浙江省宁波市2020-2021学年高三上学期数学期末试卷

试卷更新日期：2021-03-01 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | x^{2} \leq 16}$ ， $B = [3, + \infty)$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $[- 4, + \infty)$ B、 $[- 4, 3]$ C、 $[3, 4]$ D、 $(- \infty, - 4] \cup [3, + \infty)$

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2. 已知双曲线 $x^{2} - \frac{y^{2}}{m} = 1 (m > 0)$ 的离心率为2，则双曲线 $\frac{y^{2}}{m} - x^{2} = 1$ 的离心率是（）

A、2 B、 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ C、 $\sqrt{3}$ D、 $\sqrt{5}$

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3. 若实数 $x$ ， $y$ 满足条件 ${\begin{array}{l} x \geq 0 ， \\ y \leq x ， \\ 2 x + y - 6 \leq 0 ， \end{array}$ 则目标函数 $z = x + 3 y$ 的最大值为（）

A、3 B、8 C、10 D、18

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4. 在 $(2 - x^{2}) {(x + \frac{1}{x})}^{6}$ 的展开式中，含 $x^{2}$ 的项的系数是（）

A、-10 B、10 C、25 D、-25

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5. 函数 $y = 1 + \cos x - e^{| x |}$ 的大致图像是（）

A、 B、 C、 D、

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6. 祖暅是我国南北朝时代的伟大科学家，他提出的“幂势既同，则积不容异”称为祖暅原理.原理的意思是两个同高的几何体，如在等高处截面的面积恒相等，则体积相等.设 $A$ ， $B$ 为两个同高的几何体， $p : A$ ， $B$ 的体积不相等； $q : A$ ， $B$ 在等高处的截面积不恒相等.根据祖暅原理可知， $p$ 是 $q$ 的（）

A、充要条件 B、既不充分也不必要条件 C、必要而不充分条件 D、充分而不必要条件

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7. 若正数 $x$ ， $y$ 满足 $x^{2} + 4 x y - 4 = 0$ ，则 $x + y$ 的最小值是（）

A、 $\sqrt{3}$ B、 $\frac{4 \sqrt{5}}{5}$ C、2 D、 $\frac{\sqrt{6}}{2}$

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8. 如图，正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $\vec{A P} = 2 \vec{P A_{1}}$ ，点 $M$ 在侧面 $A A_{1} B_{1} B$ 内.若 $D_{1} M ⊥ C P$ ，则点 $M$ 的轨迹为（）

A、线段 B、圆弧 C、抛物线一部分 D、椭圆一部分

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9. 数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} = 1$ ， $a_{n + 1} = {\begin{array}{l} a_{n} + 3, \frac{n}{3} \notin N^{*} \\ a_{n - 1}, \frac{n}{3} \in N^{*} \end{array}$ ，使 $a_{n} < 2021$ 对任意的 $n \leq k (k \in N^{*})$ 恒成立的最大 $k$ 值为（）

A、1008 B、2016 C、2018 D、2020

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10. 设点 $P (x_{1}, y_{1})$ 在椭圆 $\frac{x^{2}}{8} + \frac{y^{2}}{2} = 1$ 上，点 $Q (x_{2}, y_{2})$ 在直线 $x + 2 y - 8 = 0$ 上，则 $| x_{2} - x_{1} | + | y_{2} - y_{1} |$ 的最小值是（）

A、 $1 + \frac{\sqrt{2}}{2}$ B、 $\sqrt{3}$ C、 $1 + \frac{\sqrt{3}}{2}$ D、2

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二、填空题

11. 若复数 $z$ 满足 $(1 - 2 i) z = 10$ （ $i$ 为虚数单位），则 $z$ 的虚部为， $| z | =$

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12. 某几何体的三视图是直角边长为lm的三个等腰直角三角形（如图），则该几何体的体积为m³ ，其外接球的表面积为m².

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13. 已知随机变量 $ξ$ 的分布列如下表，且满足 $E ξ = 1$ ，则 $a =$ ：又 $η = 3 ξ - 1$ ，则 $D η =$ .

$ξ$

0

1

2

$P$

$\frac{1}{4}$

$a$

$b$

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14. 函数 $f (x) = \cos x + \sqrt{2} \sin x$ 的最大值为，记函数取到最大值时的 $x = θ$ ，则 $\cos (θ - \frac{π}{6}) =$ .

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15. 已知向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $| \vec{a} + \vec{b} | = | \vec{a} - \vec{b} | = 2 | \vec{a} | = 2$ ，则 $(\vec{a} - 2 \vec{b}) \cdot (\vec{a} + \vec{b}) =$ .

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16. 如图，对“田”字型的四个格子进行染色.每个格子均可从红、黄、蓝三种颜色中选一种，每个格子只染一种颜色，且相邻的格子不能都染红色，则满足要求的染色方法有种.

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17. 已知 $a$ ， $b \in R$ ，满足 $e^{2 x} + \frac{b}{e^{x}} \geq 2 e^{x} - a$ 对任意 $x \in R$ 恒成立，当 $2 a + b$ 取到最小值时， $a^{2} + b =$ .

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三、解答题

18. 在 $△ A B C$ 中， $a$ ， $b$ ， $c$ 分别为内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边，已知 $a \cos A = R$ ，其中 $R$ 为 $△ A B C$ 外接圆的半径.
（Ⅰ）求 $A$ ；

（Ⅱ）若 $b - a = 1$ ， $\tan B = 2 \sqrt{2}$ ，求 $△ A B C$ 的面积.

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19. 在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A B = A C = 1$ ， $A A_{1} = \sqrt{3}$ ， $A B ⊥ A C$ ， $B_{1} C ⊥$ 平面 $A B C$ ， $E$ 是 $B_{1} C$ 的中点.

(1)、求证：平面 $A B_{1} C ⊥$ 平面 $A B B_{1} A_{1}$ ；

(2)、求直线 $A E$ 与平面 $A A_{1} C_{1} C$ 所成角的正弦值.

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20. 已知正项等比数列 ${a_{n}}$ ， $a_{2} = 4$ ， $2 a_{1} + a_{2} = a_{3}$ ；数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ 满足 $S_{n} = n a_{n}$ .
（Ⅰ）求 $a_{n}$ ， $b_{n}$ ；

（Ⅱ）证明： $\frac{b_{2}}{a_{1} a_{2}} + \frac{b_{3}}{a_{2} a_{3}} + \frac{b_{4}}{a_{3} a_{4}} + \dots + \frac{b_{a + 1}}{a_{a} a_{n + 1}} < 2$ .

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21. 抛物线 $C : x^{2} = 4 y$ 上任取两点 $A (x_{1}, y_{1})$ ， $B (x_{2}, y_{2})$ .已知 $A B$ 的垂直平分线 $l$ 分别交 $x$ 轴、 $y$ 轴于点 $P$ ， $Q$ .
（Ⅰ）若 $A B$ 的中点坐标为 $(1, 2)$ ，求直线 $A B$ 的斜率；

（Ⅱ）若 $P Q$ 的中点恰好在抛物线 $C$ 上，且 $| A B | = \frac{\sqrt{5}}{2} | P Q |$ ，求直线 $A B$ 的斜率.

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22. 已知函数 $f (x) = e^{x}$ ， $g (x) = \ln x$ .
（Ⅰ）若函数 $h (x) = f (x) + a g (x)$ 存在极小值，求实数 $a$ 的取值范围；

（Ⅱ）若 $m > 0$ ，且 $m^{2} x^{2} f (x - 1) - (x + 1) g (x) - m x \geq 0$ 对任意 $x > 0$ 恒成立，求实数 $m$ 的取值范围.

（参考数据： $\ln 2 \approx 0.69$ ， $e \approx 2.718$ ）

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$ξ$	0	1	2
$P$	$\frac{1}{4}$	$a$	$b$