广西百色市2020-2021学年高一上学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2021-03-01 类型：期末考试

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一、单选题

1. 设集合 $A = {- 1, 0, 1}$ ， $B = {0, 1, 2}$ ，则 $A \cup B =$ （）

A、 ${- 1, 0, 2}$ B、 ${- 1, 2}$ C、 ${0, 1}$ D、 ${- 1, 0, 1, 2}$

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2. 已知扇形的半径为2，弧长为4，则该扇形的圆心角为（）

A、2 B、4 C、8 D、16

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3. 下列函数中，既是偶函数，又在 $(0 ， + \infty)$ 上单调递增的是（）

A、 $y = x^{3}$ B、 $y = x^{- 2}$ C、 $y = | x |$ D、 $y = x^{\frac{1}{2}}$

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4. 已知 $a = {0.8}^{0.7}, b = {0.8}^{0.9}, c = \log_{2} 3$ ，则 $a, b, c$ ，按从小到大的顺序排列为（）

A、 $a < b < c$ B、 $c < b < a$ C、 $c < a < b$ D、 $b < a < c$

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5. 函数 $y = 2^{x} + x$ 的零点所在的区间是（）

A、 $(- 2, - 1)$ B、 $(- 1, 0)$ C、 $(0, 1)$ D、 $(1, 2)$

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6. 已知 $α \in (\frac{π}{2}, π)$ ，且 $\sin α = \frac{\sqrt{5}}{5}$ ，则 $\sin (π + 2 α) =$ （）

A、 $\frac{3}{5}$ B、 $- \frac{4}{5}$ C、 $\frac{4}{5}$ D、 $- \frac{3}{5}$

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7. 为了得到函数 $y = s i n 2 x$ 的图象，只需把函数 $y = \sin （ 2 x + \frac{π}{6} ）$ 的图象（）

A、向左平移 $\frac{π}{12}$ 个单位长度 B、向右平移 $\frac{π}{12}$ 个单位长度 C、向左平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度 D、向右平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度

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8. 若平面向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 满足： $| \vec{a} | = 2 ， | \vec{b} | = 1 ， | \vec{a} + \vec{b} | = \sqrt{7}$ 则 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为（）

A、30° B、45° C、60° D、120°

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9. 函数 $f (x) = \lg (- x^{2} + 4 x - 3)$ 的单调减区间是（）

A、 $(- \infty, 2)$ B、 $(2, 3)$ C、 $(2, + \infty)$ D、 $(1, 3)$

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10. 如图为 $y = A \sin (ω x + φ) (A > 0 ， ω > 0 ， | φ | < \frac{π}{2})$ 图象的一段，则 $φ =$ （）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{π}{4}$ D、 $\frac{3 π}{4}$

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11. 已知 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 是不共线的向量， $\vec{O A} = λ \vec{a} + μ \vec{b}, \vec{O B} = 3 \vec{a} + 2 \vec{b}$ ， $\vec{O C} = 2 \vec{a} + 3 \vec{b}$ 若 $A, B, C$ 三点共线，则实数 $λ, μ$ 满足（）

A、 $λ = μ - 1$ B、 $λ = μ + 5$ C、 $λ = 5 - μ$ D、 $λ = μ + 1$

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12. 已知函数 $f (x) = {\begin{matrix} x + 1, 0 \leq x \leq 1 \\ \frac{1}{2} \sin \frac{π x}{4} + \frac{1}{2}, 1 < x \leq 4 \end{matrix}$ ，若不等式 $f^{2} (x) - a f (x) + 2 < 0$ 在 $x \in [0, 4]$ 上恒成立，则实数 $a$ 的取值范围为（）

A、 $a > 3$ B、 $\sqrt{2} < a < 3$ C、 $a > 2 \sqrt{2}$ D、 $a > \frac{9}{2}$

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二、填空题

13. $2^{\log_{2} 3} + \log_{2} \frac{1}{8} + {(2020)}^{0} + \ln e =$ .

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14. 已知 $\vec{a} = (- 4, 3), \vec{b} = (0, 5)$ ，则 $\vec{b}$ 在 $\vec{a}$ 方向上的投影为.

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15. 若函数 $y = f (x)$ 的定义域为 $[- 1, 2]$ ，则函数 $f (2 x - 3)$ 的定义域为.

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16. 设函数 $f (x)$ 在 $(- \infty ， 0) \cup (0 ， + \infty)$ 上满足 $f (- x) + f (x) = 0$ ，在 $(0 ， + \infty)$ 上对任意实数 $x_{1} \neq x_{2}$ 都有 $(x_{1} - x_{2}) (f (x_{1}) - f (x_{2})) > 0$ 成立，又 $f (- 3) = 0$ ，则 $(x - 1) f (x) < 0$ 的解是.

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三、解答题

17. 已知集合 $A = {x | a - 3 \leq x \leq 2 a + 1}, B = {x | - 5 \leq x \leq 3}$ ，全集 $U = R$ .

(1)、当 $a = 1$ 时，求 $(∁_{U} A) \cap B$ ；

(2)、若 $A \subseteq B$ ，求实数 $a$ 的取值范围.

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18. 已知平面向量 $\vec{a} = (3, - 2)$ ， $\vec{b} = (1, - m)$ 且 $\vec{b} - \vec{a}$ 与 $\vec{c} = (2, 1)$ 共线.

(1)、求 $m$ 的值；

(2)、 $\vec{a} + λ \vec{b}$ 与 $\vec{a} - \vec{b}$ 垂直，求实数 $λ$ 的值.

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19. 已知二次函数 $f (x)$ 满足 $f (- 1) = 8$ 且 $f (0) = f (4) = 3$

(1)、求 $f (x)$ 的解析式；

(2)、若 $x \in [t, t + 1]$ ，试求 $y = f (x)$ 的最小值.

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20. 中国“一带一路”倡议提出后，某大型企业为抓住“一带一路”带来的机遇，决定开发生产一款大型电子设备，根据以往的生产销售经验规律：每生产设备 $x$ 台，其总成本为 $G (x)$ (千万元)，其中固定成本为2.8千万元，并且每生产1台的生产成本为1千万元(总成本=固定成本+生产成本).销售收入 $R (x)$ (千万元)满足： $R (x) = {\begin{matrix} - 0.4 x^{2} + 4.2 x (0 \leq x \leq 5) \\ 11 (x > 5) \end{matrix}$ ，假定该企业产销平衡(即生产的设备都能卖掉)，请根据上述规律，完成下列问题：

(1)、写出利润函数 $y = f (x)$ 的解析式；

(2)、该企业生产多少台设备时，可使盈利最多？

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21. 已知向量 $\vec{a} = (2 \cos x ， 1)$ ， $\vec{b} = (- \cos (π - x) ， \sqrt{3} \sin 2 x + m)$ ，函数 $f (x) = \vec{a} \cdot \vec{b}$

(1)、求函数 $f (x)$ 在 $[0 ， π]$ 上的单调增区间；

(2)、当 $x \in [0 ， \frac{π}{6}]$ 时， $- 4 < f (x) < 4$ 恒成立，求实数 $m$ 的取值范围.

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22. 已知定义域为R的函数 $f (x)$ 和 $g (x)$ ，其中 $f (x)$ 是奇函数， $g (x)$ 是偶函数，且 $f (x) + g (x) = 2^{x + 1}$ ．

(1)、求函数 $f (x)$ 和 $g (x)$ 的解析式；

(2)、解不等式： $2 f (x) \geq g (x)$ ；

(3)、若关于x的方程 $f (x) - λ g (x) + 1 = 0$ 有实根，求正实数 $λ$ 的取值范围．

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