、函数 $f (x)$ 的图象关于直线 $x = 1$ 对称 B、函数 $f (x)$ 的图象与直线 $y = 5$ 有三个公共点 C、函数 $f (x)$ 的单调递减区间是 $(- \infty ， - 1]$ 和 $[1 ， 3]$ D、函数 $f (x)$ 的最小值是2

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三、填空题

13. 已知幂函数f（x）的图象经过（3，27），则f（2）= ．

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14. 已知角 $α$ 的终边经过点 $P (- 1, \sqrt{3})$ ,则 $\cos α$ 的值为

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15. 设函数 $f (x) = 2^{1 - | x |} + \frac{2 - x^{2}}{1 + x^{2}}$ ，若对 $\forall x \in R$ ，不等式 $f (m x) \geq f (x^{2} + 4)$ 成立，则实数 $m$ 的取值范围是.

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16. 将函数 $f (x) = \sin ω x (ω > 0)$ 的图象向右平移 $\frac{π}{12}$ 个单位长度得到函数 $y = g (x)$ 的图象，若函数 $g (x)$ 在区间 $[0 ， \frac{π}{2}]$ 上是单调递增函数，则实数 $ω$ 的取值范围是.

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四、解答题

17. 已知集合 $A = {x | - 2 \leq x \leq 2}$ ，集合 $B = {x | x > 1}$ .

(1)、求 $(C_{R} B) \cap A$ ；

(2)、设集合 $M = {x | a < x < a + 6}$ ，且 $A \cup M = M$ ，求实数 $a$ 的取值范围.

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18. 在① $\sin α > 0$ ，② $\cos α < 0$ ，③ $\tan α > 0$ 这三个条件中任选两个，补充在下面的问题中并解答.已知_____________，且 $| \sin α | = \frac{4}{5}$ .

(1)、求 $\cos α$ 和 $\tan α$ 的值；

(2)、求 $\sin 2 α - \cos 2 α$ 的值.

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19. 已知函数 $f (x) = \log_{a} x$ （ $a > 0$ 且 $a \neq 1$ ），设 $g (x) = f (2 + x) - f (2 - x)$ .

(1)、求函数 $g (x)$ 的定义域；

(2)、判断函数 $g (x)$ 的奇偶性，并说明理由；

(3)、求不等式 $g (x) > 0$ 的解集.

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20. 已知 $m > 0$ ， $M (- \frac{1}{2} ， 0 ， \frac{1}{2})$ ， $q : 2 - m \leq x \leq 2 + m$ .

(1)、若 $m = 5$ ，且命题 $p$ 或 $q$ 为真命题， $p$ 且 $q$ 为假命题，求实数 $x$ 的取值范围；

(2)、若 $p$ 是 $q$ 的充分条件，求实数 $m$ 的取值范围.

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21. 某变异病毒感染的治疗过程中，需要用到某医药公司生产的 $A$ 类药品．该公司每年生产此类药品的年固定成本为160万元，每生产 $x$ 千件需另投入成本为 $C (x) = \frac{1}{10} x^{2} + 20 x$ （万元），每千件药品售价为60万元，此类药品年生产量不超过280千件，假设在疫情期间，该公司生产的药品能全部售完.

(1)、求公司生产 $A$ 类药品当年所获利润 $y$ （万元）的最大值；

(2)、当年产量为多少千件时，每千件药品的平均利润最大？并求最大平均利润.

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22. 已知函数 $f (x) = A \sin (ω x + φ) (ω > 0 ， | φ | < \frac{π}{2})$ 部分图象如图所示.

(1)、求 $ω$ 和 $φ$ 的值；

(2)、求函数 $f (x)$ 在 $[- π ， π]$ 上的单调递增区间；

(3)、设 $φ (x) = f (x - \frac{π}{12}) - f (x + \frac{π}{12})$ ，已知函数 $g (x) = 2 φ^{2} (x) - 3 φ (x) + 2 a - 1$ 在 $[\frac{π}{6} ， \frac{π}{2}]$ 上存在零点，求实数 $a$ 的最小值和最大值.

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