浙江省绍兴市诸暨市2020-2021学年高三上学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2021-03-01 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {0 ， 1}$ ， $B = {y | y = 3^{x} - 2^{x} ， x \in A}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、{0} B、{1} C、 ${0 ， 1}$ D、 $\emptyset$

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2. 已知复数z满足 $| z | - z = 1 + i$ （i为虚数单位），则 $z =$ （）

A、i B、 $- i$ C、 $1 - i$ D、 $1 + i$

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3. 若实数x，y满足约束条件 ${\begin{matrix} x - y + 1 \geq 0 ， \\ x + y - 1 \geq 0 \\ y \geq - 1 ， \end{matrix}$ ，则 $z = x^{2} + y^{2}$ 的取值范围是（）

A、 $[\frac{1}{2} ， + \infty)$ B、 $[\frac{\sqrt{2}}{2} ， + \infty)$ C、 $[0 ， \sqrt{5}]$ D、 $[0 ， 5]$

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4. 某几何体的三视图如图所示（单位： $cm$ ），则该几何体的体积（单位： ${cm}^{3}$ ）是（）

A、24 B、30 C、 $4 \sqrt{7}$ D、 $6 \sqrt{7}$

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5. 若 $x \in R ， k \in Z$ ，则“ $| x - k π | < \frac{π}{4}$ ”是“ $| \tan x | < 1$ ”的（）

A、充分而不必要条件 B、必要而不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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6. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，且 $a_{n} > 0$ ， $n \in N^{*}$ ，若数列 ${a_{n}}$ 和 ${S_{n}}$ 都是等差数列，则下列说法不正确的是（）

A、 ${a_{n} + S_{n}}$ 是等差数列 B、 ${a_{n} \cdot S_{n}}$ 是等差数列 C、 ${a_{n}^{2}}$ 是等比数列 D、 ${S_{n}^{2}}$ 是等比数列

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7. 已知函数 $f (x) = x \cdot (e^{x} - e^{- x}) + x^{2}$ ，若 $f (x) < f (y) < f (x + y)$ ，则（）

A、 $x y > 0$ B、 $x y < 0$ C、 $x + y > 0$ D、 $x + y < 0$

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8. 设 $a > 0$ ，若随机变量 $ξ$ 的分布列如下：

$ξ$

-1

0

2

P

a

$2 a$

$3 a$

则下列方差值中最大的是（）

A、 $D (ξ)$ B、 $D (| ξ |)$ C、 $D (2 ξ - 1)$ D、 $D (2 | ξ | + 1)$

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9. 已知函数 $f (x) = {\begin{matrix} e^{x - 1} - 1 ， x \geq 1 ， \\ \ln x ， 0 < x < 1 ， \end{matrix}$ ， $g (x) = f (x) - a x - b$ ，则下列说法正确的有（）
①存在 $a ， b \in R$ ，函数 $g (x)$ 没有零点；②存在 $a ， b \in R$ ，函数 $g (x)$ 恰有三个零点；③任意 $b \in R$ ，存在 $a > 0$ ，函数 $g (x)$ 恰有一个零点；④任意 $a > 0$ ，存在 $b \in R$ ，函数 $g (x)$ 恰有二个零点；

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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10. 如图，在三棱锥 $P - A B C$ 中， $A B ⊥ A C$ ， $A B = A P$ ，D是棱 $B C$ 上一点（不含端点）且 $P D = B D$ ，记 $∠ D A B$ 为 $α$ ，直线 $A B$ 与平面 $P A C$ 所成角为 $β$ ，直线 $P A$ 与平面 $A B C$ 所成角为 $γ$ ，则（）

A、 $γ \leq β ， γ \leq α$ B、 $β \leq α ， β \leq γ$ C、 $β \leq α ， γ \leq α$ D、 $α \leq β ， γ \leq β$

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二、填空题

11. 知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{2} = 1$ 的离心率 $e = \sqrt{3}$ ，则双曲线的焦点坐标是；渐近线方程是．

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12. 已知函数 $f (x) = \sin (ω x + φ) (ω > 0 ， 0 < φ < \frac{π}{2})$ ，且 $f (0) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ ，则 $φ =$ ；若 $f (x)$ 与 $g (x) = | \sin x |$ 的周期相同，则 $ω =$ ．

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13. 若多项式 $x^{6} + 2 x^{7} = a_{0} + a_{1} (1 + x) + a_{2} {(1 + x)}^{2} + \dots + a_{6} {(1 + x)}^{6} + a_{7} {(1 + x)}^{7}$ ，则 $a_{0} =$ ； $a_{6} =$ ．

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14. 某单位把15只同种型号的口罩分给甲、乙、丙三人（每人至少1只），且三人领到的口罩只数互不相同，则不同的分发方案有种；甲恰好领到3只口罩的概率为．

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15. 我国古代数学家僧一行应用“九服晷影算法”在《大衍历》中建立了晷影长l与太阳天顶距 $θ (0 ° \leq θ \leq 80 °)$ 的对应数表，这是世界数学史上较早的一张正切函数表，根据三角学知识可知，晷影长度l等于表高h与太阳天顶距 $θ$ 正切值的乘积，即 $l = h \cdot \tan θ$ ．若对同一“表高”两次测量，“晷影长”分别是“表高”的 $2$ 倍和 $3$ 倍（所成角记 $θ_{1}$ 、 $θ_{2}$ ），则 $\tan (θ_{1} + θ_{2}) =$ ．

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16. 已知 $\vec{e_{1}} ， \vec{e_{2}} ， \vec{e_{3}}$ 是平面向量，且 $\vec{e_{1}} ， \vec{e_{2}}$ 是互相垂直的单位向量，若对任意 $λ \in R$ 均有 $| \vec{e_{3}} + λ \vec{e_{1}} |$ 的最小值为 $| \vec{e_{3}} - \vec{e_{2}} |$ ，则 $| \vec{e_{1}} + 3 \vec{e_{2}} - \vec{e_{3}} | + | \vec{e_{3}} - \vec{e_{2}} |$ 的最小值为．

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17. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{2} + y^{2} = 1$ 的左焦点为F，椭圆外一点 $P (0 ， t) (t > 1)$ ，直线 $P F$ 交椭圆于A、B两点，过P作椭圆C的切线，切点为E，若 $3 | P E |^{2} = 4 | P A | \cdot | P B |$ ，则 $t =$ ．

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三、解答题

18. 在 $△ A B C$ C中，角A，B，C所对的边分别为a，b、c，已知 $b = c \cdot \cos A + \frac{a}{2}$ ．

(1)、求角C的大小；

(2)、若 $c = 2 \sqrt{3}$ ， $△ A B C$ 的面积为 $\sqrt{3}$ ，分别求a+b、 $\sin A + \sin B$ 的值．

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19. 如图，在三棱锥 $A - B C D$ 中， $△ A B C$ 是边长为3的等边三角形， $C D = C B$ ， $C D ⊥$ 平面 $A B C$ ，点M、N分别为 $A C$ 、 $C D$ 的中点，点P为线段 $B D$ 上一点，且 $B M / /$ 平面 $A P N$ ．

(1)、求证： $B M ⊥ A N$ ；

(2)、求直线 $A P$ 与平面 $A B C$ 所成角的正弦值．

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20. 已知正项数列 ${a_{n}}$ 、 ${b_{n}}$ ，记数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，若 $a_{1} + b_{1} = \frac{4}{3}$ ， $2 S_{n} + a_{n} = 1$ ， $n b_{n}^{2} - b_{n} b_{n - 1} - (n + 1) b_{n - 1}^{2} = 0$

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 、 ${b_{n}}$ 的通项公式；

(2)、求数列 ${2 a_{n} b_{n}}$ 的前n项和 $T_{n}$ ．

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21. 如图，已知抛物线 $y^{2} = 4 x$ 的焦点为F，过F作斜率为 $k (k > 0)$ 的直线交抛物线于 $A (x_{1} ， y_{1})$ 、 $B (x_{2} ， y_{2})$ 两点，且 $y_{1} > 0$ ，弦 $A B$ 中垂线交x轴于点T，过A作斜率为 $- k$ 的直线交抛物线于另一点C．

(1)、若 $y_{1} = 4$ ，求点B的坐标；

(2)、记 $△ A B T$ 、 $△ A B C$ 的面积分别为 $S_{1}$ 、 $S_{2}$ ，若 $S_{2} = 4 S_{1}$ ，求点A的坐标．

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22. 已知函数 $f (x) = e^{x} - a x - 1$ ．

(1)、讨论函数 $f (x)$ 的单调性；

(2)、若函数 $f (x)$ 在 $(0 ， + \infty)$ 有零点 $x_{0}$ ，求证：
（ⅰ） $\frac{2 \ln a}{a} < x_{0} < 2 \ln a$ ；

（ⅱ） $f (a x_{0}) > {(\sqrt{a} - 1)}^{3} (\sqrt{a} + 1)$ ．

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$ξ$	-1	0	2
P	a	$2 a$	$3 a$