浙江省金华十校2020-2021学年高一上学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2021-03-01 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {0}$ ，集合 $B = {x | x < a}$ ，若 $A \subseteq B$ ，则实数a的取值范围是（）

A、 $a \leq 0$ B、 $a \geq 0$ C、 $a < 0$ D、 $a > 0$

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2. 命题 $p : a > b$ ，命题 $q : a + c > b + c$ （其中 $a, b, c \in R$ ），那么p是q的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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3. 已知某炮弹飞行高度h（单位：m）与时间x（单位：s）之间的函数关系式为 $h = 130 t - 5 t^{2}$ ，则炮弹飞行高度高于 $240 m$ 的时间长为（）

A、 $22 s$ B、 $23 s$ C、 $24 s$ D、 $25 s$

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4. 智能主动降噪耳机工作的原理是通过耳机两端的噪声采集器采集周围的噪音，然后通过听感主动降噪芯片生成相等的反向波抵消噪音（如图）．已知噪音的声波曲线 $y = A \sin (ω x + φ)$ （其中 $A > 0 ， ω > 0 ， 0 \leq φ < 2 π$ ）的振幅为1，周期为 $2 π$ ，初相为 $\frac{π}{2}$ ，则通过听感主动降噪芯片生成相等的反向波曲线为（）

A、 $y = \sin x$ B、 $y = \cos x$ C、 $y = - \sin x$ D、 $y = - \cos x$

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5. 《周髀算经》中给出的弦图是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形拼成的一个大的正方形，若图中所示的角为 $α (0^{\circ} < α < 45^{\circ})$ ，且小正方形与大正方形面积之比为 $1 ： 25$ ，则 $tan α$ 的值为（）

A、 $\frac{3}{5}$ B、 $\frac{3}{4}$ C、 $\frac{4}{5}$ D、 $\frac{24}{25}$

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6. 为了给地球减负，提高资源利用率，垃圾分类在全国渐成风尚．假设2020年 $A$ 、 $B$ 两市全年用于垃圾分类的资金均为 $a$ 万元．在此基础上， $A$ 市每年投入的资金比上一年增长20%， $B$ 市每年投入的资金比上一年增长50%，则用于垃圾分类的资金 $B$ 市开始超过 $A$ 市两倍的年份是（参考数据： $\lg 2 \approx 0.3010$ ）（）

A、2024年 B、2023年 C、2022年 D、2021年

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7. 已知 $x, y, t \in (0, + \infty)$ ，且 $\frac{1}{x} + \frac{t}{y} = 1$ ，（）

A、当 $t = 2$ 时，当且仅当 $x = y = 2$ 时， $x + 2 y$ 有最小值 B、当 $t = 8$ 时，当且仅当 $x = y = \frac{25}{3}$ 时， $x + 2 y$ 的最小值为25 C、若 $x + 2 y$ 的最小值为9，则t的值为2 D、若 $x + 2 y$ 的最小值为25，则t的值为6

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8. 已知函数 $f (x) = \frac{e^{x} - a}{e^{x} + 1}$ 是定义在 $R$ 上的奇函数，若不等式 $f (f (x)) + f (m \cdot e^{x}) \leq 0$ 在 $x \in [0, 1]$ 上恒成立，则整数m的最大值为（）

A、-2 B、-1 C、0 D、1

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二、多选题

9. 若集合 $A = {x | x = m^{2} + n^{2}, m, n \in Z}$ ，则（）

A、 $1 \in A$ B、 $2 \in A$ C、 $3 \in A$ D、 $4 \in A$

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10. 下列函数是偶函数的是（）

A、 $f (x) = \frac{e^{x} + e^{- x}}{2}$ B、 $f (x) = \ln | x |$ C、 $f (x) = \sqrt{x} + 1$ D、 $f (x) = x \cos x$

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11. 已知函数 $f (x) = 2 \sin^{2} x + \sqrt{3} \sin 2 x$ ，则下列说法中正确的是（）

A、若存在实数 $x_{1} ， x_{2}$ ，使得对任意的实数x都有 $f (x_{1}) ⩽ f (x) ⩽ f (x_{2})$ 成立，则 $| x_{1} - x_{2} |$ 的最小值为 $\frac{π}{2}$ B、函数 $f (x)$ 的图象关于点 $(\frac{k π}{2} + \frac{π}{12} ， 0) (k \in Z)$ 成中心对称 C、若 $f (x) ⩽ a$ 有解，则a的最小值为 $- 1$ D、函数 $y = | f (x) |$ 的图象关于直线 $x = - \frac{π}{6}$ 对称

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12. 已知函数 $f (x)$ 的定义域为 $(1, + \infty)$ ，值域为 $R$ ，则（）

A、函数 $f (x^{2} + 1)$ 的定义域为 $R$ B、函数 $f (x^{2} + 1) - 1$ 的值域为 $R$ C、函数 $f (\frac{e^{x} + 1}{e^{x}})$ 的定义域和值域都是 $R$ D、函数 $f (f (x))$ 的定义域和值域都是 $R$

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三、填空题

13. 已知 $f (x)$ 为幂函数，若 $f (\frac{1}{4}) = \frac{1}{2}$ ，则 $f (x) =$ ．

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14. 命题 $p : \forall x \in R$ ， $e^{x} \geq x + 1$ ，则它的否定 $\neg p$ 为．

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15. 已知 $\frac{\cos (π - θ) - 2 \cos (\frac{π}{2} + θ)}{\sin (\frac{π}{2} - θ) + \sin (π + θ)} = 2$ ，则 $\tan (θ + \frac{π}{4}) =$ ．

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16. 已知锐角 $α$ 满足 $\cos (α + 20^{\circ}) + \cos α = \sin (α + 30^{\circ})$ ，则 $α =$ ．

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四、解答题

17. 从① $α, β$ 都是锐角，且 $\sin α = \frac{\sqrt{5}}{5}, \cos β = \frac{3 \sqrt{10}}{10}$ ；② $α, β$ 都是钝角，且 $\tan α = - \frac{1}{4}, \cos β = - \frac{5 \sqrt{34}}{34}$ ；③ $α$ 是锐角， $β$ 是钝角，且 $\tan 2 α = \frac{5}{12}$ ， $\tan β = - \frac{3}{2}$ 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并加以解答．
已知 ▲ ，求 $α + β$ 的值．

如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．

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18. 计算下列各式：
（Ⅰ） ${(0.125)}^{- \frac{2}{3}} + {(\sqrt{2} \times \sqrt[3]{3})}^{6} - \sqrt{{(2 \sqrt{2} - 3)}^{2}}$

（Ⅱ） $2^{\log_{2} 3} - \log_{3} 7 \cdot \log_{7} 9 + \log_{18} 6 + \log_{18} 3$

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19. 函数 $f (x) = A \sin (ω x + φ)$ （其中 $A > 0 ， ω > 0 ， | φ | < \frac{π}{2}$ ）的图象如图所示．

（Ⅰ）求函数 $f (x)$ 的解析式；

（Ⅱ）将函数 $y = f (x)$ 的图象向右平移 $\frac{π}{3}$ 个单位后，得到函数 $y = g (x)$ 的图象．当 $x \in [0 ， \frac{π}{2}]$ 时，求 $y = g (x)$ 的最大值和单调递减区间．

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20. 某养殖场随着技术的进步和规模的扩张，肉鸡产量在不断增加．我们收集到2020年前10个月该养殖场上市的肉鸡产量如下：

月份（m）	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
产量（W）	1.0207	2.0000	2.5782	2.9974	3.3139	3.5789	3.8041	4.0000	4.1736	4.3294

产量W（万只）和月份m之间可能存在以下四种函数关系：① $W = b \cdot a^{m}$ ；② $W = b \cdot m^{a}$ ；③ $W = b + \log_{a} m$ ；④ $W = a + \frac{b}{m}$ ．（各式中均有 $a > 0$ ， $b > 0$ ）．

（Ⅰ）请你从这四个函数模型中去掉一个与表格数据不吻合的函数模型，并说明理由；

（Ⅱ）请你从表格数据中选择2月份和8月份，再从第一问剩下的三种模型中任选两个函数模型进行建模，求出这两种函数表达式再分别求出两种模型下4月份的产量，并说明哪个函数模型更好．

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21. 设 $a \in R$ ，函数 $f (x) = x^{2} + (a - x) | x - 1 |$ .

(1)、若函数 $f (x)$ 在 $R$ 上存在最小值，求 $a$ 的取值范围；

(2)、若不等式 $1 \leq f (x) \leq 6$ 在 $[0 ， 2]$ 上恒成立，求 $a$ 的取值范围．

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22. 已知函数 $f (x) = a^{x} - a^{- x}$ （ $a > 0$ 且 $a \neq 1$ ）．

(1)、若 $f (1) < 0$ ，对任意 $x \in [0, + \infty)$ ，恒有 $a \cdot f (x^{2} - k x - 2 k) + 1 ⩽ a^{2}$ ，求k的最大值；

(2)、若 $f (1) = \frac{3}{2}$ ，函数 $g (x)$ 满足 $f (2 x) + f (- x) \cdot g (x) = 0 (x \neq 0)$ ．就实数m的取值，讨论关于x的方程 $m \cdot g (x) = g (2 x) + 10$ 的实数根的个数．

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