安徽省芜湖市2020-2021学年高三上学期文数期末考试试卷

试卷更新日期：2021-03-01 类型：期末考试

进入出卷网下载

一、单选题

1. 已知集合 $A = {x ∣ - 1 < x < 3}$ ，集合 $B = {x ∣ x < 2}$ ，则 $A \cap B =$ （）．

A、 ${x ∣ - 1 < x < 2}$ B、 ${x ∣ - 1 < x < 3}$ C、 ${x ∣ x < 3}$ D、 ${x ∣ x < 2}$

查看试题解析
2. 设复数 $z$ 满足 $z (1 - i) = 1 + i$ ，则 $z$ 的虚部为（）．

A、-1 B、1 C、 $i$ D、 $- i$

查看试题解析
3. 甲、乙两名党员报名参加进社区服务活动，他们分别从“帮扶困难家庭”、“关怀老人”、“参加社区义务劳动”、“宣传科学文化法律知识”这四个项目中随机选一项目报名，则这两名党员所报项目不同的概率为（）．

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、 $\frac{3}{4}$

查看试题解析
4. 若双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的离心率为 $\sqrt{5}$ ，则该双曲线的渐近线方程为（）

A、 $y = \pm \frac{1}{2} x$ B、 $y = \pm 2 x$ C、 $y = \pm \frac{\sqrt{2}}{2} x$ D、 $y = \pm \sqrt{2} x$

查看试题解析
5. 执行如图所示的程序框图，输出的S值为（）

A、3 B、-6 C、10 D、-15

查看试题解析
6. 在 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，则“ $a = 2 b \sin A$ ”是“ $B = \frac{π}{6}$ ”的（）．

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

查看试题解析
7. 设实数 $a < b$ ，函数 $y = a (x - a) {(x - b)}^{2}$ 的图象可能是（）．

A、 B、 C、 D、

查看试题解析
8. 已知实数 $x$ ， $y$ 满足 ${\begin{array}{l} - 2 \leq x - y \leq 2 \\ 1 \leq x \leq m \end{array}$ 且 $z = y - 2 x$ 的最小值为-6，则实数 $m$ 的值为（）．

A、2 B、3 C、4 D、8

查看试题解析
9. 已知函数 $f (x) = A \sin (ω x + φ) (A > 0 ， ω > 0 ， | φ | < \frac{π}{2})$ 的部分图象如图所示，则 $f (\frac{2021 π}{6}) =$ （）．

A、1 B、-1 C、 $\sqrt{3}$ D、 $- \sqrt{3}$

查看试题解析
10. 意大利著名天文学家伽利略曾错误地猜测链条自然下垂时的形状是抛物线．直到1690年，雅各布·伯努利正式提出该问题为“悬链线”问题并向数学界征求答案.1691年他的弟弟约翰·伯努利和菜布尼兹、惠更斯三人各自都得到了正确答案，给出悬链线的数学表达式——双曲余弦函数： $f (x) = c + a \cosh \frac{x}{a} = c$ $+ a \cdot \frac{e^{\frac{x}{a}} + e^{- \frac{x}{a}}}{2}$ （ $e$ 为自然对数的底数）．当 $c = 0$ ， $a = 1$ 时，记 $p = f (- 1)$ ， $m = f (\frac{1}{2})$ ， $n = f (2)$ ，则 $p$ ， $m$ ， $n$ 的大小关系为（）．

A、 $p < m < n$ B、 $n < m < p$ C、 $m < p < n$ D、 $m < n < p$

查看试题解析
11. 已知正四棱锥的高为2，底面正方形边长为4，其正视图为如图所示的等腰三角形，正四棱锥表面点 $M$ 在正视图上的对应点为腰的中点 $A$ ，正四棱锥表面点 $N$ 在正视图上对应点为 $B$ ，则 $| M N |$ 的取值范围为（）．

A、 $[\sqrt{10} ， \sqrt{19}]$ B、 $[\sqrt{11} ， \sqrt{19}]$ C、 $[\sqrt{10} ， 2 \sqrt{5}]$ D、 $[\sqrt{11} ， 2 \sqrt{5}]$

查看试题解析
12. 已知关于 $x$ 的不等式 $x^{3} - a x^{2} \geq \ln x$ 恒成立，则实数 $a$ 的取值范围为（）．

A、 $(- \infty ， 1]$ B、 $(0 ， 1]$ C、 $(0 ， \frac{1}{e}]$ D、 $(- \infty ， 0]$

查看试题解析

二、填空题

13. 曲线 $f (x) = x \ln x - 1$ 上某点处的切线与直线 $l ： x + y - 1 = 0$ 垂直，则该切线方程为．

查看试题解析
14. 已知向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为 $60 °$ ，且 $| \vec{a} | = 2$ ， $| \vec{b} | = 4$ ，则 $| \vec{a} - 2 \vec{b} | =$ ．

查看试题解析
15. 已知 $A$ 为抛物线 $C ： y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 上一点，以抛物线焦点 $F$ 为圆心， $F A$ 为半径的圆交准线 $l$ 于 $B$ ， $D$ 两点， $△ B F D$ 为等边三角形，且 $△ A B D$ 的面积为8，则圆 $F$ 的方程为．

查看试题解析
16. 在三角形 $A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ， $∠ A C B = 90 °$ ， $∠ A C B$ 的角平分线交 $A B$ 于点 $D$ ，且 $C D = 2$ ，则 $a + 4 b$ 的最小值为．

查看试题解析

三、解答题

17. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 中， $S_{n}$ 为数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和， $a_{5} = 19$ ， $S_{3} = 21$ ．

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式 $a_{n}$ ；

(2)、令 $b_{n} = \frac{1}{S_{n} + n}$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ ．

查看试题解析

18. 2020年是全面建成小康社会和“十三五”规划实现之年，也是脱贫攻坚收官之年.2016年起某贫困地区采取优化产业结构，发展第三产业的扶贫攻坚政策，经济收入逐年增加，到2020年实现脱贫，基本达到小康水平．为更好地了解该地区的经济收入变化情况，统计了该地区从2016年到2020年的经济收入变化以及2016年和220年经济收入的构成比例，得到如下列表和饼图：

年份	2016年	2017年	2018年	2019年	2020年
年份代号 $x$	1	2	3	4	5
经济收入 $y$ （单位：百万元）	8	13	17	25	32

参考公式：对于一组具有线性相关关系的数据 $(x_{i} ， y_{i}) (i = 1 ， 2 ， 3 ， \cdot \cdot \cdot ， n)$ ，其回归直线 $\hat{y} = \hat{b} x + \hat{a}$ 的斜率和截距的最小二乘估计分别为： $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}}$ ， $\hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \bar{x}$ ．

(1)、若该地区第三产业收入2020年是2016年的20倍，求2020年经济收入中第三产业收入和其他收入所占百分比

m

，

n

的值；

(2)、求经济收入

y

关于

x

的线性回归方程，并预测2025年该地区的经济收入．

查看试题解析

19. 如图，三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 的各棱的长均为2， $A_{1}$ 在底面上的射影为 $△ A B C$ 的重心 $O$ ．

(1)、若 $D$ 为 $B C$ 的中点，求证： $A_{1} C //$ 平面 $A D B_{1}$ ；

(2)、求四棱锥 $C - A B B_{1} A_{1}$ 的体积．

查看试题解析
20. 已知 $A$ 、 $B$ 分别为椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右顶点，点 $G (0 ， 1)$ 为椭圆 $C$ 的上顶点，直线 $G A$ 与 $G B$ 的斜率之积为 $- \frac{1}{3}$ ．

(1)、求椭圆 $C$ 的方程；

(2)、设椭圆 $C$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ 、 $F_{2}$ ，点 $M$ 、 $N$ 为椭圆 $C$ 上位于 $x$ 轴上方的两点，且 $M F_{1} // N F_{2}$ ，求四边形 $F_{1} M N F_{2}$ 面积的取值范围．

查看试题解析
21. 已知函数 $f (x) = a e^{x} - x^{2} - 2 (x - 1)$ （其中 $e$ 为自然对数的底数， $a \in R$ ）．

(1)、当 $a = 2$ 时，求 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、若 $f (x)$ 有两个极值点，求实数 $a$ 的取值范围．

查看试题解析
22. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，曲线 $C_{1}$ 的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = 2 + t \cos θ \\ y = t \sin θ \end{array}$ ，以坐标原点为极点， $x$ 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 $C_{2}$ 的极坐标方程为 $ρ = 4 \sin θ$ ．

(1)、当 $t$ 为参数， $θ \in [0, π)$ 时，曲线 $C_{1}$ 与 $C_{2}$ 相交于 $A$ ， $B$ ，且 $| A B | = 4$ ，求 $θ$ 的值；

(2)、当 $θ$ 为参数， $t > 0$ 时，曲线 $C_{1}$ 与 $C_{2}$ 只有一个公共点，求 $t$ 的值．

查看试题解析
23. 已知函数 $f (x) = | x + 5 | + | 2 x - 2 |$ ．

(1)、求不等式 $f (x) \geq 12$ 的解集；

(2)、若 $m$ 为 $f (x)$ 的最小值，实数 $a$ ， $b$ ， $c$ 满足 $a^{2} + b^{2} + c^{2} = m$ ，求证： $\frac{1}{a^{2} + 1} + \frac{1}{b^{2} + 2} + \frac{1}{c^{2} + 3} \geq \frac{3}{4}$ ．

查看试题解析